高中奥数模型归纳训练卷

高中奥数模型归纳训练卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三奥数班

试标题:高中奥数模型归纳训练卷

一、选择题

1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数，且f(1)=3，f(-1)=1，f(0)=-1，则f(2)的值为

A.7

B.5

C.3

D.1

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为

A.1/2

B.3/4

C.4/5

D.5/3

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_n+2，则数列{a_n}的通项公式为

A.a_n=2n-1

B.a_n=2n

C.a_n=n^2

D.a_n=n(n+1)

4.已知圆O的半径为1，点P在圆外，OP=2，则点P到圆O上任意一点的距离的最小值为

A.1

B.√2

C.√3

D.2

5.已知f(x)=x^3-ax^2+bx-1，若f(x)在x=1处取得极值，且f(1)=0，则a+b的值为

A.3

B.4

C.5

D.6

6.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长半轴为3，短半轴为2，则椭圆上到焦点距离之和的最大值为

A.6

B.8

C.10

D.12

7.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为

A.1

B.2

C.3

D.4

8.已知函数g(x)=sin(x+π/3)，则g(x)的周期为

A.π/2

B.π

C.2π

D.4π

9.已知不等式|2x-1|<3的解集为M，则集合M的补集为

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2)

C.[-4,4]

D.(-∞,-1]∪[2,+∞)

10.已知函数h(x)=e^x-x^2，则h(x)在(-∞,+∞)上的零点个数为

A.0

B.1

C.2

D.3

二、填空题

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)的单调递增区间为

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，c=1，则角B的大小为

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，a_n+a_{n+1}=n+1，则数列{a_n}的前10项和为

4.已知圆O的方程为x^2+y^2=4，圆O'的方程为(x-2)^2+(y-1)^2=1，则圆O与圆O'的外公切线的斜率为

5.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数，且f(1)=2，f(-1)=0，f(0)=-1，则f(2)的值为

6.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长半轴为3，短半轴为2，则椭圆上到焦点距离之和的最小值为

7.已知函数g(x)=|x-1|+|x+2|，则g(x)的最大值为

8.已知函数h(x)=sin(x+π/4)，则h(x)的周期为

9.已知不等式|3x-2|>1的解集为M，则集合M的补集为

10.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)的极小值为

三、多选题

1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数，且f(1)=3，f(-1)=1，f(0)=-1，则下列说法正确的有

A.a=1

B.b=1

C.c=-1

D.f(x)的图像开口向上

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则下列说法正确的有

A.cosA=3/4

B.sinB=4/5

C.tanC=3/4

D.△ABC是直角三角形

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_n+2，则下列说法正确的有

A.a_n=2n-1

B.a_n=n^2

C.S_n=n(n+1)

D.数列{a_n}是等差数列

4.已知圆O的半径为1，点P在圆外，OP=2，则下列说法正确的有

A.点P到圆O上任意一点的距离的最小值为1

B.点P到圆O上任意一点的距离的最大值为3

C.点P到圆O上任意一点的距离的最小值为√3

D.点P到圆O上任意一点的距离的最大值为2√3

5.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx-1，若f(x)在x=1处取得极值，且f(1)=0，则下列说法正确的有

A.a=3

B.b=2

C.f(x)在x=1处取得极大值

D.f(x)在x=1处取得极小值

四、判断题

1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数，且f(1)=3，f(-1)=1，f(0)=-1，则f(x)的图像必过点(1,3)

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_n+2，则数列{a_n}是等差数列

4.已知圆O的半径为1，点P在圆外，OP=2，则点P到圆O上任意一点的距离的最小值为1

5.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx-1，若f(x)在x=1处取得极值，且f(1)=0，则a=3

6.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长半轴为3，短半轴为2，则椭圆的离心率为√5/3

7.已知函数g(x)=|x-1|+|x+2|，则g(x)的最小值为3

8.已知函数h(x)=sin(x+π/4)，则h(x)的周期为2π

9.已知不等式|2x-1|<3的解集为M，则集合M的补集为(-∞,-1]∪[2,+∞)

10.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)的极大值为3

五、问答题

1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数，且f(1)=3，f(-1)=1，f(0)=-1，求a、b、c的值

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosA+cosB+cosC的值

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_n+2，求证数列{a_n}是等差数列

试卷答案

一、选择题

1.C

解析：由f(1)=a+b+c=3，f(-1)=a-b+c=1，f(0)=c=-1，得a+b=4，a-b=2，解得a=3，b=1，故f(2)=4a+2b+c=12+2-1=13，故选C。

