高中奥数多项式综合压轴卷

高中奥数多项式综合压轴卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三奥数班

高中奥数多项式综合压轴卷

一、选择题

1.已知多项式f(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1和x=-1处取得相同值，则a+b的值为

A.0

B.1

C.-1

D.2

2.多项式g(x)=x^4-4x^3+px^2+qx+6有四个实数根，且其中两个根的积为3，则p+q的值为

A.-10

B.-8

C.8

D.10

3.多项式h(x)=x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1的展开式中，x^3项的系数与x^2项的系数之差为

A.0

B.5

C.-5

D.10

4.若f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d与g(x)=x^4-x^3+2x^2-3x+1在x=1处的值相等，则a+b+c+d的值为

A.0

B.1

C.-1

D.2

5.多项式p(x)=x^3-3x^2+2x-1的根为α、β、γ，则(α+1)(β+1)(γ+1)的值为

A.1

B.2

C.-1

D.-2

6.已知多项式q(x)=x^3-mx^2+nx-2有三个相异的实数根，且其判别式Δ>0，则m^2-n的取值范围是

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

7.多项式r(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+k在x=1时的值等于其导数在x=-1时的值，则k的值为

A.0

B.1

C.-1

D.2

8.已知多项式s(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e的根满足α+β+γ+δ+ε=0，αβγδε=1，则s(1)的值为

A.0

B.1

C.-1

D.2

9.多项式t(x)=x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1的根中，负根的个数为

A.0

B.1

C.2

D.3

10.若多项式u(x)=x^4+px^3+qx^2+rx+s的根满足α、β、γ、δ，且α^2+β^2+γ^2+δ^2=10，则p^2+q^2+r^2+s^2的值为

A.10

B.20

C.30

D.40

二、填空题

1.多项式v(x)=x^3-ax^2+bx-1的根满足α+β+γ=3，αβ+βγ+γα=1，则a+b的值为________。

2.多项式w(x)=x^4-4x^3+mx^2+nx-6的根中，有两个根的差的绝对值为2，则m+n的值为________。

3.多项式z(x)=x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1的根中，正根的个数为________。

4.若多项式y(x)=x^3-px^2+qx-r的根为1、2、3，则p+q+r的值为________。

5.多项式u(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+k的根都为实数，则k的取值范围是________。

6.已知多项式f(x)=x^3-ax^2+bx-1的根满足α、β、γ，且αβ=βγ=γα，则a^2+b的值为________。

7.多项式g(x)=x^4-px^3+qx^2-rx+s的根满足α、β、γ、δ，且α+β=3，γ+δ=4，则p+q-r的值为________。

8.若多项式h(x)=x^5-mx^4+nx^3-px^2+qx-r的根满足α、β、γ、δ、ε，且αβ=βγ=γδ=δε=εα=1，则m+n+p+q+r的值为________。

9.多项式k(x)=x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1的根中，绝对值大于2的根的个数为________。

10.已知多项式v(x)=x^4+px^3+qx^2+rx+s的根满足α、β、γ、δ，且α^2+β^2+γ^2+δ^2=10，αβ+βγ+γα+δε=6，则p^2+q^2+r^2+s^2的值为________。

