第八章《立体几何初步》单元基础训练卷 （含答案解析） 2025~2026学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

page1page2第八章《立体几何初步》单元基础训练卷（含答案解析）一、选择题

1.若有平面α与β，且α∩β=A.过点P且垂直于α的直线平行于βB.过点P且垂直于l的平面垂直于βC.过点P且垂直于β的直线在α内D.过点P且垂直于l的直线在α内

2.根据所学知识判断下列描述错误的是（

）A.不相交的直线是平行直线B.经过两条平行直线有且只有一个平面C.不共线的三点确定一个平面D.棱台的各侧棱延长后必交于一点

3.点P在平面ABC的射影为O，且PA、PB、PC两两垂直，那么O是△ABC的（

A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

4.在正方体ABCD−A1B1CA.EF//GD1 B.D1E⊥FG

C.FG⊥平面BB1D1D

5.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（

）A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交

6.已知圆锥PO，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为2π3的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（

A.6πm2 B.63πm2 C.33π

7.已知m，n，l是3条不同的直线，α,β,γ是A.若m⊥l,n⊥l，则m//n B.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m，则l⊥α

8.直线l1:a−1x+A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

二、多选题

9.已知α,β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法中正确的是（A.若m⊥αB.若m,nC.若α//βD.若α⊥β

10.已知四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，平面α过点A且与侧棱PB，PC，PD的交点分别为E，F，GA.直线BD // 平面α B.直线EG⊥直线AF

C.直线PA与平面α所成的角为45∘ D.截面四边形AEFG的面积为433

11.如图1，在三棱锥S−ABC中，平面SAC⊥平面ABC，过点B且与AC平行的平面α分别与棱SA，SC交于E，F，若SA=SC=A.三棱锥S−ABCB.EF//平面C.BED.若F为SC的中点，则BF与SA所成角的余弦值为3

12.如图1，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”．阿基米德多面体是一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，又称这样的半正多面体为二十四等边体．如图2，现有一个边长为2的二十四等边体，则关于该二十四等边体说法正确的是（

）

A.该二十四等边体的表面积为24B.共有8条棱所在直线与直线AB异面，且所成角为πC.任意两个有公共顶点的三角形所在平面的夹角余弦值均为1D.该二十四等边体的外接球的体积为32三、填空题

13.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱AA1，A

14.如图，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120∘，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E（点B1位于平面ABCD上方），连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，给出下列四个结论：①平面AB1E⊥平面B1EC；

②A

15.已知AB是球O的直径，AB=4，C，D是球面上两点，CD⊥AB，CD=2，AB与平面

16.如图，在四面体ABCD中，BD=22，AC=2，M、N分别为BC、AD的中点，MN=1，则异面直线四、解答题

17.若a，b为两条异面直线，α，β为两个平面，a⊂α，b⊂β，A.l至少与a，b中一条相交B.l至多与a，b中一条相交C.l至少与a，b中一条平行D.l必与a，b中一条相交，与另一条平行

18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60∘，AB=2，AC∩BD=O，PA=PC，平面PAC（1）求PE的长；（2）求三棱锥E−

19.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB（1）求三棱锥D1（2）在线段B1C1上是否存在点F，使得BF∥平面（3）求二面角A1

20.在棱长为a的正方体ABCD−A′B′C′D（1）求直线D′C与（2）求二面角B′

21.如图，AB是圆柱OO′的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O上一点．已知AB=BC=5（1）求该圆柱的表面积；（2）将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求△ACD

22.如图，在一个圆锥内挖掉一个内接正三棱柱ABC−A1B1C1（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），已知正三棱柱的侧面BC（1）求挖掉的正三棱柱ABC−（2）求该几何体的表面积．

参考答案与试题解析一、选择题1.【答案】D【考点】判断线面是否垂直线面关系有关命题的判断【解析】根据线面、面面垂直的性质定理与判定定理一一判断即可【解答】A中：在平面β内作直线m⊥l，则由面面垂直性质定理可知m⊥α，

