高中奥数基础抽屉原理基础卷

高中奥数基础抽屉原理基础卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高一/奥数班

高中奥数基础抽屉原理基础卷

一、选择题

1.有五个不同的整数，它们中至少有两个数的差是偶数，这个结论是根据抽屉原理的哪个推论得出的？

A.至少有3个整数在同一个抽屉中

B.至少有两个整数在同一个抽屉中

C.至少有4个整数在同一个抽屉中

D.至少有5个整数在同一个抽屉中

2.在一个班级里，有30名学生，每个学生至少会一门外语，其中会英语的学生有18人，会法语的学生有15人，那么至少有多少名学生既会英语又会法语？

A.3人

B.5人

C.8人

D.10人

3.有100个球，其中红球、蓝球和绿球各占三分之一，至少需要取出多少个球才能保证取出的球中至少有5个颜色相同？

A.15个

B.20个

C.25个

D.30个

4.一个袋子里有10个红球和10个蓝球，至少要摸出多少个球才能保证摸出的球中至少有3个颜色相同？

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

5.有6个不同的整数，它们中至少有两个数的和是偶数，这个结论是根据抽屉原理的哪个推论得出的？

A.至少有3个整数在同一个抽屉中

B.至少有两个整数在同一个抽屉中

C.至少有4个整数在同一个抽屉中

D.至少有6个整数在同一个抽屉中

6.在一个班级里，有40名学生，每个学生至少会一门乐器，其中会钢琴的学生有20人，会小提琴的学生有15人，会吉他的人数未知，但已知至少有5名学生既会钢琴又会小提琴，那么会吉他的学生最多有多少人？

A.10人

B.15人

C.20人

D.25人

7.有50个球，其中红球、蓝球和绿球各占三分之一，至少需要取出多少个球才能保证取出的球中至少有7个颜色相同？

A.21个

B.22个

C.23个

D.24个

8.一个袋子里有12个红球和12个蓝球，至少要摸出多少个球才能保证摸出的球中至少有4个颜色相同？

A.4个

B.5个

C.6个

D.7个

9.有7个不同的整数，它们中至少有两个数的差是奇数，这个结论是根据抽屉原理的哪个推论得出的？

A.至少有3个整数在同一个抽屉中

B.至少有两个整数在同一个抽屉中

C.至少有4个整数在同一个抽屉中

D.至少有7个整数在同一个抽屉中

10.在一个班级里，有50名学生，每个学生至少会一门运动，其中会篮球的学生有25人，会足球的学生有20人，会排球的学生有15人，那么至少有多少名学生既会篮球又会足球？

A.5人

B.10人

C.15人

D.20人

二、填空题

1.有9个整数，其中至少有5个整数是偶数，这个结论是根据抽屉原理的哪个推论得出的？

2.在一个班级里，有60名学生，每个学生至少会一门外语，其中会英语的学生有35人，会法语的学生有30人，会德语的学生有25人，那么至少有多少名学生既会英语又会法语？

3.有100个球，其中红球、蓝球和绿球各占三分之一，至少需要取出多少个球才能保证取出的球中至少有6个颜色相同？

4.一个袋子里有15个红球和15个蓝球，至少要摸出多少个球才能保证摸出的球中至少有5个颜色相同？

5.有8个不同的整数，它们中至少有两个数的和是奇数，这个结论是根据抽屉原理的哪个推论得出的？

6.在一个班级里，有70名学生，每个学生至少会一门乐器，其中会钢琴的学生有40人，会小提琴的学生有35人，会吉他的人数未知，但已知至少有10名学生既会钢琴又会小提琴，那么会吉他的学生最多有多少人？

7.有60个球，其中红球、蓝球和绿球各占三分之一，至少需要取出多少个球才能保证取出的球中至少有8个颜色相同？

8.一个袋子里有20个红球和20个蓝球，至少要摸出多少个球才能保证摸出的球中至少有6个颜色相同？

9.有10个不同的整数，它们中至少有两个数的差是偶数，这个结论是根据抽屉原理的哪个推论得出的？

10.在一个班级里，有80名学生，每个学生至少会一门运动，其中会篮球的学生有45人，会足球的学生有40人，会排球的学生有35人，那么至少有多少名学生既会篮球又会足球？

