北师大版八年级数学下册几何综合练习题

北师大版八年级数学下册几何综合练习题几何学习，犹如在平面上搭建思维的宫殿，每一个定理都是基石，每一次推理都是梁柱的衔接。八年级下册的几何内容，尤其是平行四边形及其特殊形式（矩形、菱形、正方形）的学习，更是将我们带入了一个充满变换与联系的世界。为了帮助同学们更好地掌握这些知识，融会贯通，提升解决复杂几何问题的能力，下面我们精心设计了一套几何综合练习题。这些题目力求覆盖主要知识点，并注重知识点之间的交叉与综合应用，希望能为大家的复习与提升提供有益的助力。一、基础综合篇——夯实基础，串联知识题目1：已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF。求证：四边形BEDF是平行四边形。（请至少用两种不同的判定方法进行证明）思路指引：要证明一个四边形是平行四边形，我们学过哪些判定方法？（例如：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分等）。本题中，已知四边形ABCD是平行四边形，那么它的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。点E、F的位置关系是AE=CF，如何将这些条件与四边形BEDF的边或角联系起来？题目2：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于点E，连接CE。若∠BCE=15°，求∠OEA的度数。思路指引：矩形的对角线有什么性质？（相等且互相平分）。所以AO=CO=BO=DO。OE⊥AC，那么OE是AC的垂线，结合矩形的性质，OE是否是AC的垂直平分线？如果是，那么EA和EC有什么关系？∠BCE=15°，如何利用这个角以及矩形的内角都是直角的性质，在三角形中找到角之间的关系？题目3：已知菱形的两条对角线长分别为6和8，求菱形的周长和面积。思路指引：菱形的面积公式是什么？（对角线乘积的一半）。这个比较直接。那么周长呢？菱形的边长都相等，所以只要求出一条边长即可。菱形的对角线有什么性质？（互相垂直平分）。那么两条对角线的一半与菱形的边长能否构成一个直角三角形？二、能力提升篇——灵活应用，拓展思维题目4：如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与B、C重合），连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处。连接B'D并延长交AE的延长线于点F。求证：AF=BF'。（注：原题图中若未明确B'位置，根据折叠性质，B'应在正方形内部或边上）思路指引：正方形的性质有哪些？四边相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分等等。折叠问题的核心是什么？（折叠前后的图形全等，对应边相等，对应角相等）。所以AB=AB'，BE=B'E，∠ABE=∠AB'E=90°。要证明AF=BF'（这里原题可能笔误，根据图形和折叠性质，更可能是求证AF=DF或AF=B'F，请同学们在实际解题时结合准确图形判断，此处假设为AF=DF进行思考），可以考虑证明三角形全等，或者证明所在的三角形是等腰三角形。∠B'AD与∠BAE有什么关系？∠ADB'又如何表示？题目5：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm。点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动。P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒。（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得四边形PQBA为矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。思路指引：这是一道动态几何问题，涉及到平行四边形和矩形的判定。对于（1），四边形PQCD要成为平行四边形，已知AD∥BC，即PD∥QC，那么根据平行四边形的判定，还需要什么条件？（PD=QC）。用含t的代数式分别表示出PD和QC的长度，然后列方程求解。对于（2），四边形PQBA要成为矩形，已知∠B=90°，且AP∥BQ（因为AD∥BC），那么还需要什么条件？（AP=BQ且∠B=90°即可判定为矩形，因为有一个角是直角的平行四边形是矩形）。同样用含t的代数式表示AP和BQ，列方程看是否有解，注意t的取值范围（P从A到D，AD=24cm，速度1cm/s，所以t最大为24；Q从C到B，BC=26cm，速度3cm/s，所以t最大为26/3，约8.666，所以t的取值范围是0≤t≤26/3）。三、参考答案与详解（部分提示）题目1参考答案与详解：证法一（利用“一组对边平行且相等”）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC（平行四边形对边平行且相等）。∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF。∵DE∥BF（由AD∥BC可得），∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。证法二（利用“两组对边分别相等”）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C（平行四边形对边相等，对角相等）。在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，∴△ABE≌△CDF（SAS）。∴BE=DF，∠AEB=∠CFD。∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC（内错角相等），∠CFD=∠FDA（内错角相等）。∴∠EBC=∠FDA。在△BEC和△DFA中，BC=DA（平行四边形对边相等），∠EBC=∠FDA，BE=DF（已证），∴△BEC≌△DFA（SAS）。∴CE=AF。∴四边形BEDF的两组对边BE=DF，DE=BF（或CE=AF，AE=CF可推DE=BF），∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。（其他证法，如连接BD交EF于点O，证明对角线互相平分，亦可）。题目2参考答案与详解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO=BO=DO（矩形对角线相等且互相平分），∠ABC=∠BAD=90°。∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC（垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线）。∴EA=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）。∵∠BCE=15°，∠ACB=∠ECA+∠BCE，∴∠ACB=∠EAC+15°。在Rt△ABC中，∠BAC+∠ACB=90°，即∠EAC+(∠EAC+15°)=90°，解得2∠EAC=75°，∠EAC=37.5°。在Rt△AOE中，∠OEA=90°-∠EAC=90°-37.5°=52.5°。故∠OEA的度数为52.5°。题目3参考答案与详解：解：∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴菱形面积S=(6×8)/2=24。∵菱形的对角线互相垂直平分，∴两条对角线的一半分别为3和4，且它们互相垂直。∴菱形的边长a=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。∴菱形的周长C=4a=4×5=20。答：菱形的周长为20，面积为24。题目4思路提示：连接BB'，由折叠性质知AE垂直平分BB'，所以BF=B'F，∠BFE=∠B'FE。再利用正方形的性质和三角形外角定理，尝试证明∠FDB'=∠FB'D或∠ADF=∠FAD等，从而得出AF=DF（或根据题目准确图形证明AF=BF'）。具体过程需结合准确图形和更多角度等量代换。题目5参考答案与详解：解：由题意知，AP=tcm，PD=(24-t)cm，CQ=3tcm，QB=(26-3t)cm。运动时间t的取值范围为：0≤t≤26/3（因为Q先到达终点）。（1）若四边形PQCD为平行四边形，∵PD∥QC（AD∥BC），∴只需PD=QC即可。即24-t=3t，解得t=6。∵t=6在0≤t≤26/3范围内，∴当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形。（2）若四边形PQBA为矩形，∵AP∥BQ（AD∥BC），∠B=90°，∴只需AP=BQ即可（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。即t=26-3t，解得t=26/4=13/2=6.5。∵t=6.5=13/2=19.5/3，而26/3≈8.666，13/2=6.5<26/3，∴t=6.5在0≤t≤26/3范围内，∴当t=6.5秒时，四边形PQBA为矩形。结语几何综合题的求解，不仅需要扎实的基础知识，更需要清