重庆南开中学高2026届高三下学期3月第七次质量检测数学（月考七）+答案

重庆南开中学高2026届高三第七次质量检测

数学试题

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知集合A={x|1x-11<2},B={1,2,3,4,5},则A∩B=

A.{2}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

2.已知复数z满足z(2-i)=i,则在复平面内，复数z所对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知a=(2,4),b=(1,t),若(a+b)//(3a-b),则实数t=

A.-2BC.1D.2

4.设正实数a,b满足a+b=1,则的最小值为

A.7B.8C.9D.10

5.已知,则

ABCD

6.已知数列{an}满足a₁=1,当n≥2时，a₁a₂a₃…an=5-2n,则数列{an}的最大项为

A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项

7.过原点0作直线交圆C:(x-√2)²+(y-√2)²=1于A,B两点，弦AB的中点为P,则点P的轨迹长

度为

ABCD.π

8.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)+f(x+4)=0,f(x+1)为偶函数，且f(2)=2,

50,则正整数n的最小值为

A.21B.25C.29D.33

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.成对数据Y和x的一元线性回归模型为依据模型可建立经验回归方程=bx

+a,用回归方程可得到响应变量Y的预测值及残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分

析可以判断模型刻画数据的效果.对下列四幅残差图的描述正确的是

甲乙丙丁

A.图甲显示残差的方差随观测时间变大而变大

B.图乙满足一元线性回归模型对随机误差的假设

C.图丙说明残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分

D.图丁说明残差与观测时间有线性相关性，故满足一元线性回归模型对随机误差的假设

10.在一个圆台形容器内放入一个球体，该球恰与圆台的上、下底面及侧面相切，轴截面如图所示.设球

心为0,半径为R,圆台的母线为l,上、下底面的半径分别为a、b,a>b.若已知l=1,则

A.a+b=2

B.圆台的侧面积为π

C.ab=R²

D.圆台体积的最大值为

11.已知双曲线的一条渐近线为12x-5y=0,F₁,F2是双曲线E的左、右焦

点，过F₁的动直线l与双曲线E的左支交于点A,与右支交于点B,点A,B均在x轴上方，设

△AF₁F₂与△ABF₂的内切圆半径分别为r₁,r₂,则

A.双曲线E的离心率

C.若,则直线l的斜率D.的取值范围是

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,a+b=5,△ABC的面积为√3,则c=

13.若函在x=1处取得极大值，则实数m的取值范围为·

14.已知5支球队两两之间都要进行一场比赛，任意两支球队之间的比赛都没有平局，则有且只有2支

球队恰好获胜3场的情况种数为.(用数字作答)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知函

(1)求函数f(x)的最小正周期及对称中心坐标；

(2)已知m>0,若关于x的方程在区间[0,m]上恰有两个不同实根，求m的取值范

围.

16.(本小题满分15分)

已知正方形ABCD的边长为√2,将△ABC沿AC翻折至△AB'C,如图，在二面角B′-AC-D内有一点P,

满足PB′=1,且PA=PC=PD.

(1)求证：AC⊥平面PB'D;

(2)若二面角B'-AC-D大小,求PB'与AD所成角的余弦值.

17.(本小题满分15分)

某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警.据临床数据，其用户群体

中该疾病的患病率约为0.5%.手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下：

对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%(灵敏度);

对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%(误报率).

现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析.

(1)求此次分析触发预警的概率；

(2)记事件A为“此次分析触发预警”,事件B为“该用户确实患病”.

(i)求P(BIA);

(ii)结合(1)和(2)(i)的结果，说明P(BIA)与P(AIB)=0.99在医学预警中的不同含义，并分

析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大?为什么?

18.(本小题满分17分)

已知动点A,B分别在直线和l₂上，且|AB|=2√2,H为AB的中点，记点H的

轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设点P,Q在曲线C上，M(-2,0),且△MPQ的外心T在直线

(i)若直线PQ过点N(1,0),求直线PQ的方程；

(ii)求点M到直线PQ距离的最大值.

19.(本小题满分17分)

已知函

(1)证明：f(x)>2tanx;

(2)已知数列{θn}满足),tanθn+1=f(θn),n∈N*.记λ=e²-1.

(i)证明：λtanθn-tanθn+1<λ+1;

(ii)是否存在小于λ的实数a,使得tanθn<a”对任意的正整数n成立?若存在，求a的取值范

围；若不存在，请说明理由.

参考数据：e"≈23.14

高2026届高三年级质量检测

数学试题参考答案与评分细则

题号1234567891011

选项BBDCACCCABCBCABD

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.B【解析】A=(-1,3),∴A∩B={1,2}.

