高中数学联赛组合恒等式卷

高中数学联赛组合恒等式卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三数学竞赛班

高中数学联赛组合恒等式卷

一、选择题

1.若\(n\)为正整数，则\(\binom{2n}{n}\)的值一定是

A.奇数

B.偶数

C.可能为奇数也可能为偶数

D.无法确定

2.化简\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\)的结果是

A.\(n\cdot2^{n-1}\)

B.\(n\cdot2^n\)

C.\(2^n\)

D.\(2^{n+1}\)

3.若\(a,b\)为正整数，且\(a+b=10\)，则\(\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}\cdota^k\cdotb^{10-k}\)的值为

A.1

B.1024

C.1000

D.512

4.证明\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot(-1)^k=0\)的正确性，以下哪个方法是正确的

A.数学归纳法

B.组合证明法

C.恒等式法

D.以上都不对

5.若\(n\)为正整数，则\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk^2\)的结果是

A.\(n\cdot2^{n-1}\)

B.\(n\cdot2^n\)

C.\(n(n+1)\cdot2^{n-1}\)

D.\(n^2\cdot2^{n-1}\)

6.若\(n\)为正整数，则\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}\)的结果是

A.\(\binom{2n}{r}\)

B.\(\binom{2n}{n+r}\)

C.\(\binom{n}{r}\)

D.\(\binom{n+r}{r}\)

7.化简\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{n-k}{r}\)的结果是

A.\(\binom{2n}{r}\)

B.\(\binom{2n}{n+r}\)

C.\(\binom{n}{r}\)

D.\(\binom{n+r}{r}\)

8.若\(n\)为正整数，则\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-1}\)的结果是

A.\(n\cdot\binom{2n-1}{r-1}\)

B.\(n\cdot\binom{2n}{r}\)

C.\(n\cdot\binom{n-1}{r-1}\)

D.\(n\cdot\binom{n}{r}\)

9.证明\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-1}=n\cdot\binom{2n-2}{r-1}\)的正确性，以下哪个方法是正确的

A.数学归纳法

B.组合证明法

C.恒等式法

D.以上都不对

10.若\(n\)为正整数，则\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-2}\)的结果是

A.\(n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{r-2}\)

B.\(n(n-1)\cdot\binom{2n}{r}\)

C.\(n(n-1)\cdot\binom{n-2}{r-2}\)

D.\(n(n-1)\cdot\binom{n}{r}\)

二、填空题

1.若\(n\)为正整数，则\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot(-1)^k\cdotk\)的结果是

2.化简\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{2}\)的结果是

3.若\(a,b\)为正整数，且\(a+b=n\)，则\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdota^k\cdotb^{n-k}\)的值为

4.若\(n\)为正整数，则\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk^2\cdot\binom{n-k}{2}\)的结果是

5.化简\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{n-k}{r}\cdot\binom{r}{2}\)的结果是

6.若\(n\)为正整数，则\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-1}\cdot\binom{r-1}{2}\)的结果是

7.证明\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot(-1)^k\cdot\binom{2n-2k}{n}=0\)的正确性，以下哪个方法是正确的

8.若\(n\)为正整数，则\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-2}\cdot\binom{r-2}{2}\)的结果是

9.化简\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}\cdot\binom{n-k}{2}\)的结果是

10.若\(n\)为正整数，则\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}\cdot\binom{n-k}{2}\cdot\binom{2}{2}\)的结果是

三、多选题

1.以下哪个恒等式是正确的

A.\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot(-1)^k=0\)

B.\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk=n\cdot2^{n-1}\)

C.\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk^2=n(n+1)\cdot2^{n-1}\)

D.\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{2}\)

2.以下哪个方法是证明组合恒等式的正确方法

A.数学归纳法

B.组合证明法

C.恒等式法

D.代数运算法

3.若\(n\)为正整数，以下哪个恒等式是正确的

A.\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}=\binom{2n}{r}\)

B.\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{n-k}{r}=\binom{2n}{r}\)

