全国高中数学联赛二试组合专项卷

全国高中数学联赛二试组合专项卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三

全国高中数学联赛二试组合专项卷

一、选择题

1.已知集合A和B，其中A包含m个元素，B包含n个元素，且A和B的交集为空集，则从A和B中选取一个元素的方法共有多少种？

A.m+n

B.m*n

C.2^(m+n)

D.m!*n!

2.在一个有6个顶点的完全图中，选取3个顶点构成一个三角形，有多少种不同的选取方法？

A.20

B.30

C.60

D.120

3.有5名男生和4名女生，要组成一个包含3名男生和2名女生的委员会，有多少种不同的组成方法？

A.100

B.200

C.600

D.1200

4.一个班级有40名学生，要选出10名学生组成一个小组，有多少种不同的选法？

A.C(40,10)

B.P(40,10)

C.2^40

D.40^10

5.在一个圆周上有n个不同的点，通过这些点可以构成多少条不同的弦？

A.n

B.n(n-1)/2

C.n(n+1)/2

D.2^n

6.有10个不同的球，要分给3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，有多少种不同的分配方法？

A.C(10,3)

B.P(10,3)

C.3^10

D.S(10,3)

7.一个凸多边形有100条边，这个多边形的内角和是多少度？

A.1800

B.3600

C.5400

D.7200

8.在一个有n个元素的集合中，选取k个元素的组合数记为C(n,k)，那么C(n,k)与C(n,n-k)之间有什么关系？

A.C(n,k)=C(n,n-k)

B.C(n,k)>C(n,n-k)

C.C(n,k)<C(n,n-k)

D.C(n,k)≠C(n,n-k)

9.在一个有n个元素的集合中，选取k个元素的排列数记为P(n,k)，那么P(n,k)与P(n,n-k)之间有什么关系？

A.P(n,k)=P(n,n-k)

B.P(n,k)>P(n,n-k)

C.P(n,k)<P(n,n-k)

D.P(n,k)≠P(n,n-k)

10.有5个不同的书，要分给3个不同的学生，每个学生至少得到一本书，有多少种不同的分配方法？

A.C(5,3)

B.P(5,3)

C.3^5

D.S(5,3)

二、填空题

1.在一个有10个元素的集合中，选取3个元素的组合数是多少？

2.在一个有6个顶点的完全图中，选取2条不相交的弦，有多少种不同的选法？

3.有7名男生和5名女生，要组成一个包含4名男生和3名女生的委员会，有多少种不同的组成方法？

4.一个班级有50名学生，要选出15名学生组成一个小组，有多少种不同的选法？

5.在一个圆周上有8个不同的点，通过这些点可以构成多少条不同的弦？

6.有12个不同的球，要分给4个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，有多少种不同的分配方法？

7.一个凸多边形有200条边，这个多边形的内角和是多少度？

8.在一个有n个元素的集合中，选取k个元素的组合数记为C(n,k)，那么C(n,k)与C(n-1,k-1)之间有什么关系？

9.在一个有n个元素的集合中，选取k个元素的排列数记为P(n,k)，那么P(n,k)与P(n-1,k)之间有什么关系？

10.有6个不同的书，要分给3个不同的学生，每个学生至少得到一本书，有多少种不同的分配方法？

三、多选题

1.在一个有n个元素的集合中，选取k个元素的组合数C(n,k)有什么性质？

A.C(n,k)=C(n,n-k)

B.C(n,k)≤C(n,n-k)

C.C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)

D.C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)

2.在一个有n个元素的集合中，选取k个元素的排列数P(n,k)有什么性质？

A.P(n,k)=P(n,n-k)

B.P(n,k)>P(n,n-k)

C.P(n,k)=P(n-1,k-1)+P(n-1,k)

D.P(n,k)=P(n-1,k)+P(n-1,k-1)

3.有5个不同的书和3个不同的学生，要分给这3个学生，每个学生至少得到一本书，有多少种不同的分配方法？

A.60

B.120

C.180

D.240

4.在一个有n个元素的集合中，选取k个元素的组合数C(n,k)与排列数P(n,k)之间有什么关系？

A.C(n,k)=P(n,k)/k!

B.C(n,k)=P(n,k)*k!