2.B,复数z所对应的点位于第二象限.

3.D【解析】a+b=(3,4+t),3a-b=(5,12-t),由题知3(12-t)=5(4+t),解得t=2.

4.C【解析】,当且仅当时取等.

5.A【解析】设则

6.C【解析】当n=2时，a₁a₂=1得a₂=1;n≥3时，

,结合函数的图象知，a₄=3最大，又a₄>1,故第4项为最大项.

7.C【解析】由圆的性质知OP⊥PC,故点P的轨迹是以OC为直径的圆位于圆C内部的一段圆弧，

以OC为直径的圆的方程

设此圆与圆C的两个交点为M、N,OC中点为D,则ICDI=IDMI=ICMI=1,

,则弧MN的长度

8.C【解析】由f(x)+f(x+4)=0得f(x+8)=-f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为8,

由f(x+1)为偶函数知f(1-x)=f(1+x),故y=f(x)的图象关于x=1对称，

∴f(8)=f(0)=f(2)=2,f(4)=-f(0)=-2,f(6)=-f(2)=-2,

∴f(2)+2f(4)+3f(6)+4f(8)=0,5f(10)+6f(12)+7f(14)+8f(16)=0,…,

,欲,必有k>25,

,故n的最小值为29.

数学试题参考答案第1页(共8页)

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.ABC【解析】详见选择性必修三教材第112页.

10.BC【解析】由过点作圆的切线段等长可知，l=a+b=1,所以A错误；

再由圆台侧面积公式πl(r₁+r₂)=πl(a+b)=π,所以B正确；

梯形中，由勾股定理得，l²=(a+b)²=(a-b)²+(2R)²,求得ab=R²,所以C正确；

圆台体积：

令,则

求导得

∴V(x)↗,无最大值

11.ABD【解析】由,c²=a²+b²,可得,A正确；

如图，设M为△AF₁F₂的内心，△AF₁F₂的内切圆与三边切于点P,Q,R,

∵2a=IAF₁I-IAF₂I=(IAQI+IQF₁I)-(IARI+IRF₂I)=IQF₁I-IRF₂I=IPF₁I-IPF₂I,

IPF₁I+IPF₂I=2c,

∴IPF₁I=c-a,IPF₂I=c+a,

设∠AF₁F₂=2∠MF₁F₂=2α,∠AF₂F₁=2∠MF₂F₁=2β,

∴r₁=IMPI=IF₁PI·lanα=IPF₂I·lanβ,即r₁=(c-a)·lanα=(c+a)·lanβ,

由正确；

直线l的斜率为,C错误；

设N为△ABF₂的内心，◎N与△ABF₂三边切于点I,J,K,

2a=IBF₁I-IBF₂I=IBII+IIF₁I-IBJI-IJF₂I=IIF₁I-IJF₂I

=1IAI+IAF₁I-IJF₂I=IAKI+IAF₁I-IKF₂I,

又2a=IAF₂I-IAF₁I=IAKI+IKF₂I-IAF₁I,两式相加可得IAKI=2a,

,∴r₂=INKI=IAKltan∠NAK=2atan(α+β),

代入得，

,解得,D正确.

数学试题参考答案第2页(共8页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.√13

【解析】∵,即,ab=4,

出余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=(a+b)²-3ab=25-12=13,

解得，c=√13.

13.

【解析】求导得.

若,f(x)在(-∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，符合要求；

若m≠0,令g(x)=(x-1)(3m-1-mx),x₁=1,

当m<0时，x₂>x₁,又因为g(x)是开口向上的抛物线，所以x=1是极大值点；

当m>0时，因为g(x)是开口向下的抛物线，欲使x=1是极大值点，只需x₁>x₂,解得

综上

14.360

【解析】从5支球队中选出两支球队甲、乙恰胜3场，由于甲乙之间存在胜负关系，故甲、乙的选法有

A'种.

不妨设甲战胜了乙，甲还需战胜其余3支队伍中的2支队伍，故有C²种选择.这样，乙必然战胜其

余3支队伍.设甲没战胜的队伍是丙，由于是恰有两支球队获胜3场，所以除甲、乙、丙外的两支球

队至少有一支队伍战胜了丙，丙与另外两人的三场比赛共8种结果，减去丙全胜的2种，还有6种

情况.故所求的情况种数为360.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

,…………(3分)

f(x)的最小正周期为T=π;……………………(5分)

令,解得,所以f(x)的对称中心坐标

,k∈Z.………………(7分)

数学试题参考答案第3页(共8页)

解得x=kπ或,即x₁=0,,x₃=π,………(11分)

若方程.恰有2个解，

则……………………(13分)