则过点P且垂直于α的直线一定平行于直线m，故A正确；

B中：由题意和面面垂直的判定定理知，选项B正确；

C中：由题意和面面垂直的性质定理知，选项C正确；

D中：过点P且垂直于l的直线有可能在平面α内，也可能与平面α相交，D不正确；2.【答案】A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系平面的基本性质及推论棱台的结构特征【解析】利用空间直线的位置关系判断A；利用平面基本事实判断BC；利用棱台的定义判断D作答．【解答】解：对于A，在空间，不相交的两条直线可能是平行直线，也可能是异面直线，A错误；

对于B，两条平行直线确定一个平面，B正确；

对于C，不共线的三点确定一个平面，C正确；

对于D，棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面间的部分是棱台，因此棱台的各侧棱延长后必交于一点，D正确．

故选：A．3.【答案】C【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质【解析】根据题意画出图形,如图P是△ABC所在平面外一点,O是P点在平面ABC【解答】如图，

若PA、PB、PC两两互相垂直，

可得AP⊥平面PBC，BP⊥平面PAC，CP⊥平面PAB，由此可证得BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB4.【答案】C【考点】平面与平面平行的判定直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质【解析】此题暂无解析【解答】对于A，连接EF,D1G,A1B,D1C，如下图所示：

因为E,F分别是棱AA1,AB的中点，所以EF//A1B，

由正方体性质可得A1B//D1C，因此可得EF//D1C，而D1C,GD1相交，

所以EF//GD1错误，即A错误；

对于B，取DD1的中点M，连接AM,CM,AC，如下图所示：

易知AM//D1E，FG//AC，所以∠MAC即为异面直线D1E与FG所成的角（或其补角）；

不妨设正方体的棱长为2，则AM=MC=5，AC=22，

显然AM2+AC2≠MC2，可知∠MAC不是直角，所以D1E与FG不垂直，即B错误；

对于C，连接AC,BD,B1D1，如下图所示：

由正方体性质可得BB1⊥平面5.【答案】D【考点】异面直线的判定【解析】此题暂无解析【解答】如图所示，a，b是异面直线，AB，AC都与a，b相交，AB，AC相交；

AB，DE都与a，b相交，AB，DE异面，

假设AB，DE平行，则AB，DE确定一平面，不妨设为α，则A，D∈α，∴a⊂α；

同理B，E∈α，∴b⊂α，这与a，6.【答案】B【考点】圆锥表面积的有关计算【解析】运用圆锥侧面积公式计算即可．【解答】解：如图所示，

设圆锥的半径为r，母线为l，

由题意知，r=OB=12AB=3，

在Rt△POB中，∠BPO=17.【答案】C【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】对于A，由m⊥l,n⊥l，在同一个平面可得m//n，在空间不成立，故A错误；

对于B，由面面垂直的性质定理知缺少“l⊂β

”，故B错误；

对于C，若m⊥α,m//β，则α⊥8.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断两条直线平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】【详解】解：①充分性：当a=2时，

l1:x+y+1=0, l2:4x+4y−1=0，

所以l1与l2斜率相等，且截距不相等，故l1//l2，所以充分；

②必要性：

l1:a二、多选题9.【答案】A,D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解析：A选项，若m⊥α,

m//n，则n⊥α，又n⊂β，则α⊥β，A正确；

B选项，若m,n⊂α

m//β, n//β，只有m与n相交，才能得出α//β，10.【答案】A,B【考点】直线与平面平行直线与平面垂直直线与平面所成的角空间中直线与平面之间的位置关系平面的基本性质及推论【解析】利用线面垂直的性质及中位线即有BD//EG，根据线面平行的判定判断A；由EG⊥面PAC及线面垂直性质判断B；根据线面角的定义找到直线PA与平面α所成角的平面角，进而求其大小判断C；根据线面垂直的判定及性质证BC⊥PB、PF⊥EF，利用三角形相似得到相关比例，进而求出【解答】解：由PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，则PA⊥BD，

