12.2.1 复数的加法、减法与乘法 教学课件 2025-2026学年苏教版2019高中数学必修第二册

第十二章复数12.2.1复数的加法、减法与乘法1.掌握复数加法、减法与乘法运算法则，并能解决简单问题；2.理解共轭复数的概念，了解共轭复数积的特点.

我们规定，复数的加法法则如下：

设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的和注意：两个复数的和仍然是一个确定的复数.复数的加法法则

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i实部相加为实部虚部相加为虚部问题1：复数的加法满足交换律、结合律吗？请给出证明.设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i，其中a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i，z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i，a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1，∴z1+z2=z2+z1（交换律）∵(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)=[(a1+a2)+(b1+b2)i]+(a3+b3i)=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i，z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)+[(a2+a3)+(b2+b3)i]=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i，∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)（结合律）问题1：复数的加法满足交换律、结合律吗？请给出证明.对任意

z1，z2，z3∈C，都有：（1）交换律：z1＋z2＝

z2＋z1.（2）结合律：(z1＋z2)＋z3＝

z1＋(z2＋z3)；复数加法的运算律问题2：实数的减法是加法的逆运算.类比实数减法的意义，如何定义复数的减法？

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足

(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数

x+yi

叫做复数

a+bi减去复数

c+di的差，记作

(a+bi)-(c+di).

根据复数相等的定义，有

c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

我们规定，复数的减法法则如下：注意：两个复数的和仍然是一个确定的复数.复数的减法法则

z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i实部相减为实部虚部相减为虚部解：(5－6i)+(－2－i)－(3+4i)=(5－2－3)+(－6－1－4)i=－11i.例1：计算

(5－6i)+(－2－i)－(3+4i).练一练1：复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A.－1＋i B.1－i C.i

D.－iA问题3：设

a，b，c，d∈R，则

(a＋b)(c＋d)

怎样展开？(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd思考：类比多项式的乘法运算，想一想两个复数如何进行乘法运算？设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2，∵i2＝－1，∴z1·z2＝ac＋adi＋bci－bd＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.复数的乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.注意：在进行复数乘法运算时，实际上不直接使用乘法法则，而使用多项式乘法法则.问题4：复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法满足分配律吗？对任意三个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z3＝e＋fi(a，b，c，d，e，f∈R)，有z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，z2·z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ca－db)＋(cb＋da)i，∵ac－bd＝ca－db，ad＋bc＝cb＋da，∴z1·z2＝z2·z1(交换律).同理(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)，z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3(分配律).复数乘法的交换律、结合律、分配律

对任意

z1，z2，z3∈C，

交换律：z1·z2＝z2·z1；

结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；

分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.解：(1)(2+3i)(2-3i)=22-(3i)=4-(-9)=13；例2：计算

(1)(2+3i)(2-3i)；(2)(a+bi)(a-bi).(2)

(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi-b2i2=a2-b2i2=a2+b2.我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数.复数

z=a+bi的共轭复数记作

，即.当复数

z=a+bi的虚部

b=0时，.（即实数的共轭复数是它本身）

思考：若

z1，z2是共轭复数，则

z1z2是一个怎样的数？练一练2：证明：对任意的两个复数

z1，z2，若

z1·z2=0，则

z1，z2至少有一个为0.证明：设