C.\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{n-k}{r}\cdot\binom{r}{2}=\binom{2n}{r+2}\)

D.\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}\cdot\binom{n-k}{2}=\binom{2n}{r+2}\)

4.以下哪个恒等式是正确的

A.\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-1}=n\cdot\binom{2n-1}{r-1}\)

B.\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-1}\cdot\binom{r-1}{2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{r-1}\)

C.\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{r-2}\)

D.\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-2}\cdot\binom{r-2}{2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-5}{r-2}\)

5.以下哪个方法是证明组合恒等式的正确方法

A.数学归纳法

B.组合证明法

C.恒等式法

D.代数运算法

四、判断题

1.恒等式\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot(-1)^k=0\)对于所有正整数\(n\)都成立。

2.恒等式\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk=n\cdot2^{n-1}\)对于所有正整数\(n\)都成立。

3.恒等式\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk^2=n(n+1)\cdot2^{n-1}\)对于所有正整数\(n\)都成立。

4.恒等式\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{2}\)对于所有正整数\(n\)都成立。

5.恒等式\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}=\binom{2n}{r}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立。

6.恒等式\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{n-k}{r}=\binom{2n}{r}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立。

7.恒等式\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{n-k}{r}\cdot\binom{r}{2}=\binom{2n}{r+2}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立。

8.恒等式\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-1}=n\cdot\binom{2n-1}{r-1}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立。

9.恒等式\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{r-2}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立。

10.恒等式\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-2}\cdot\binom{r-2}{2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-5}{r-2}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立。

五、问答题

1.证明恒等式\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-1}=n\cdot\binom{2n-1}{r-1}\)。

2.证明恒等式\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{r-2}\)。

3.证明恒等式\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot(-1)^k\cdot\binom{2n-2k}{n}=0\)。

试卷答案

一、选择题

1.B

解析：根据二项式定理，\((1+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\)，所以\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot(-1)^k=(1-1)^n=0\)，但当\(n=1\)时，\(\sum_{k=0}^{1}\binom{1}{k}\cdot(-1)^k=1-1=0\)，但当\(n>1\)时，奇偶性交替，所以\(\binom{2n}{n}\)为偶数。

2.A

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk=n\cdot\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}=n\cdot2^{n-1}\)。

3.B

解析：根据多项式定理，\((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdota^k\cdotb^{n-k}\)，当\(a=1,b=9\)时，\(10^n=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}\cdot1^k\cdot9^{10-k}\)，所以结果为1024。

4.C

解析：根据二项式定理，\((1-1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot(-1)^k=0\)，所以通过恒等式法可以证明。

5.C

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk^2=n\cdot\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}\cdotk=n\cdot(n+1)\cdot2^{n-1}\)。

6.A

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}=\sum_{k=r}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}=\binom{2n}{r}\)。

7.A

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{n-k}{r}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{n-k}{r}=\binom{2n}{r}\)。

8.A

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-1}=n\cdot\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}\cdot\binom{n-k}{r-1}=n\cdot\binom{2n-1}{r-1}\)。

9.B

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-2}=n(n-1)\cdot\sum_{k=2}^{n}\binom{n-2}{k-2}\cdot\binom{n-k}{r-2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{r-2}\)。

10.A

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-2}\cdot\binom{r-2}{2}=n(n-1)\cdot\sum_{k=2}^{n}\binom{n-2}{k-2}\cdot\binom{n-k}{r-2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-5}{r-2}\)。

二、填空题

1.0

解析：根据二项式定理，\((1-1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot(-1)^k=0\)。

2.\(n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{2}\)

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{2}=n(n-1)\cdot\sum_{k=2}^{n}\binom{n-2}{k-2}\cdot\binom{n-k}{2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{2}\)。

3.1

解析：根据多项式定理，\((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdota^k\cdotb^{n-k}\)，当\(a=1,b=9\)时，\(10^n=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}\cdot1^k\cdot9^{10-k}\)，所以结果为1024。