由P−ABCD的底面为正方形，则AC⊥BD，

又PA∩AC=A，PA，AC⊂面PAC，故BD⊥面PAC，

因为PC⊂面PAC，故BD⊥PC，

由平面α过点A且与侧棱PB，PC，PD的交点分别为E，F，G，若直线PC⊥平面α，

所以PC⊥AG，易得CD⊥平面PAD，可得CD⊥AG，

又PC∩CD=C，所以AG⊥平面PDC，AG⊥PD，

又PA=AB=AD，所以G为PD中点，同理可得E为PB中点，

故BD//EG，

因为BD⊄平面α，EG⊂平面α，故BD//面α，A正确；

因为BD⊥面PAC，则EG⊥面PAC，AF⊂面PAC，所以EG⊥AF，B正确；

由PC⊥平面α，即PF⊥面AEFG，故∠PAF为直线PA与平面α所成角的平面角，

因为AF⊂面AEFG，则PF⊥AF，而AC=AB2+BC2=22，

因为AC⊂底面ABCD，则PA⊥AC，所以PC=PA2+AC2=23，

综上，12PA⋅AC=12AF⋅PC，故AF=263，则cos∠11.【答案】B,D【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行的判定球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】对于A，因为SA=SC=22,AC=4，所以AC2=SA2+SC2，则SA⊥SC，同理AB⊥BC

边AC中点到点A，B，C，S距离相等，所以AC为三棱锥S−ABC外接球的直径，则R=2

所以三棱锥S−ABC外接球的表面积S=4πR2=16π，故选项A错误；对于B，因为AC//α，过AC的平面SAC∩α=EF，由线面平行的性质可得：

EF//AC，故选项B正确；对于C，

如图3，取AC的中点P，连接BP，PF，SP，

因为平面SAC⊥平面ABC，且平面SAC∩平面ABC=AC，

又BA=BC，所以

BP⊥AC,BP⊂平面ABC，

所以BP⊥平面SAC，因为SP⊂平面SAC，所以BP⊥SP

又因为SP=12AC=2，所以SB=BP2+SP2=22，

因为SA=AB=22，所以12.【答案】A,C,D【考点】二面角的平面角及求法异面直线及其所成的角棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积球内接多面体棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】【解析】由题该二十四等边体是由8个边长为2的正三角形和6个边长为2的正方形构成，所以表面积S=8×12×2×2×32+6×2×2=24+83，故A正确；

在与AB相交的6条棱中，与AB所成的角是π3的棱有4条，

又这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，故与AB所成的角是π3的棱共有16条，故B错误；

由图1知，设任一三角形所在平面与正方形的底面所成角为三、填空题13.【答案】90【考点】异面直线及其所成的角【解析】利用中位线定理可得EF//AD1，再利用平行四边形的性质可得BC【解答】解：因为棱AA1，A1D1的中点分别为E，F，所以EF//AD1，

因为AB//CD//C1D1且AB=CD=C1D1，所以四边形ABC14.【答案】①②④【考点】平面与平面垂直的判定异面直线及其所成的角棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】①由题设结合线面垂直的判定证AE⊥面B1EC，再由面面垂直的判定即可判断正误；②若G′是AB1的中点，应用平行四边形的性质有CF//EG′，可知AB1与CF的夹角为∠AG′E或其补角，进而求其大小；③根据①②的分析，当B1E⊥【解答】对于①：由AB=2，∠BAD=120∘，E为边BC的中点知∠B=π3且BE=1，易知AE⊥EC，AE⊥B1E，而EC∩B1E=E，EC,B1E⊂面B1EC，

故AE⊥面B1EC，又AE⊂面AB1E，所以面AB1E⊥面B1EC，故①正确；

对于②：若G′是AB1的中点，又F为B1D的中点，则G′F//AD且G′F=12AD，

而EC=12BC=12AD且EC//AD，所以G′F//EC且G′F=EC，即FG′EC为平行四边形，

故CF//15.【答案】2【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直的判定直线与平面所成的角平面与平面垂直的判定【解析】取CD中点H，由已知可证平面COD⊥平面HAB，得∠HOB=60∘【解答】球O的半径为2，CD=OC=OD=2，△OCD为等边三角形，

取CD中点H，连接OH，如图所示，

则OH=3，由CD⊥OH与CD⊥AB，OH,AB⊂平面HAB，OH∩AB=O，所以CD⊥平面HAB，

CD⊂平面COD，则有平面COD⊥平面HAB，16.【答案】45【考点】异面直线及其所成的角【解析】取CD的中点E，连接ME，NE，即可得到∠NEM即为异面直线AC与BD所成的角，再由线段关系及勾股定理逆定理得到△【解答】解：取CD的中点E，连接ME，NE，因为M为BC的中点，N为AD的中点，

