第三章问题解决活动：最短距离课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第三章图形的平移与旋转问题解决活动：最短距离学习目标：。1.经历发现问题、提出问题的过程，在分析问题、解决问题的过程中发展学生的几何直观、推理能力和应用意识。2.能利用平移的相关知识将陌生问题与熟悉的问题场景建立联系，渗透转化的数学思想方法，经历理解问题、拟订计划、实施计划与回顾反思的过程，增强模型观念.3.在解决实际问题的过程中，增强学习数学的自信心,培养敢于尝试的精神.

1.在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一所候车亭，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，试确定候车亭P的位置。ABP

★思考：本题运用了

.

两点之间，线段最短.l复习回顾：B将军饮马问题一（

）（解题思路：

）

2.如图，将军在图中B处，现要带马去河边喝水，之后返回军营A处，问：将军怎么走能使得路程最短？ABAB'P作法：（1）作点B关于直线MN

的对称点B'（2）连结B'A，交MN于点P；

所以点P就是所求的点．MN结论：P点即为饮马处，PA+PB最小值为AB'依据：两点之间，线段最短。转化成数学问题：如图：已知

直线

和

侧的两个___点A、B．在MN上找一动点P,使最小．连接BP,NABPB´P´M问题分析作点B关于直线的对称点B´,连接B´A，则PB´=PB，交MN于点P,在直线MN上任意取一点P´连接AP´,BP´,B´P´,则BP´=B´P´，则PA+PB=则AP´+BP´=PA+PB´=AB’AP´+B’P´△BA´P´中，A

´B<AP´+B´P´，∴

AP+BP

<AP´+B´P´，即AP+BP最小．

活动1：如图1，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、北两侧，现要沿着城铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班。已知该地下通道长度为am，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这条最短路线并说明理由（不考虑地面到地下通道地面的高度)。图1合作探究上述问题可以抽象成怎样的数学问题？试着写一写、画一画。理解问题（1）将实际问题中的图形转化为几何示意图，并标注相应的字母和数据（如图2）；A图2EFBam理解问题上述问题可以抽象成怎样的数学问题？试着写一写、画一画。（2）理解由点A到点E再到点F最后到达点B的线路变化情况，思考：其中哪些点是确定的点？哪些点是动态变化的点？变化中的不变量是什么？A图2EFBam拟订计划A图3PB（1）你以前遇到过类似的问题吗？（学生各抒己见）

【情况一】如图3，求A，B两点间的最短距离。A图4PB（1）你以前遇到过类似的问题吗？（同学们各抒己见）

【情况二】如图4，在直线上找一点P，使得PA＋PB的和最小。拟订计划（2）解决这个问题最大的困难是什么？如图5，将问题转化为求AE＋EF＋FB的最小值，因为线段EF的长度为am且位置是动态的，所以如何确定线段EF的位置是最大的困难。学生先独立思考，再分小组讨论，最后由小组代表发言交流。A图5EFBam拟订计划（3）地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗？拟订计划（3）地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗？

地下通道EF是必经路段，可以考虑先走这一段，即将点A向右平移

am得到点

A′，再将问题转化为求点A′与点B之间的最短距离（将点B向左平移am得到点

B′亦可）。拟订计划（1）写出你的解决方案。（2）说明你的方案的合理性。（3）四人小组讨论方案，并派代表讲解，最终对被研究的问题作出决策。实施计划

解决方案1

如图6所示。

作法：①过点A作直线m平行于直线l；②以点A为圆心，线段EF的长为半径作圆弧，交直线m于点A′；③连接A′B，交直线l于点F′；

④以点F′为圆心，线段EF的长为半径作圆弧，交直线l于点E′；⑤连接AE′，则A—E′—F′—B即为所求的最短路线。实施计划F′A′A图6EFBlE′m

证明：假设E，F是异于E′，F′的点，如图7，连接A′F。

由平移性质，得AA′＝EF＝E′F′＝a，AE＝A′F，AE′＝A′F′。

所以，AE′＋E′F′＋F′B＝A′F′＋a＋F′B＝A′B＋a≤A′F＋FB＋a＝AE＋EF＋FB。

即如图7所画出的路线是最短的，此时地下通道的两个出入口位置是确定的。实施计划F′A′A图7EFBlE′m

解决方案2

将点B向左平移am，也可以解决问题，请同学们独立完成。实施计划

通过解决上述问题，你获得了哪些经验？你认为解决这类问题的关键是什么？回顾反思

根据图8，自己编写一个实际问题，求AE＋EF＋FC的最短路线。回顾反思A图7EFCa如图1，已知直线m∥n，在m，n上分别找一点M，N，使MN⊥m，求AM＋MN＋NB的最小值，.当堂达标【问题解决】第一步：如图2，将点A沿MN的方向向下平移至点A′，平移距离为MN的长度，

第二步：如图2，连接AA′，A′N，则四边形AA′NM为平行