三、多选题

1.多项式f(x)=x^3-ax^2+bx-1的根满足α、β、γ，若α+β=3，αβ=2，则下列说法正确的有

A.γ=1

B.f(1)=0

C.a+b=4

D.Δ=0

2.多项式g(x)=x^4-px^3+qx^2-rx+s的根满足α、β、γ、δ，若α+β=3，γ+δ=4，且αβ=γδ，则下列说法正确的有

A.p=7

B.q=11

C.r=12

D.s=6

3.多项式h(x)=x^5-mx^4+nx^3-px^2+qx-r的根满足α、β、γ、δ、ε，若αβ=βγ=γδ=δε=εα=1，则下列说法正确的有

A.m=5

B.n=10

C.p=10

D.q=5

4.多项式k(x)=x^6-7x^5+21x^4-35x^3+35x^2-21x+7的根中，绝对值大于1的根的个数为

A.0

B.1

C.2

D.3

5.已知多项式v(x)=x^4+px^3+qx^2+rx+s的根满足α、β、γ、δ，若α+β=3，γ+δ=4，αβ+γδ=4，则下列说法正确的有

A.p=-7

B.q=11

C.r=-12

D.s=6

四、判断题

1.多项式x^4-4x^3+4x^2-4x+3的根都是实数

2.若多项式f(x)=x^3-ax^2+bx-1的根满足α+β+γ=3，αβ+βγ+γα=3，则a+b=6

3.多项式x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1的根中，负根的个数为0

4.若多项式f(x)=x^3-mx^2+nx-r的根为1、2、3，则r=6

5.多项式x^4-4x^3+6x^2-4x+1的根都相等

6.已知多项式f(x)=x^4-px^3+qx^2-rx+s的根满足α、β、γ、δ，且α+β=3，γ+δ=4，则p=7

7.多项式x^5-mx^4+nx^3-mx^2+nx-1的根满足α、β、γ、δ、ε，若α+β+γ+δ+ε=5，αβγδε=1，则m=n

8.多项式x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1的根中，绝对值大于3的根的个数为0

9.已知多项式f(x)=x^4+px^3+qx^2+rx+s的根满足α、β、γ、δ，且α^2+β^2+γ^2+δ^2=10，αβ+βγ+γα+δε=6，则p^2+q^2+r^2+s^2=20

10.多项式x^3-3x^2+3x-1的根都为1

五、问答题

1.已知多项式f(x)=x^3-ax^2+bx-1的根满足α、β、γ，且α+β=2，αβγ=2，求a、b的值

2.多项式g(x)=x^4-px^3+qx^2-rx+s的根满足α、β、γ、δ，且α+β=3，γ+δ=4，αβ=γδ=1，求p、q、r、s的值

3.已知多项式h(x)=x^5-mx^4+nx^3-mx^2+nx-1的根满足α、β、γ、δ、ε，且α+β+γ+δ+ε=5，αβγδε=1，α=1，求m、n的值

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：由f(1)=f(-1)得1-a+b-1=-1-a+b-1，解得a+b=0

2.B

解析：设根为α、β、γ、δ，且αβ=3，则(αβ)^2=9，又因(α+β+γ+δ)^2=α^2+β^2+γ^2+δ^2+2(αγ+βδ+αδ+αβ)=10^2，代入αβ=3得α^2+β^2+γ^2+δ^2=64-2(αγ+βδ+αδ+3)=64-2(γ+δ+3)=58，又因(αβγδ)^2=(αβ)^2(γδ)=9γδ=36，得γδ=4，代入(γ+δ)^2=γ^2+δ^2+2γδ=58+8=66，得γ+δ=±√66，则p+q=-4(α+β+γ+δ)=-40±4√66，取-8时满足Δ≥0

3.A

解析：由二项式定理知x^3项系数为10，x^2项系数为-10，差为0

4.C

解析：由f(1)=g(1)得1+a+b+c+d=1-1+2-3+1，解得a+b+c+d=-2

5.B

解析：原式=(αβγ+αβ+αγ+βγ+α+β+γ)-1=(α+1)(β+1)(γ+1)-1

6.D

解析：由Δ>0得(m-2)^2-4(-2-n)>0，即m^2+n-8>0，又因(αβγ)^2=(αβ)^2(αγ)=n^2>0，得n≠0，则m^2-n>1

7.A

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4，f(1)=0，f'(-1)=-4，则4-12+12-4=4-12+12-4，得k=0

8.B

解析：由根的性质知αβγδε=1，则s(1)=1+a+b+c+d+e=1+αβγδε=2

9.A

解析：由二项式定理知根为(1±√2)^3的实数值，只有1满足

10.C

解析：由(α+β+γ+δ)^2=α^2+β^2+γ^2+δ^2+2(αγ+βδ+αδ+αβ)=10^2，代入αγ+βδ+αδ+αβ=6得α^2+β^2+γ^2+δ^2=64-12=52，则(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ)^2=36+2(αβγδ)=36+2=38，p^2+q^2+r^2+s^2=α^2+β^2+γ^2+δ^2+2(αβγδ)=52+2=54

二、填空题答案及解析

1.2

解析：由韦达定理知αβγ=1，α+β+γ=3，则(α+1)(β+1)(γ+1)=αβγ+(αβ+αγ+βγ)+α+β+γ=1+1+3=5，a=-(α+β+γ)=-3，b=αβγ=1，则a+b=-2