三、多选题

1.有12个整数，其中至少有7个整数是奇数，这个结论是根据抽屉原理的哪个推论得出的？

A.至少有3个整数在同一个抽屉中

B.至少有两个整数在同一个抽屉中

C.至少有4个整数在同一个抽屉中

D.至少有7个整数在同一个抽屉中

2.在一个班级里，有90名学生，每个学生至少会一门外语，其中会英语的学生有50人，会法语的学生有45人，会德语的学生有40人，那么至少有多少名学生既会英语又会法语？

A.5人

B.10人

C.15人

D.20人

3.有120个球，其中红球、蓝球和绿球各占三分之一，至少需要取出多少个球才能保证取出的球中至少有9个颜色相同？

A.31个

B.32个

C.33个

D.34个

4.一个袋子里有25个红球和25个蓝球，至少要摸出多少个球才能保证摸出的球中至少有7个颜色相同？

A.7个

B.8个

C.9个

D.10个

5.有15个不同的整数，它们中至少有两个数的和是偶数，这个结论是根据抽屉原理的哪个推论得出的？

A.至少有3个整数在同一个抽屉中

B.至少有两个整数在同一个抽屉中

C.至少有4个整数在同一个抽屉中

D.至少有15个整数在同一个抽屉中

6.在一个班级里，有100名学生，每个学生至少会一门乐器，其中会钢琴的学生有55人，会小提琴的学生有50人，会吉他的人数未知，但已知至少有15名学生既会钢琴又会小提琴，那么会吉他的学生最多有多少人？

A.10人

B.15人

C.20人

D.25人

7.有80个球，其中红球、蓝球和绿球各占三分之一，至少需要取出多少个球才能保证取出的球中至少有10个颜色相同？

A.21个

B.22个

C.23个

D.24个

8.一个袋子里有30个红球和30个蓝球，至少要摸出多少个球才能保证摸出的球中至少有8个颜色相同？

A.8个

B.9个

C.10个

D.11个

9.有20个不同的整数，它们中至少有两个数的差是奇数，这个结论是根据抽屉原理的哪个推论得出的？

A.至少有3个整数在同一个抽屉中

B.至少有两个整数在同一个抽屉中

C.至少有4个整数在同一个抽屉中

D.至少有20个整数在同一个抽屉中

10.在一个班级里，有110名学生，每个学生至少会一门运动，其中会篮球的学生有60人，会足球的学生有55人，会排球的学生有50人，那么至少有多少名学生既会篮球又会足球？

A.5人

B.10人

C.15人

D.20人

四、判断题

1.抽屉原理也称为鸽巢原理。

2.至少有5个整数，其中至少有3个整数是奇数。

3.在一个班级里，有30名学生，每个学生至少会一门外语，其中会英语的学生有18人，会法语的学生有15人，那么至少有3名学生既会英语又会法语。

4.有100个球，其中红球、蓝球和绿球各占三分之一，至少需要取出34个球才能保证取出的球中至少有5个颜色相同。

5.一个袋子里有10个红球和10个蓝球，至少要摸出7个球才能保证摸出的球中至少有3个颜色相同。

6.有6个不同的整数，它们中至少有两个数的和是偶数。

7.在一个班级里，有40名学生，每个学生至少会一门乐器，其中会钢琴的学生有20人，会小提琴的学生有15人，会吉他的人数未知，但已知至少有5名学生既会钢琴又会小提琴。

8.有50个球，其中红球、蓝球和绿球各占三分之一，至少需要取出22个球才能保证取出的球中至少有7个颜色相同。

9.一个袋子里有12个红球和12个蓝球，至少要摸出6个球才能保证摸出的球中至少有4个颜色相同。

10.有7个不同的整数，它们中至少有两个数的差是奇数。

五、问答题

1.有一个班级里，有50名学生，每个学生至少会一门运动，其中会篮球的学生有25人，会足球的学生有20人，会排球的学生有15人，问至少有多少名学生既会篮球又会足球？

2.有一个袋子里有20个红球和20个蓝球，至少要摸出多少个球才能保证摸出的球中至少有5个颜色相同？

3.有一个班级里，有60名学生，每个学生至少会一门外语，其中会英语的学生有35人，会法语的学生有30人，会德语的学生有25人，问至少有多少名学生既会英语又会法语？

试卷答案

一、选择题

1.B

解析思路：五个不同的整数可以看作是放入五个抽屉的元素，每个抽屉代表一个奇偶性（奇数或偶数）。由于只有两个奇偶性，根据抽屉原理，至少有两个整数在同一个抽屉中，即至少有两个整数的奇偶性相同，它们的差是偶数。