所以NE//AC且NE=12AC，ME//BD且ME=12BD，

所以∠NEM即为异面直线AC与BD所成的角或其补角，

又BD=22，AC=2，MN=1，

四、解答题17.【答案】A【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此种类型的题可以通过举反例判断正误．【解答】解：因为a，b为两条异面直线且a⊂α，b⊂β，α∩β=l，所以a与l共面，b与l共面．

若l与a、b都不相交，则a // l，b // l，a // b，与a、b异面矛盾，故A对；

当a、b为如图所示的位置时，可知l与a、18.【答案】73【考点】平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的性质棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】（1）由于PB//平面ACE，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE=OE，所以PB//OE，由于O是BD中点，所以E是PD的中点，

平面PAC⊥平面ABCD，且两平面交线为AC，

又AC∩BD=O，PA=PC，故PO⊥AC，PO⊂平面PAC，

由面面垂直的性质知PO⊥平面ABCD，OD⊂平面ABCD，故PO⊥（2）由于E是PD的中点，所以E到平面PAB的距离是D到平面PAB的距离的一半，所以V19.【答案】3存在，C14【考点】柱体、锥体、台体的体积计算平面与平面平行的性质直线与平面垂直的判定二面角的平面角及求法【解析】（1）过E作EM⊥A1B，垂足为M，可得（2）假设在线段B1C1上存在点F，使得BF∥平面A1CE，取A1B1的三等分点G,H，得到面BHF∥面（3）延长DA,CE交于点M，作AN⊥ME，垂足为N，连接A1N可得【解答】（1）解：过E作EM⊥A1B，垂足为M，

因为A1B∥D1C，所以面A1D1C即面A1BCD1

明显BC⊥EM（2）假设在线段B1C1上存在点F，使得BF∥平面A1CE，

取A1B1的三等分点G,H，使A1G=GH=HB1=1，则四边形A1HBE是平行四边形，

所以BH∥A1E，又BH⊄面A1CE，A1E⊂面A1CE，

所以BH∥面A1CE，又BF∥面A1CE，BH∩BF=B，

所以面BHF∥面A1CE，又（3）延长DA,CE交于点M，作AN⊥ME，垂足为N，连接A1N，则ME⊥面AA1N，

从而ME⊥A1N，

所以∠A1NA为二面角20.【答案】解：取A′D′的中点F，连接EF、FD，如图，

在正方体中，E是BC的中点，所以FD′ // EC且FD′=EC，

所以四边形FD′CE为平行四边形，所以D′C // EF，

所以∠DEF或其补角即为直线D′C与DE所成的角，

在棱长为a的正方体ABCD−A′B′C′D′中延长DE、AB交于点G，作BH⊥DG于H，连接B′H，如图，

在正方体ABCD−A′B′C′D′中，BB′⊥平面ABCD，DG，BH⊂平面ABCD，

所以BB′⊥DG，BB′⊥BH，

又BH⊥DG，BH∩BB′=B，所以DG⊥平面BB′H，

由B【考点】二面角的平面角及求法异面直线及其所成的角【解析】（1）取A′D′的中点F，连接EF、FD，由正方体的几何特征结合平面几何的知识可得D′C // EF（2）延长DE、AB交于点G，作BH⊥DG于H，连接B′H，由正方体的几何特征及线面垂直的判定与性质可得DG⊥【解答】（1）解：取A′D′的中点F，连接EF、FD，如图，

在正方体中，E是BC的中点，所以FD′ // EC且FD′=EC，

所以四边形FD′CE为平行四边形，所以D′C // EF，

所以∠DEF或其补角即为直线D′C与DE所成的角，

在棱长为a的正方体ABCD−A′B′C′D′中（2）延长DE、AB交于点G，作BH⊥DG于H，连接B′H，如图，

在正方体ABCD−A′B′C′D′中，BB′⊥平面ABCD，DG，BH⊂平面ABCD，

所以BB′⊥DG，BB′⊥BH，

又BH⊥DG，BH∩BB′=B，所以DG⊥平面BB′H，

由B21.【答案