2.C

解析：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(16+25-9)/(2*4*5)=32/40=4/5，故选C。

3.A

解析：由a_n+a_{n+1}=2S_n+2，得a_{n+1}+a_{n+2}=2S_{n+1}+2，两式相减得a_{n+2}-a_n=2a_{n+1}，即a_{n+1}-a_n=2d，故数列{a_n}是等差数列，设公差为d，由a_1=1，a_2=2S_1+2-a_1=4-1=3，得d=2，故a_n=1+(n-1)*2=2n-1，故选A。

4.A

解析：设点P到圆O上任意一点Q的距离为l，则l=PQ+OQ≥OP-OQ=2-1=1，故最小值为1。

5.B

解析：由f(1)=a+b+c=2，f(-1)=a-b+c=0，f(0)=c=-1，得a+b=3，a-b=1，解得a=2，b=1，故f(2)=4a+2b+c=8+2-1=9，故选B。

6.A

解析：椭圆上到焦点距离之和为2a=6，故最大值为6。

7.C

解析：g(x)=|x-1|+|x+2|=(x-1)+(x+2)=2x+1(x≥1)，g(x)=-(x-1)+(x+2)=3(x<-2)，g(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1(-2≤x<1)，故最小值为3。

8.C

解析：函数g(x)=sin(x+π/4)的周期为2π。

9.D

解析：由|3x-2|>1得3x-2>1或3x-2<-1，即x>1或x<1/3，故M=(-∞,1/3)∪(1,+∞)，补集为[1/3,1]，故选D。

10.B

解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=-2，故极小值为-2，故选B。

二、填空题

1.(-∞,1)∪(2,+∞)

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)>0得x<0或x>2，故单调递增区间为(-∞,0)∪(2,+∞)。

2.π/3

解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(4+1-3)/(2*2*1)=1/2，故B=π/3。

3.55

解析：由a_n+a_{n+1}=n+1，得a_{n+1}+a_{n+2}=n+2，两式相减得a_{n+2}-a_n=1，故数列{a_n+a_{n+2}}是首项为a_1+a_3=4，公差为1的等差数列，故a_n+a_{n+2}=4+(n-1)=n+3，故S_n=(n/2)(a_1+a_n)=(n/2)(2+a_n)，故a_n=2S_n-S_{n-1}=n+1(n≥2)，故a_n=n+1，故S_10=2+3+...+11=55。

4.-3

解析：圆O与圆O'的圆心距为√((2-0)^2+(1-0)^2)=√5，两圆半径之差为1-1=0，故外公切线斜率为-3。

5.9

解析：同选择题第5题解析，a=2，b=1，故f(2)=9。

6.6

解析：同选择题第6题解析，椭圆上到焦点距离之和为6。

7.3

解析：同选择题第7题解析，g(x)的最大值为3。

8.2π

解析：同选择题第8题解析，函数g(x)=sin(x+π/4)的周期为2π。

9.[-1/3,1]

解析：同选择题第9题解析，集合M的补集为[-1/3,1]。

10.-2

解析：同选择题第10题解析，f(x)的极小值为-2。

三、多选题

1.A、B、C

解析：同选择题第1题解析，a=1，b=1，c=-1，故A、B、C正确，f(x)的图像过点(1,3)，故选A、B、C。

2.A、B、D

解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(9+16-25)/(2*3*4)=0，故C=π/2，故△ABC是直角三角形，故A、B、D正确，故选A、B、D。

3.A、C

解析：同选择题第3题解析，数列{a_n}是等差数列，a_n=2n-1，S_n=n(n+1)，故A、C正确，故选A、C。

4.A、B

解析：同选择题第4题解析，点P到圆O上任意一点的距离的最小值为1，最大值为3，故A、B正确，故选A、B。

5.A、C

解析：由f(1)=1-a+b-1=0，得b=a，f'(x)=3x^2-2ax+b，f'(1)=3-2a+b=0，得a=3，b=3，f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2，故f(x)在x=1处取得极大值，故A、C正确，故选A、C。

四、判断题

1.正确

解析：同选择题第1题解析，f(1)=3，故正确。

2.正确

解析：同选择题第2题解析，cosA=3/4，故△ABC是直角三角形，故正确。

3.正确

解析：同选择题第3题解析，数列{a_n}是等差数列，故正确。

4.正确

解析：同选择题第4题解析，点P到圆O上任意一点的距离的最小值为1，故正确。

5.正确

解析：同选择题第5题解析，a=3，故正确。

6.错误

解析：椭圆的离心率e=c/a=√(a^2-b^2)/a=√(9-4)/3=√5/3，故错误。

7.正