2.B

解析思路：会英语的学生有18人，会法语的学生有15人，总共有30名学生。如果这些外语会的学生完全没有重叠，那么会两种语言的学生最多有18+15=33人，这已经超过了班级人数，因此必然存在重叠。根据抽屉原理，将30名学生看作30个元素，将18个会英语的学生和15个会法语的学生看作两个抽屉，每个抽屉代表一种语言，那么至少有33-30=3个学生在两个抽屉中，即至少有3名学生既会英语又会法语。

3.B

解析思路：100个球中红球、蓝球和绿球各占三分之一，即每种颜色有100/3约等于33个球。为了保证取出的球中至少有5个颜色相同，可以先取出3个红球、3个蓝球和3个绿球，此时每种颜色都取了3个，还没有达到5个。再取出一个球，无论是什么颜色，都会使得其中一种颜色的球数达到5个。因此，至少需要取出3+3+3+1=10个球才能保证取出的球中至少有5个颜色相同。但是题目要求的是至少需要取出多少个球，所以答案是20个，因为取出20个球时，每种颜色最多只能取出6个，此时还没有达到5个颜色相同的条件，再取出一个球就会满足条件。

4.C

解析思路：一个袋子里有10个红球和10个蓝球，共20个球。要保证摸出的球中至少有3个颜色相同，可以先摸出2个红球和2个蓝球，此时还没有满足条件。再摸出一个球，无论是什么颜色，都会使得其中一种颜色的球数达到3个。因此，至少要摸出2+2+1=5个球才能保证摸出的球中至少有3个颜色相同。

5.B

解析思路：六个不同的整数可以看作是放入六个抽屉的元素，每个抽屉代表一个奇偶性组合（奇数-奇数、奇数-偶数、偶数-奇数、偶数-偶数）。由于只有三种奇偶性组合，根据抽屉原理，至少有两个整数在同一个抽屉中，即至少有两个整数的奇偶性组合相同，它们的和是偶数。

6.C

解析思路：会钢琴的学生有20人，会小提琴的学生有15人，会吉他的学生人数未知。已知至少有5名学生既会钢琴又会小提琴，这意味着会钢琴或小提琴的学生最多有20+15-5=30人。如果会吉他的学生最多有20人，那么会至少一种乐器的人数最多有30+20=50人，这正好等于班级人数。如果会吉他的学生超过20人，那么会至少一种乐器的人数会超过50人，这与班级人数不符。因此，会吉他的学生最多有20人。

7.C

解析思路：60个球中红球、蓝球和绿球各占三分之一，即每种颜色有60/3=20个球。为了保证取出的球中至少有8个颜色相同，可以先取出7个红球、7个蓝球和7个绿球，此时每种颜色都取了7个，还没有达到8个。再取出一个球，无论是什么颜色，都会使得其中一种颜色的球数达到8个。因此，至少需要取出7+7+7+1=22个球才能保证取出的球中至少有8个颜色相同。

8.C

解析思路：一个袋子里有12个红球和12个蓝球，共24个球。要保证摸出的球中至少有4个颜色相同，可以先摸出3个红球和3个蓝球，此时还没有满足条件。再摸出一个球，无论是什么颜色，都会使得其中一种颜色的球数达到4个。因此，至少要摸出3+3+1=7个球才能保证摸出的球中至少有4个颜色相同。

9.B

解析思路：七个不同的整数可以看作是放入七个抽屉的元素，每个抽屉代表一个奇偶性（奇数或偶数）。由于只有两个奇偶性，根据抽屉原理，至少有两个整数在同一个抽屉中，即至少有两个整数的奇偶性相同，它们的差是偶数。

10.B

解析思路：会篮球的学生有25人，会足球的学生有20人，会排球的学生有15人，总共有50名学生。如果这些会运动的学生完全没有重叠，那么会至少一种运动的学生最多有25+20+15=60人，这已经超过了班级人数，因此必然存在重叠。根据抽屉原理，将50名学生看作50个元素，将25个会篮球的学生、20个会足球的学生和15个会排球的学生看作三个抽屉，每个抽屉代表一种运动，那么至少有60-50=10个学生在两个抽屉中，即至少有10名学生既会篮球又会足球。

二、填空题

1.B

解析思路：九个整数可以看作是放入九个抽屉的元素，每个抽屉代表一个奇偶性（奇数或偶数）。由于只有两个奇偶性，根据抽屉原理，至少有两个整数在同一个抽屉中，即至少有两个整数的奇偶性相同，它们的差是偶数。要保证至少有5个整数是偶数，可以先取出4个奇数和4个偶数，此时还没有满足条件。再取出一个整数，无论是什么奇偶性，都会使得偶数的个数达到5个。因此，至少有5个整数是偶数。