4.\(n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{2}\)

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk^2\cdot\binom{n-k}{2}=n(n-1)\cdot\sum_{k=2}^{n}\binom{n-2}{k-2}\cdot\binom{n-k}{2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{2}\)。

5.\(\binom{2n}{r+2}\)

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}\cdot\binom{n-k}{2}=\sum_{k=r}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}\cdot\binom{n-k}{2}=\binom{2n}{r+2}\)。

6.\(n\cdot\binom{2n-1}{r-1}\cdot\binom{r-1}{2}\)

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-1}\cdot\binom{r-1}{2}=n\cdot\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}\cdot\binom{n-k}{r-1}\cdot\binom{r-1}{2}=n\cdot\binom{2n-1}{r-1}\cdot\binom{r-1}{2}\)。

7.恒等式法

解析：通过恒等式法，可以证明\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot(-1)^k\cdot\binom{2n-2k}{n}=0\)。

8.\(n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{r-2}\cdot\binom{r-2}{2}\)

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-2}\cdot\binom{r-2}{2}=n(n-1)\cdot\sum_{k=2}^{n}\binom{n-2}{k-2}\cdot\binom{n-k}{r-2}\cdot\binom{r-2}{2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{r-2}\cdot\binom{r-2}{2}\)。

9.\(\binom{2n}{r+2}\)

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}\cdot\binom{n-k}{2}=\sum_{k=r}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}\cdot\binom{n-k}{2}=\binom{2n}{r+2}\)。

10.\(\binom{2n}{r+2}\)

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}\cdot\binom{n-k}{2}\cdot\binom{2}{2}=\sum_{k=r}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}\cdot\binom{n-k}{2}\cdot\binom{2}{2}=\binom{2n}{r+2}\)。

三、多选题

1.B,C

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot(-1)^k=0\)对于所有正整数\(n\)都成立，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk=n\cdot2^{n-1}\)对于所有正整数\(n\)都成立，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk^2=n(n+1)\cdot2^{n-1}\)对于所有正整数\(n\)都成立，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{2}\)对于所有正整数\(n\)都成立。

2.A,B,C,D

解析：数学归纳法、组合证明法、恒等式法、代数运算法都是证明组合恒等式的正确方法。

3.A,B,C,D

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}=\binom{2n}{r}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{n-k}{r}=\binom{2n}{r}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{n-k}{r}\cdot\binom{r}{2}=\binom{2n}{r+2}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}\cdot\binom{n-k}{2}=\binom{2n}{r+2}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立。

4.A,B,C,D

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-1}=n\cdot\binom{2n-1}{r-1}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-1}\cdot\binom{r-1}{2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{r-1}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{r-2}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-2}\cdot\binom{r-2}{2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-5}{r-2}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立。

5.A,B,C,D

解析：数学归纳法、组合证明法、恒等式法、代数运算法都是证明组合恒等式的正确方法。

四、判断题

1.错误

解析：当\(n=1\)时，\(\sum_{k=0}^{1}\binom{1}{k}\cdot(-1)^k=1-1=0\)，但当\(n>1\)时，奇偶性交替，所以\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot(-1)^k\neq0\)。

2.正确

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk=n\cdot2^{n-1}\)对于所有正整数\(n\)都成立。

3.正确

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk^2=n(n+1)\cdot2^{n-1}\)对于所有正整数\(n\)都成立。

4.正确

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{2}=n(n-1)\cdot\binom{2n-3}{2}\)对于所有正整数\(n\)都成立。

5.正确

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{r}=\binom{2n}{r}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立。

6.正确

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{n-k}{r}=\binom{2n}{r}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立。

7.正确

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\binom{n-k}{r}\cdot\binom{r}{2}=\binom{2n}{r+2}\)对于所有正整数\(n\)和\(r\)都成立。

8.正确

解析：根据组合数的性质，\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdotk\cdot\binom{n-k}{r-1}=n\cdot\binom{2n-1}{r-1}\)对于所有正整数\(n\)和\(r