函数的单调性课件2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.1函数的单调性同学们，早在学习必修第一册的时候，我们就利用定义法和图象法求了函数的单调区间，比如一次函数、二次函数等，但是对于更复杂一些的函数，定义法就比较烦琐，又不能画出函数图象，为了解决这个问题，就需要用到我们今天的知识：函数的单调性与导数的关系.导语问1：函数的单调性与导数有关系吗？小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.思考3

若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定.对于任意x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)任何一子区间内f′(x)不恒为零.函数的单调性与其导数的正负之间的关系定义在区间(a，b)上的函数y=f(x)：f'(x)的正负f(x)的单调性f'(x)>0单调递___f'(x)<0单调递___增减(1)在某个区间上恒有f'(x)=0，f(x)是常函数；(2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)变化.

注

意

点<<<

(课本例1)利用导数判断下列函数的单调性：(1)f(x)=x3+3x；例

1因为f(x)=x3+3x，所以f'(x)=3x2+3=3(x2+1)>0.所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增，如图(1)所示.解(2)f(x)=sinx-x，x∈(0，π)；因为f(x)=sin

x-x，x∈(0，π)，所以f'(x)=cos

x-1<0.所以函数f(x)=sin

x-x在(0，π)内单调递减，如图(2)所示.解

解

例

1

解

解(3)f(x)=x-ex(x>0).因为f(x)=x-ex，x∈(0，+∞)，所以f'(x)=1-ex<0，所以f(x)=x-ex在(0，+∞)上单调递减.解利用导数判断函数单调性的步骤(1)确定函数的定义域.(2)求导数f'(x).(3)确定f'(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形.(4)得出结论.

反思感悟

利用导数判断下列函数的单调性.(1)f(x)=2x+sinx；f'(x)=2+cos

x，因为cos

x∈[-1，1]，所以1≤2+cos

x≤3，则f'(x)>0，所以函数f(x)=2x+sin

x在R上单调递增.解跟踪训练1

解

例

2

解x(-∞，-1)-1(-1，2)2(2，+∞)f'(x)+0-0+f(x)

单调递增f(-1)=单调递减f(2)=-单调递增所以f(x)在(-∞，-1)和(2，+∞)上单调递增，在(-1，2)内单调递减，如图所示.解

求下列函数的单调区间：(1)f(x)=x3-3x2-9x-1；例

2f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).令f'(x)>0，可得x<-1或x>3；令f'(x)<0，可得-1<x<3.因此，函数f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)和(3，+∞)，单调递减区间为(-1，3).解(2)f(x)=ln(2x+3)+x2.

解利用导数求函数的单调区间的一般步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求出导数f'(x)的零点.(3)用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)的单调区间.

反思感悟

跟踪训练2

解所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(-∞，0)，(1，+∞).x(-∞，0)0(0，1)1(1，+∞)f'(x)-0+0-f(x)单调递减f(0)单调递增f(1)单调递减(2)f(x)=x2·e-x.

解x(-∞，0)0(0，2)2(2，+∞)f'(x)-0+0-f(x)单调递减f(0)单调递增f(2)单调递减

例

3

解由f'(x)>0，得x>1；由f'(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.解

将例3中“a≥0”改为“a∈R”，其余条件不变，讨论f(x)的单调性.延伸探究

例

3

解

解

解(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.

反思感悟

已知导函数f'(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f'(x)>0；当0<x<7时，f'(x)<0；当x=0或x=7时，f'(x)=0，试画出函数f(x)的大致图象.例

4当x<0或x>7时，f'(x)>0，可知函数f(x)在区间(-∞，0)和(7，+∞)上都是单调递增的；当0<x<7时，f'(x)<0，可知函数f(x)在区间(0，7)上单调递减；当x=0或x=7时，f'(x)=0，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”.故函数f(x)的大致图象如图所示.解

(1)已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当0<x<2时，导函数f'(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的图象如图D.解析跟踪训练3√(2)设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f'(x)的图象可能为∵f(x)在(-∞，1)，(4，+∞)上单调递减，在(1，4)上单调递增，∴当x<1或x>4时，f'(x)<0