2.10人

解析思路：会英语的学生有35人，会法语的学生有30人，总共有60名学生。如果这些会外语的学生完全没有重叠，那么会两种语言的学生最多有35+30=65人，这已经超过了班级人数，因此必然存在重叠。根据抽屉原理，将60名学生看作60个元素，将35个会英语的学生和30个会法语的学生看作两个抽屉，每个抽屉代表一种语言，那么至少有65-60=5个学生在两个抽屉中，即至少有5名学生既会英语又会法语。但是题目中会德语的学生有25人，这并没有直接影响到会英语和法语的学生人数，因此答案仍然是5人。

3.22个

解析思路：100个球中红球、蓝球和绿球各占三分之一，即每种颜色有100/3约等于33个球。为了保证取出的球中至少有6个颜色相同，可以先取出5个红球、5个蓝球和5个绿球，此时每种颜色都取了5个，还没有达到6个。再取出一个球，无论是什么颜色，都会使得其中一种颜色的球数达到6个。因此，至少需要取出5+5+5+1=16个球才能保证取出的球中至少有6个颜色相同。但是题目要求的是至少需要取出多少个球，所以答案是22个，因为取出22个球时，每种颜色最多只能取出7个，此时还没有达到6个颜色相同的条件，再取出一个球就会满足条件。

4.7个

解析思路：一个袋子里有15个红球和15个蓝球，共30个球。要保证摸出的球中至少有5个颜色相同，可以先摸出4个红球和4个蓝球，此时还没有满足条件。再摸出一个球，无论是什么颜色，都会使得其中一种颜色的球数达到5个。因此，至少要摸出4+4+1=9个球才能保证摸出的球中至少有5个颜色相同。

5.B

解析思路：八个不同的整数可以看作是放入八个抽屉的元素，每个抽屉代表一个奇偶性组合（奇数-奇数、奇数-偶数、偶数-奇数、偶数-偶数）。由于只有三种奇偶性组合，根据抽屉原理，至少有两个整数在同一个抽屉中，即至少有两个整数的奇偶性组合相同，它们的和是奇数。

6.20人

解析思路：会钢琴的学生有40人，会小提琴的学生有35人，会吉他的学生人数未知。已知至少有10名学生既会钢琴又会小提琴，这意味着会钢琴或小提琴的学生最多有40+35-10=65人。如果会吉他的学生最多有20人，那么会至少一种乐器的人数最多有65+20=85人，这正好等于班级人数。如果会吉他的学生超过20人，那么会至少一种乐器的人数会超过85人，这与班级人数不符。因此，会吉他的学生最多有20人。

7.23个

解析思路：60个球中红球、蓝球和绿球各占三分之一，即每种颜色有60/3=20个球。为了保证取出的球中至少有8个颜色相同，可以先取出7个红球、7个蓝球和7个绿球，此时每种颜色都取了7个，还没有达到8个。再取出一个球，无论是什么颜色，都会使得其中一种颜色的球数达到8个。因此，至少需要取出7+7+7+1=22个球才能保证取出的球中至少有8个颜色相同。但是题目要求的是至少需要取出多少个球，所以答案是23个，因为取出23个球时，每种颜色最多只能取出7个，此时还没有达到8个颜色相同的条件，再取出一个球就会满足条件。

8.8个

解析思路：一个袋子里有20个红球和20个蓝球，共40个球。要保证摸出的球中至少有6个颜色相同，可以先摸出5个红球和5个蓝球，此时还没有满足条件。再摸出一个球，无论是什么颜色，都会使得其中一种颜色的球数达到6个。因此，至少要摸出5+5+1=11个球才能保证摸出的球中至少有6个颜色相同。

9.B

解析思路：十个不同的整数可以看作是放入十个抽屉的元素，每个抽屉代表一个奇偶性（奇数或偶数）。由于只有两个奇偶性，根据抽屉原理，至少有两个整数在同一个抽屉中，即至少有两个整数的奇偶性相同，它们的差是偶数。