16.(1)证明：取AC中点0,连接OP,OB',OD,由于PA=PC,DA=DC,B'A=B'C,由等腰三角形三线合

一性可得PO⊥AC,DO⊥AC,B′O⊥AC,…………(2分)

又因为PO,DOC面POD,可得AC⊥面POD,从而AC⊥PD,(4分)

同样的，又因为DO,B'OC面DOB′,可得AC1面DOB′,从而AC⊥B'D,……(6分)

又因为PD,B'DC面PB'D,可得AC1平面PB'D.(7分)

(2)解：由于正方形ABCD,所以OA=0C=OD,又因为PA=PC=PD,

由(1)有PO⊥0A,所以PO²=PA²-AO²=PD²-DO²,从而有PO⊥0D,(8分)

以0为原点，以OC,OD,OP的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，…(9分)

由于二面角B'-AC-D的平面角即为,由(1)可知P、D、0、B'共面，

又因为PB′=1可得PO=√3,

所以P(0,0,√3),A(-1,0,0),D(0,1,0),,……………(10分)

,AD=(1,1,0),所求角的余弦为：……………(12分)

.…………(15分)

17.解：(1)事件B为“用户患病”,事件A为“分析触发预警”.

由题知：P(B)=0.005,P(B)=0.995,P(AIB)=0.99,P(AIB)=0.05.

由全概率公式：

P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)(2分)

=0.005×0.99+0.995×0.05=0.00495+0.04975=0.0547,

所以，触发预警的概率为0.0547.…………(6分)

数学试题参考答案第4页(共8页)

(2)(i)由贝叶斯公式：

所以，在预警条件下确实患病的概率约为9.05%.

(ii)含义解释：

由(i)P(BIA)≈9.05%,表示“在手环报警的条件下用户确实患病”的概率，它衡量了预警结果的可

靠性，回答了“预警是否意味着真患病”的个人风险问题；

P(AIB)=99%是灵敏度，表示“用户真患病的条件下手环触发预警”的概率，反映了该手环识别真

实病例的能力；…………………(13分)

决策参考分析：对收到预警的个人而言，P(BIA)≈9.05%的参考价值更大、更直接.

理由：该值从群体基础患病率(0.5%)显著提升至9.05%,构成了明确的个人健康风险信号，用户

应结合自身症状，将此作为是否需要进一步医疗检查的关键依据.而P(AIB)=99%描述的是该手

环的整体性能，无法直接量化个人当前风险，故对个人就诊决策的参考相对间接.………(15分)

18.解：(1)设,由题,…………(2分)

设H(xo,yo),则代入①可得8y2+2x²=8,即

∴曲线C的方程…………………(4分)

(2)设直线PQ方程为x=ty+m,P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),

联立得(t²+4)y²+2tmy+m²-4=0,……………(5分)

由△>0得t²-m²+4>0……(7分)

由条件MP中垂线方程为即

同理可得MQ的中垂线为

联立②③消去y可得

由-可得2t²+9m-10=0(*)…………(10分)

数学试题参考答案第5页(共8页)

(i)由N(1,0),即m=1时，由(*)可得,.直线PQ的方程为……(12分)

…………(14分)

由可得：0≤t²<32,1≤t²+1<33,

,当t=0时可取最大值.……………(17分)

另解：

设外心,到M,P,Q距离相等得：

……(6分)

化简得：

贝,同理,………………(8分)

y₁,y₂5两根，……………(9分)

有得2t²+9m-10=0(*)后同前面解法.……(10分)

19.解

设u(x)=3e⁻"sinx,,u'(x)=3e⁻*(cosx-sinx),………………(3分)

令u'(x)>0,得,令u'(x)<0,得

∴u(x)在上单调递增，在上单调递减，

……………(5分)

数学试题参考答案第6页(共8页)

法二：原不等式等价于eˣ-3sinx>0,设u(x)=eˣ-3sinx,),……(1分)

u'(x)=e*-3cosx,u”(x)=e*+sinx>0,u'(x)上单调递增，

,∴存在使得u'(x₀)=0即eˣ0=3cosxo,…………(3分)

∴u(x)在(0,xo)上单调递减，在(上单调递增，

u(x)≥u(x₀)=eˣ-3sinxo=3(cosxo-sinx₀),

9

,cosxo>sinxo,∴u(x)≥u(x₀)>0.……………(5分)

(2)(i)由题

故所证不等式等价于e“+(1+λ)cosθₙ-(1+λ)sinθn>0.

法一：,即证g(x)>0,………………(7分)

∴g'(x)=eˣ-(1+λ)sinx-(1+λ)cosx,g"(x)=eˣ-(1+λ)cosx+(