C.C(n,k)<P(n,k)

D.C(n,k)>P(n,k)

5.有7个不同的球和4个不同的盒子，要分给这4个盒子，每个盒子至少有一个球，有多少种不同的分配方法？

A.840

B.1260

C.1680

D.2520

四、判断题

1.在一个有n个元素的集合中，选取k个元素的组合数C(n,k)总大于选取k+1个元素的组合数C(n,k+1)。

2.排列数P(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的所有不同排列的个数，其中元素不可重复选取。

3.组合数C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的所有不同组合的个数，其中元素不可重复选取，且顺序不重要。

4.对于任意的正整数n和k，如果k>n，则组合数C(n,k)等于0。

5.排列数P(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的所有不同排列的个数，其中元素可以重复选取，且顺序重要。

6.组合数C(n,k)与排列数P(n,k)之间的关系是C(n,k)=P(n,k)*k!。

7.如果集合A有m个元素，集合B有n个元素，那么集合A和集合B的并集有m+n个元素。

8.在一个有n个元素的集合中，选取k个元素的组合数C(n,k)等于选取n-k个元素的组合数C(n,n-k)。

9.排列数P(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的所有不同排列的个数，其中元素不可重复选取，且顺序重要。

10.对于任意的正整数n和k，如果0≤k≤n，则组合数C(n,k)大于0。

五、问答题

1.有10个不同的球，要分给3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，有多少种不同的分配方法？请写出计算过程。

2.在一个有12个元素的集合中，选取5个元素的组合数是多少？请写出计算过程。

3.有6个不同的书和3个不同的学生，要分给这3个学生，每个学生至少得到一本书，有多少种不同的分配方法？请写出计算过程。

试卷答案

一、选择题

1.A.m+n

解析：从A中选一个元素有m种方法，从B中选一个元素有n种方法，因为A和B的交集为空集，所以选一个元素要么来自A要么来自B，共有m+n种方法。

2.B.30

解析：在完全图K6中，任意3个顶点都构成一个三角形，所以三角形的个数就是从6个顶点中选3个的组合数，即C(6,3)=20。但题目问的是选取3个顶点构成一个三角形的方法数，这里方法数与个数相同，所以是20种。

3.C.600

解析：先从5名男生中选3名，有C(5,3)=10种方法；再从4名女生中选2名，有C(4,2)=6种方法。根据乘法原理，共有10*6=60种方法。但题目要求组成一个委员会，所以还需要考虑委员会的排列，即3名男生和2名女生的排列数，有P(5,3)*P(4,2)=60*6=360种方法。但题目只要求组成方法，不考虑排列，所以是60种。

4.A.C(40,10)

解析：从40名学生中选出10名学生组成一个小组，这是一个组合问题，因为小组的顺序不重要，所以用组合数C(40,10)表示。

5.B.n(n-1)/2

解析：在圆周上任意两点可以确定一条弦，所以只要选出两个点，就可以确定一条弦。从n个点中选2个点的组合数是C(n,2)=n(n-1)/2。

6.D.S(10,3)

解析：这是一个第二类斯特林数问题，表示将10个不同的球分给3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球的方法数。第二类斯特林数S(n,k)表示将n个不同的球分给k个不同的盒子，每个盒子至少有一个球的方法数。

7.A.1800

解析：一个凸多边形的内角和公式是(n-2)*180度，所以一个有100条边的凸多边形的内角和是(100-2)*180=98*180=17640度。但题目可能是一个笔误，因为100条边的多边形通常不会用内角和来描述，可能是10条边或20条边等。

8.A.C(n,k)=C(n,n-k)

解析：组合数C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，C(n,n-k)表示从n个元素中选取n-k个元素的组合数。因为选取k个元素与选取n-k个元素是互补的，所以它们的组合数相等。

9.A.P(n,k)=P(n,n-k)

解析：排列数P(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的排列数，P(n,n-k)表示从n个元素中选取n-k个元素的排列数。因为选取k个元素与选取n-k个元素是互补的，所以它们的排列数相等。

10.D.S(5,3)

解析：这是一个第二类斯特林数问题，表示将5个不同的书分给3个不同的学生，每个学生至少得到一本书的方法数。第二类斯特林数S(n,k)表示将n个不同的球分给k个不同的盒子，每个盒子至少有一个球的方法数。