2.-10

解析：设根为α、β、γ、δ，且|α-β|=2，则(α-β)^2=4，又因(α+β+γ+δ)^2=α^2+β^2+γ^2+δ^2+2(αγ+βδ+αδ+αβ)=16，代入αγ+βδ+αδ+αβ=10得α^2+β^2+γ^2+δ^2=16-20=-4，不可能，故设|γ-δ|=2，同理得α^2+β^2+γ^2+δ^2=16-20=-4，不可能，故设|αβ-αγ|=2，同理得α^2+β^2+γ^2+δ^2=16-20=-4，不可能，故设|αβ-βγ|=2，同理得α^2+β^2+γ^2+δ^2=16-20=-4，不可能，故设|αγ-αδ|=2，同理得α^2+β^2+γ^2+δ^2=16-20=-4，不可能，故设|βγ-βδ|=2，同理得α^2+β^2+γ^2+δ^2=16-20=-4，不可能，故设|αβ-αγ|=2，同理得α^2+β^2+γ^2+δ^2=16-20=-4，不可能，故设|αγ-αδ|=2，同理得α^2+β^2+γ^2+δ^2=16-20=-4，不可能，故设|βγ-βδ|=2，同理得α^2+β^2+γ^2+δ^2=16-20=-4，不可能，故设|αβ-αγ|=2，同理得α^2+β^2+γ^2+δ^2=16-20=-4，不可能

3.0

解析：由二项式定理知根为(1±√2)^5的实数值，只有1满足

4.6

解析：由韦达定理知α+β+γ=3，αβ+βγ+γα=3，则a=-(α+β+γ)=-3，b=αβ+βγ+γα=3，则a+b=0

5.[0,1]

解析：由判别式Δ=16-4k≥0得k≤4，又因(1±√k)^2≥0，得k≥0，故k∈[0,4]

6.6

解析：由αβ=βγ=γα得α=β=γ，则a=3α，b=3α^2，代入f(x)得x^3-3αx^2+3α^2x-1=(x-α)^3-1，故α=1，a=3，b=3，则a^2+b=6

7.10

解析：由韦达定理知α+β=3，γ+δ=4，αβ+γδ=p，αβγδ=q，则p+q=7，又因(α+β)(γ+δ)=αγ+βδ+3αβ+3γδ=12，代入p+q=7得αγ+βδ=5，则p+q-r=12-r=10

8.0

解析：由韦达定理知αβγδε=1，α+β+γ+δ+ε=5，则m=α+β+γ+δ+ε=5，n=αβ+βγ+γδ+δε+εα=10，p=αβγ+αγδ+βγε+δεα+εβγ=10，q=αβγδ+αγδε+βδεα+δεβγ+εαγβ=5，r=αβγδε=1，则m+n+p+q+r=5+10+10+5+1=31

9.0

解析：由二项式定理知根为(1±√2)^6的实数值，只有1满足

10.10

解析：由(α+β+γ+δ)^2=α^2+β^2+γ^2+δ^2+2(αγ+βδ+αδ+αβ)=10^2，代入αγ+βδ+αδ+αβ=6得α^2+β^2+γ^2+δ^2=64-12=52，则p^2+q^2+r^2+s^2=α^2+β^2+γ^2+δ^2=52

三、多选题答案及解析

1.ABC

解析：由α+β=3，αβ=2得α、β为1、2，则γ=1，f(1)=1-a+b-1=0，得b=a，a+b=2a=3，故a=1.5，b=1.5，Δ=(1)^2-4×1×(-1)=5>0，故只有A、B、C正确

2.ABC

解析：由α+β=3，γ+δ=4，αβ=γδ=1得α、β为1、2，γ、δ为2、2，则p=-(α+β+γ+δ)=-9，q=αβ+βγ+γα+δε=1+4+4+4=13，r=αβγδ=8，s=1，故只有A、B、C正确

3.ABCD

解析：由αβ=βγ=γδ=δε=εα=1得α、β、γ、δ、ε为1，则m=5，n=10，p=10，q=5，故全部正确

4.A

解析：由二项式定理知根为(1±√2)^6的实数值，只有1满足，故绝对值大于1的根的个数为0

5.ABC

解析：由α+β=3，γ+δ=4，αβ+γδ=4得α、β为1、2，γ、δ为2、2，则p=-(α+β+γ+δ)=-9，q=αβ+βγ+γα+δε=1+4+4+4=13，r=αβγδ=8，s=1，故A、B、C正确

四、判断题答案及解析

1.错误

解析：由判别式Δ=16-4×4×3=-20<0，故无实数根

2.错误

解析：由α+β+γ=3，αβ+βγ+γα=3得α、β、γ为1，则a=-(α+β+γ)=-3，b=αβ+βγ+γα=3，则a+b=0

3.正确

解析：由二项式定理知根为(1±√2)^5的实数值，只有1满足

4.正确

解析：由韦达定理知α+β+γ=6，αβγ=6，则1+2+3=6，1×2×3=6，故r=6

5.正确

解析：由判别式Δ=0得(2)^2-4×1×1=0，故根都相等

6.正确

解析：由α+β=3，γ