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文档简介
第十二章复数12.2.2
复数的乘方与除法1.理解复数的乘方的概念，掌握复数正整数指数幂的运算性质；2.掌握复数的除法法则，并能熟练进行复数的乘除运算；3.掌握复数的运算性质，能解复数范围的方程.根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对任何
z，z1，z2∈C
和
m，n∈N*，有zm·zn＝
zm＋n，(zm)n＝
zmn，(z1·z2)n＝
z1n·z2n.对于复数
z，定义它的乘法
zn＝
z·z·…·z.(即复数的乘方是相同复数的积)n个在复数的乘方运算中，经常要计算i的乘方，i的乘方有如下规律：i0=1，i1=i，i2=-1，i3=-i，i4=1…一般地，对任意自然数
n，有i4n=1，i4n＋1=i，i4n＋2=-1，i4n＋3=-i.例1：设
，求证：（1）1+ω+ω2=0；
（2）ω3=1.解：（1）∵
，
∴（2）问题1：类比实数的除法是乘法的逆运算.
复数的除法应该满足怎样的运算法则？
我们把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数
x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或利用(c+di)(c-di)=c2+d2.于是将的分母实数化得：复数的除法法则：两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数根式除法:分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.复数除法:分子分母都乘以分母的共轭复数，从而使得分母“实数化”.类比例2：计算.解法1：设
，则(3-4i)(x+yi)=2-i，
即(3x+4y)+(3y-4x)i=2-i，
所以
，
解得因此
解法2：练一练：计算
(1
+
2i)
÷
(3
-
4i).解：进行复数除法运算的方法：①
先把(a+bi)÷(c+di)写成
的形式；②
把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di；③
再化简即可.例3：在复数集
C
内解下列方程：（1）z2
+4=0；
（2）z2
-10z+40
=
0.
解：（1）设z=x+yi(x，y∈R)，则(x+yi)2
+4=0，即(x2-y2+4)
+2xyi=0，（2）配方，得(z-5)2=-15.所以
，解得
或
，因此
z=2i或
z=-2i.仿（1）得：
或所以，得或探究：在复数集
C
内解方程：ax2
+
bx+
c=
0.
其中
a，b，c∈R，且
a≠
0.
(∆=
b2
-
4ac<
0)解：将方程
ax2
+
bx+
c=
0
的二次项系数化为
1
得配方，得即类似（1）可得：由
∆<
0
知所以原方程的根为
在复数集
C内，实系数一元二次方程
ax2
+
bx+
c=
0
(a≠
0)的求根公式为：①
当
∆≥0
时，
；②
当
∆<
0
时，
对于实系数一元二次方程
ax2
+
bx+
c=
0
(a
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