数值计算1-2课程介绍+绪论

常锦才信息与计算科学系jincai_heut@计算方法第1页伴随科学技术发展和计算机广泛应用，科学

计算已经成为平行于理论分析和科学试验第三种科

学伎俩。

数值计算已经成为数学工作者、计算机工作者、

工程技术人员必须掌握知识和工具。而《计算方

法》是数学与计算机技术相结合一门学科。学习必要性第2页

1956年在华罗庚教授主持下，首先设置计算数学研究组。伴伴随我国独立研制成功103计算机、104计算机、119计算机、109乙机和109丙机相继投入运行，及国民经济和国防建设对于科学和工程计算强烈需求，这支队伍发展壮大极为快速，高级研究人员中有冯康、徐钟济教授。“文革”十年，仍在周总理支持下，不停发展。

二十世纪五、六十年代是我国计算技术、计算数学与科学工程计算蓬勃发展年代。研究领域几乎覆盖了计算数学全部分支。

计算数学在中国发展第3页

面向结构工程和固体力学计算边值问题数值方法；

面向流体力学计算初值与初边值问题数值方法；

面向复杂系统控制常微分方程数值解法；

面向交通运输等最优化计算，

面向经济、人口和社会发展概率统计计算；

面向计算机图形与显示技术计算几何学等。数值迫近，有限元法，边界元法，并行计算，多重网格计算，最优化计算方法，计算几何等。研究内容与方向第4页雅可比笛卡儿冯康欧拉03世纪泰勒拉格朗日柯西牛顿莱布尼兹伯努利高斯狄利克雷维尔斯特拉斯刘徽16世纪17世纪18世纪19世纪20世纪华罗庚数学家第5页刘徽(约225–295年)刘徽是我国古代魏末晋初出色数学家.他撰写《重差》对《九章算术》中方法和公式作了全方面评注,指出并纠正了其中错误,在数学方法和数学理论上作出了出色贡献.他“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知迫近未知,用近似迫近准确”主要极限思想.

方法:第6页高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列伟大数学家,他数学成就遍布各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面都有一系列开创性贡献,他还十分重视数学应用,地测量学和磁学研究中创造和发展了最小二乘法、

曲面论和位势论等.他在学术上十分慎重,标准:代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这么“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.第7页华罗庚(1910–1985)我国在国际上享受盛誉数学家.他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛数学领域中,程,都作出了卓越贡献,发表专著与学术论文近300篇.偏微分方多复变函数论,矩阵几何学,经典群,他对青年学生成长非常关心,他提出治学之道是“宽,专,漫”,即基础要宽,专业要专,要使自己专业知识漫到其它领域.1984年来中国矿业大学视察时给给师生题词:“学而优则用,学而优则创”.第8页冯康国际上享受盛名计算数学家.1944年毕业于中央大学电机工程系。曾任中科院计算中心主任、声誉主任。还担任国内和国际上许多大学，研究所兼职教授、声誉教授等职。1980年当选为中科院院士。冯康先生在上世纪五六十年代中国与世界数学界隔绝情况下，独立创造了求解微分方程‘有限元方法’，并先于西方建立了严密理论体系，是国际公认当代计算数学一项重大成就

。并于上世纪八九十年代开创了‘辛几何算法’。第9页《计算方法》课程简介第10页《计算方法》教学纲领课程编号：课时：40/60

学分：3课程性质：必修适用专业：数学类专业课程别名：数值分析第11页《计算方法》性质、任务性质“计算方法”研究用计算机处理数学问题数值方法及理论，是与计算机使用亲密结合实用性强数学课程。任务熟练掌握惯用数值算法结构原理和过程分析；提升算法设计和理论分析能力；对所学数值计算方法能编程在计算机上算出结果。第12页《计算方法》课时安排讲课内容讲课习题试验课外普通概念4026Mathematica/Matlab0024插值与拟合100412数值微分与数值积分40410线性方程组直接与迭代解6028非线性方程解法6026常微分方程数值解法2226累计3421854第13页《计算方法》考评方式期末考试70％上机试验10％平时成绩20％第14页《计算方法》参考教材使用教材《实用数值分析教程》冶金工业出版社出版刘春凤、何亚丽主编参考教材《应用数值分析》冶金工业出版社出版刘春凤、米翠兰主编《数值分析》清华大学出版社出版李庆杨主编第15页《计算方法》课要求1.按时上课，不迟到；2.每次都认真完成并按时上交作业；3.每个同学尽可能做好笔记；4.有问题及时提问，做到听得懂、会做题。办公室：科技搂804。学习计算方法要求第16页《计算方法》课作业要求每章上交一次作业，下章第一次课上交；要求必须在课前提交，课代表统计情况。试验作业要求以电子文档形式上交。2.经过邮箱将常见错误和标准答案下发，要求必须定时去查看相关作业。3.邮箱：jincai_heut@密码：jisuan学习计算方法作业要求第17页第一章绪论绪论数值分析研究对象误差起源与分类相对、绝对误差，有效数字误差传输防止误差准则第18页研究求数学问题近似解方法和过程实际问题数学模型数值计算方法理论程序设计上机计算求出结果一数值分析研究对象计算数学应用数学第19页在计算机上是否依据数学公式编程就能得到正确结果?研究例子:求解线性方程组如把方程组系数舍入成两位有效数字它解为x1=-6.222...x2=38.25…x3=-33.65...其准确解为：x1=x2=x3=1一数值分析研究对象第20页《数值分析》基本内容Mathematica程序初步插值与拟合数值微分与数值积分线性方程组直接解法与迭代解非线性方程解法常微分方程数值解法二、数值分析主要内容矩阵特征值计算第21页时间复杂性好__指节约时间；空间复杂性好__指节约存放空间。想准确度;收敛且稳定;误差能够分析或预计.数值分析主要特点三、数值分析主要特点为数学问题提供计算机上切实可行算法.所提出算法必须含有：可靠理论分析;理计算复杂性好

