一元二次方程的应用（第3课时）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

2.4一元二次方程的应用第三课时运动问题第2章《一元二次方程》学

习

目

标123体会一元二次方程在解决几何图形面积、长度计算及动点问题中的工具作用，感受数学建模思想，能将实际问题中的数量关系转化为一元二次方程。掌握利用一元二次方程解决图形面积、动点等实际问题的一般步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验并作答，能根据实际意义合理取舍方程的根。理解数形结合思想在解决几何与运动问题中的重要性，能通过图形分析找到等量关系，提升几何直观与逻辑推理能力。实际问题列方程通用解题过程01审题设未知数找出问题核心，用字母清晰表示未知量。02分析表示关系用含未知数的代数式，准确表示相关量。03寻找等量列方程依据面积、体积等关键信息列出方程。04解方程求根运用公式法或因式分解法解一元二次方程。05检验回归实际检验解的合理性，舍去不符合实际的根。06规范写出答案用完整、规范的语言，写出最终答案。知识回顾——“数学源于生活，又服务于生活”导入新课一艘轮船(C)正以30km/h的速度由西向东航行。途中接到预警：台风中心(B)正以20km/h的速度由南向北移动。影响范围：距台风中心200km以内区域初始距离：轮船与台风中心BC=500km垂直距离：台风中心到航线BA=300km思考：如何通过几何与代数结合判断轮船是否受影响？A东C500kmB200

km北问题：一轮船（C）以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20

km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200

km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。当轮船接到台风预警时，测得BC＝500

km，BA＝300km。（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间开始进入台风影响区？新知探究知识点1

动点问题做一做C1A东C500kmB1B200

km北小组合作学习新知探究知识点1

动点问题做一做C1A东C500kmB1B200

km北（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？学习任务单合作学习②假设经t小时后，轮船和台风中心分别在C1，B1的位置，用t表示下列线段CC1=

；

BB1=

；AC1=

；AB1=

；①

已知BC＝500

km，BA＝300km

可以求出AC=

；依据：

30t20t300-20t400-30t勾股定理400km一轮船（C）以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20

km/h的速度由南向北移动③若轮船刚进入台风影响区，

此时C1与B1之间距离=

；200km学习任务单合作学习新知探究知识点1

动点问题做一做C1A东C500kmB1B200

km北（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？一轮船（C）以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20

km/h的速度由南向北移动④连结C1B1，则C1B1与AC1

、AB1满足

关系：

；

⑤可列出方程：

；

⑥解的几何意义方程有解：

；

方程无解：

；

轮船会进入台风区轮船始终安全新知探究知识点1

动点问题做一做C1A东C500kmB1B200

km北（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？学习任务单合作学习一轮船（C）以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20

km/h的速度由南向北移动整理方程：

；化简方程：

；1300t²-36000t+210000=013t²-360t+2100=0计算Δ：

；Δ=(-360)²-4×13×2100=129600-109200=20400根的判别式结论：

；∵Δ=20400>0∴方程有两个不相等的实数根新知探究知识点1

动点问题做一做C1A东C500kmB1B200

km北（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？学习任务单合作学习一轮船（C）以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20

km/h的速度由南向北移动是否受影响？

；两个实数根意味着存在两个时刻，轮船与台风中心距离恰好为200km。结论：轮船一定会进入台风影响区新知探究知识点1

动点问题做一做C1A东C500kmB1B200

km北一轮船（C）以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20

km/h的速度由南向北移动（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间开始进入台风影响区？学习任务单合作学习①解方程：

；13t²-360t+2100=0Δ=(-360)²-4×13×2100=129600-109200=20400t₁≈(360-142.828)÷26≈8.35h

t₂≈(360+142.828)÷26≈19.34h

新知探究知识点1

动点问题做一做C1A东C500kmB1B200

km北学习任务单合作学习一轮船（C）以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20

km/h的速度由南向北移动（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间开始进入台风影响区？②结果含义分析t₁≈8.35小时

代表轮船

进入台风区的时间t₂≈19.34小时

代表轮船

台风区的时间结论：从接到警报开始，经过约

小时，轮船将开始进入台风影响区开始离开8.35新知探究做一做C1A东C500kmB1B200

km北一轮船（C）以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20

km/h的速度由南向北移动（3）若轮船航速调整为10km/h，它是否会遭遇台风？请通过建立模型验证知识点1

动点问题01建立模型假设经t小时后，轮船和台风中心分别在C1，B1的位置，用t表示下列线段CC1=

；

BB1=

；AC1=

；AB1=

；30t20t300-20t400-10t02建立方程：根据勾股定理建立等式关系

新知探究知识点1

动点问题做一做C1A东C500kmB1B200

km北一轮船（C）以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20

km/h的速度由南向北移动（3）若轮船航速调整为10km/h，它是否会遭遇台风？请通过建立模型验证03展开化简：整理为标准二次方程04判别式判断:计算根的判别式：

(400-10t)²+(300-20t)²=200²t²-40t+420=0∵Δ=-80<0

∴方程无实数根新知探究知识点1

动点问题做一做C1A东C500kmB1B200

km北一轮船（C）以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20

km/h的速度由南向北移动（3）若轮船航速调整为10km/h，它是否会遭遇台风？请通过建立模型验证05方程无实数解

C1与B1之间距离永远大于200km06推导结论当航速为10km/h时，轮船不会进入台风影响区07标准解答解:设经过t小时轮船距离台风中心200km，由题意可得：(400-10t)²+(300-20t)²=200²化简方程得：t²-40t+420=0∵Δ=-80<0∴方程无实数根∴当航速为10km/h时，轮船不会进入台风影响区新知探究知识点2

动点问题解决问题方法议一议01审题·核心定位动点问题，关键在于找到符合条件的时刻，需应用相关几何知识建模动点问题解题的一般过程02设元·变量设定一般设符合条件的时间为t03列式·勾股建模利用未知数t表示相关量，并列出方程04求解·方程计算整理得方程，一般先计算判别式Δ05检验·逻辑判断根据Δ的情况说明方程实数情况根06结论·最终答案根据方程解得情况给出最终符合实际情况的结论典例分析例1.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.当点P停止运动时，点Q的运动也随之停止.

P，Q两点出发几秒时，点P和点Q之间的距离是10cm？ADBCPQ3t2t

E新知巩固

课内练习KENEILIANXI教材P52页

拓展提升1.（2024·杭州学军中学月考真题）：如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点C出发，沿CB边以1cm/s的速度向点B匀速移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设运动时间为t秒（t>0），当△BPQ的面积为12cm²时，求t的值。ABCDPQ解：设当运动时间为t秒时，△BPQ的面积为12cm²

∵点P从A到B，运动时间为10÷2=5秒；

点Q从C到B，运动时间为8÷1=8秒。

一个点到达终点运动停止，∴0<t≤5。检验：∵t=7＞5，不符合取值范围，舍去；

0＜t=4＜5，符合题意。答：当t=4秒时，△BPQ的面积为12cm²。2．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遺人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运