10.15人

解析思路：会篮球的学生有45人，会足球的学生有40人，会排球的学生有35人，总共有80名学生。如果这些会运动的学生完全没有重叠，那么会至少一种运动的学生最多有45+40+35=120人，这已经超过了班级人数，因此必然存在重叠。根据抽屉原理，将80名学生看作80个元素，将45个会篮球的学生、40个会足球的学生和35个会排球的学生看作三个抽屉，每个抽屉代表一种运动，那么至少有120-80=40个学生在两个抽屉中，即至少有40名学生既会篮球又会足球。但是题目中会排球的学生有35人，这并没有直接影响到会篮球和足球的学生人数，因此答案仍然是15人。

四、判断题

1.正确

解析思路：抽屉原理也称为鸽巢原理，其基本思想是如果有n+1个物体要放入n个容器中，那么至少有一个容器中至少有两个物体。这个原理在数学中有很多应用，特别是在组合数学中。

2.正确

解析思路：九个整数可以看作是放入九个抽屉的元素，每个抽屉代表一个奇偶性（奇数或偶数）。由于只有两个奇偶性，根据抽屉原理，至少有两个整数在同一个抽屉中，即至少有两个整数的奇偶性相同，它们的差是偶数。要保证至少有5个整数是奇数，可以先取出4个奇数和4个偶数，此时还没有满足条件。再取出一个整数，无论是什么奇偶性，都会使得奇数的个数达到5个。因此，至少有5个整数是奇数。

3.正确

解析思路：会英语的学生有18人，会法语的学生有15人，总共有30名学生。如果这些会外语的学生完全没有重叠，那么会两种语言的学生最多有18+15=33人，这已经超过了班级人数，因此必然存在重叠。根据抽屉原理，将30名学生看作30个元素，将18个会英语的学生和15个会法语的学生看作两个抽屉，每个抽屉代表一种语言，那么至少有33-30=3个学生在两个抽屉中，即至少有3名学生既会英语又会法语。

4.正确

解析思路：100个球中红球、蓝球和绿球各占三分之一，即每种颜色有100/3约等于33个球。为了保证取出的球中至少有5个颜色相同，可以先取出4个红球、4个蓝球和4个绿球，此时每种颜色都取了4个，还没有达到5个。再取出一个球，无论是什么颜色，都会使得其中一种颜色的球数达到5个。因此，至少需要取出4+4+4+1=13个球才能保证取出的球中至少有5个颜色相同。但是题目要求的是至少需要取出多少个球，所以答案是34个，因为取出34个球时，每种颜色最多只能取出11个，此时还没有达到5个颜色相同的条件，再取出一个球就会满足条件。

5.正确

解析思路：一个袋子里有10个红球和10个蓝球，共20个球。要保证摸出的球中至少有3个颜色相同，可以先摸出2个红球和2个蓝球，此时还没有满足条件。再摸出一个球，无论是什么颜色，都会使得其中一种颜色的球数达到3个。因此，至少要摸出2+2+1=5个球才能保证摸出的球中至少有3个颜色相同。

6.正确

解析思路：六个不同的整数可以看作是放入六个抽屉的元素，每个抽屉代表一个奇偶性组合（奇数-奇数、奇数-偶数、偶数-奇数、偶数-偶数）。由于只有三种奇偶性组合，根据抽屉原理，至少有两个整数在同一个抽屉中，即至少有两个整数的奇偶性组合相同，它们的和是偶数。

7.正确

解析思路：会钢琴的学生有20人，会小提琴的学生有15人，会吉他的学生人数未知。已知至少有5名学生既会钢琴又会小提琴，这意味着会钢琴或小提琴的学生最多有20+15-5=30人。如果会吉他的学生最多有20人，那么会至少一种乐器的人数最多有30+20=50人，这正好等于班级人数。如果会吉他的学生超过20人，那么会至少一种乐器的人数会超过50人，这与班级人数不符。因此，会吉他的学生最多有20人。

8.正确

解析思路：60个球中红球、蓝球和绿球各占三分之一，即每种颜色有60/3=20个球。为了保证取出的球中至少有8个颜色相同，可以先取出7个红球、7个蓝球和7个绿球，此时每种颜色都取了7个，还没有达到8个。再取出一个球，无论是什么颜色，都会使得其中一种颜色的球数达到8个。因此，至少需要取出7+7+7+1=22个球才能保证取出的球中至少有8个颜色相同。但是题目要求的是至少需要取出多少个球，所以答案是23个，因为取出23个球时，每种颜色最多只能取出7个，此时还没有达到8个颜色相同的条件，再取出一个球就会满足条件。

9.正确

解析思路：一个袋子里有12个红球和12个蓝球，共24个球。要保证摸出的球中至少有4个颜色相同，可以先摸出3个红球和3个蓝球，此