经过数值试验证实算法行之有效.第22页数学分析(高等数学)高等代数(线性代数)微分方程数学软件学习数值分析准备知识四、学习数值分析准备知识第23页误差来源第1节误差起源第24页误差分类(1)模型误差__数学模型与实际问题之间出现误差.(2)观察误差___由观察、观察产生误差.(3)截断误差___由简化问题（计算公式）所引发解误差(也称方法误差).

将函数展成幂级数.再如：函数f(x)用泰勒多项式近似代替第25页3.14159265358979323846(4)舍入误差__数字计算过程中产生误差则数值方法截断误差是误差分类第26页

误差与有效数字第2节第27页误差普通描述一、误差普通描述第28页另外，经过四舍五入得到数，其误差必定不超如：用毫米刻度米尺测量一长度x，读出数为123mm，它是x近似值，它误差限是0.5mm,即过被保留最终数位上半个单位，即最终数位上半个单位为其误差限。误差普通描述第29页

绝对误差限和相对误差限均无穷多,自然越小越好.误差预计任务就是提供好误差限,对于任何一个近似值,假如得到一个好误差限,那么就能够必定这些数据是准确可靠!相对误差比绝对误差更能反应准确数与近似数差异.误差普通描述第30页假如|e|=|x*-x|0.510-k

称近似数x准确到用四舍五入得到数都是有效数字;定义:小数点后第k位,从这小数点后第k位数字直到最左边非零数字之间全部数字都称为有效数字.有效数字越多,误差越小,计算结果越准确.有效数字二、有效数字第31页x3=1.7320是其近似值,问它们分别有几位有效数字?例1.1x1=1.73,x2=1.7321,有效数字第32页解按定义，上述各数含有5位有效数字近似数分别是：

187.93，0.037856，8.0000，2.7183。注意：8.0000335位有效数字近似数是8.0000而不是8，因为8只有1位有效数字.按四舍五入标准写出以下各数含有5位有效数字近似数：187.9325，0.03785551，8.000033，2.7182818.例1.2有效数字第33页解:3.14159265358979323846…例1.3有效数字第34页注意(1)有效数字位数与小数点位置无关;(2)有效数位越多,相对误差越小.有效数字第35页第3节数值计算中误差传输第36页例1.5基本运算中误差预计

一、基本运算中误差预计第37页多元函数有类似结果基本运算中误差预计第38页基本运算中误差预计第39页基本运算中误差预计第40页数值计算中应注意问题第4节第41页1.要防止去数绝对值远远小于被除数绝对值;2。防止两个相近数相减;3.要预防大数“吃掉”小数;2。应选取数值稳定计算方法;2。简化计算步骤和公式，设法降低运算次数。防止误差危害若干标准

防止误差危害若干标准第42页解：可得算法：建立积分递推关系式，并研究它误差传递。例1.6一、使用数值稳定计算公式防止误差危害若干标准第43页这个算法不含有稳定性，因为舍入误差传输到时，该误差放大5倍，传到时，该误差将是倍，当n较大时，误差将淹没真值，这种递推公式不宜采取。所以有预计式防止误差危害若干标准第44页于是粗略地取可得另一算法：这个算法是稳定，因为由引发误差在以后计算过程中将逐步减小。防止误差危害若干标准第45页二、预防相近两数相减（损失过多有效数字）防止误差危害若干标准取右端有限项近似代替左端。第46页当两个绝对值相差很大数进行加法或减法运算时,绝对值小数有可能被绝对值大数"吃掉"从而引发计算结果不可靠.三、预防大数吃小数防止误差危害若干标准第47页在4位有效数字限制下，计算：解从左到右,逐项相加假如先计算,再加绝对值越小数越先被相加很可能会优化求和准确度.大数吃小数例例1.10防止误差危害若干标准第48页分母靠近零数会产生溢犯错误,因而产生大误差,此时能够用数学公式化简后再做.四、预防靠近零数做除数防止误差危害若干标准第49页失真原因：除数绝对值远远小于被除数绝对值。例1.11防止误差危害若干标准第50页五、注意简化计算步骤，降低运算次数防止误差危害若干标准求一个问题数值解往往有各种算法，不一样算法需要不一样计算量，而计算量大小会影响误差积累。第51页若直接计算，再逐项相加共需要做4+3+2+1=10次乘法和4次加法.分析若用著名秦九韶算法：只要做4次乘法和4次加法。例1.12求以下多项式在值防止误差危害若干标准第52页次乘法和n次加法。推而广之防止误差危害若干标准若用秦九韶算法：只要做n次乘法和n次加法。第53页利用等价变换使以下表示式计算比较准确.例1.13防止误差危害若干标准第54页防止误差危害若干标准第55页防止误差危害若干标准第56页（1）误差种类及表示方法；内容小结内容小结（2）有效数字定义及求解；（3）防止误差五个标准。第57页计算：序号算式Math数据10.0050506338832

0.00505063388330.00505063388340.005050633883