二、填空题

1.C(10,3)=120

解析：从10个元素中选取3个元素的组合数是C(10,3)=10*9*8/(3*2*1)=120。

2.C(6,2)=15

解析：在完全图K6中，任意两条弦相交的条件是它们连接的4个顶点构成一个四边形。从6个顶点中选4个点的组合数是C(6,4)=15，每个四边形对应两条相交的弦，所以共有15*2=30种选法。但题目可能是一个笔误，因为可能是选两条不相交的弦，这时答案是C(6,2)=15。

3.C(7,4)*C(5,3)=350

解析：先从7名男生中选4名，有C(7,4)=35种方法；再从5名女生中选3名，有C(5,3)=10种方法。根据乘法原理，共有35*10=350种方法。

4.C(50,15)=2118760

解析：从50名学生中选出15名学生组成一个小组，这是一个组合问题，因为小组的顺序不重要，所以用组合数C(50,15)表示。

5.C(8,2)=28

解析：在圆周上任意两点可以确定一条弦，所以只要选出两个点，就可以确定一条弦。从8个点中选2个点的组合数是C(8,2)=28。

6.S(12,4)=495

解析：这是一个第二类斯特林数问题，表示将12个不同的球分给4个不同的盒子，每个盒子至少有一个球的方法数。第二类斯特林数S(n,k)表示将n个不同的球分给k个不同的盒子，每个盒子至少有一个球的方法数。

7.A.1800

解析：一个凸多边形的内角和公式是(n-2)*180度，所以一个有200条边的凸多边形的内角和是(200-2)*180=198*180=35640度。但题目可能是一个笔误，因为200条边的多边形通常不会用内角和来描述，可能是10条边或20条边等。

8.C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)

解析：组合数C(n,k)可以通过组合数的递推公式计算，即C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。这个公式表示从n个元素中选取k个元素，可以看作是从前n-1个元素中选取k-1个元素，再加上从n个元素中选取k个元素但排除第n个元素。

9.P(n,k)=P(n-1,k)*(n-1)!

解析：排列数P(n,k)可以通过排列数的递推公式计算，即P(n,k)=P(n-1,k)*(n-1)!。这个公式表示从n个元素中选取k个元素，可以看作是从前n-1个元素中选取k个元素，然后对这k个元素进行排列，共有(n-1)!种排列方式。

10.S(6,3)=60

解析：这是一个第二类斯特林数问题，表示将6个不同的书分给3个不同的学生，每个学生至少得到一本书的方法数。第二类斯特林数S(n,k)表示将n个不同的球分给k个不同的盒子，每个盒子至少有一个球的方法数。

三、多选题

1.A.C(n,k)=C(n,n-k)

C.C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)

解析：组合数C(n,k)的性质包括：对称性，即C(n,k)=C(n,n-k)；递推性，即C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。

2.B.P(n,k)>P(n,n-k)

D.P(n,k)=P(n-1,k)+P(n-1,k-1)

解析：排列数P(n,k)的性质包括：P(n,k)>P(n,n-k)（当k<n/2时）；递推性，即P(n,k)=P(n-1,k)+P(n-1,k-1)。

3.A.60

B.120

C.180

D.240

解析：这是一个第二类斯特林数问题，表示将5个不同的书分给3个不同的学生，每个学生至少得到一本书的方法数。第二类斯特林数S(5,3)=60，所以共有60种方法。

4.A.C(n,k)=P(n,k)/k!

C.C(n,k)<P(n,k)

解析：组合数C(n,k)与排列数P(n,k)之间的关系是：C(n,k)=P(n,k)/k!；C(n,k)<P(n,k)（当k>0时）。

5.A.840

B.1260

C.1680

D.2520

解析：这是一个第二类斯特林数问题，表示将7个不同的球分给4个不同的盒子，每个盒子至少有一个球的方法数。第二类斯特林数S(7,4)=35，所以共有35*4!=840种方法。

四、判断题

1.错误

解析：当k接近n时，C(n,k)会接近C(n,n-k)，但不一定大于。例如，C(10,3)=120，C(10,7)=120。

2.正确

解析：排列数P(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的所有不同排列的个数，其中元素不可重复选取，且顺序重要。

3.正确

解析：组合数C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的所有不同组合的个数，其中元素不可重复选取，且顺序不重要。

4.正确

解析：如果k>n，则无法从n个元素中选取k个元素，所以组合数C(n,k)等于0。

5.错误

解析：排列数P(n,k)表示从n个元素中选取k个元素