基本初等函数、函数零点

微专题2基本初等函数、函数零点

高考定位1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是

常见题型；2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点,常以压轴题的形式出现;函数模型及应用

是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型.

【真题体验】

1.（2025•北京卷）为得到函数），=少的图象，只需把函数y=3叩勺图象上的所有点（）

A.横坐标变成原来的9倍,纵坐标不变

B.横坐标变成原来的2倍,纵坐标不变

c.纵坐标变成原来的5倍,横坐标不变

D.纵坐标变成原来的3倍,横坐标不变

答案A

解析因为y=3=3汽

所以将函数），=3》的图象上所有点的横坐标变成原来的巳倍，纵坐标不变即可得到函数y=9邛勺图

象，故选A.

2.（2024・天津卷）若。=4.2一°3"=4.20-3,c=log4.20.2,则凡b,c的大小关系为（）

A..a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

答案B

解析由函数y=4.2工单调递增可知,0<a<1</?,

又c=Iog4.20.2<0,故b>a>c.

3.（2025・天津卷）函数<x）=0.3」4的零点所在区间是（）

A.（0,0.3）B.（0.3,0.5）

C.（0.5,1）D.（l,2）

答案B

解析易知段）单调递减，又的〕=1>0,

#0.3）=0.3°3—V03=O.303-0.3°5>0,

X0.5）=0.3°$—V05=V03一代<0,

所以加t)的零点所在区间是(030.5),故选B.

4.(2025・北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=

Alog2M单位:小时)，其中攵为常数.在此条件下，已知训练数据量N从1(卜个单位增加到1.024X1()9

个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024X1。9个单位增加到4.096义1()9个单位

时,训练时间增加(单位:小时)()

A.2B.4

C.20D.40

答案B

解析由题意可知幻og21.024X109-A:log2106=Jllog210^109=10/:=20,解得k=2,

所以210g24.096XI09-21og21.024X109

=21og24=4,

所以当训练数据量N从1.024X1()9个单位增力口到4.096XIN个单位时，训练时间增加4小时.

5.(2025・新高考I卷)若2+log»=3+log3y=5+log5Z,则％y,z的大小关系不可能为()

A.x>v>zB.x>z>y

C.y>x>zD.y>z>x

答案B

解析设2+logir=3+log3y=5+log5Z=/〃，

所以X=2〃「2,y=3L3,z=5〃厂5,

令m=2、则x=1,y=3-1=1,z=5-3=-^-,

此时x>y>z,A有可能；

令加=5,贝ijx=8,y=9,z=l,此时y">z,C有可能；

令m=8,则x=26=64,「=35=243,z=53=125,此时y>z>x,D有可能.故选B.

【热点突破】

热点一基本初等函数的图象与性质

I核心归纳

1.指数函数y=r(〃>0,且。工1)与对数函数丁=logd(a>0,且互为反函数，其图象关于y=x对

称，它们的图象和性质分两种情况，着重关注两个函数图象的异同.

2.嘉函数)，=尸的图象和性质，主要掌握。=1,2,3,1,-1五种情况.

例1(1)若不等式。-l)2〈logd(c，>0,且对任意x£(l，2]恒成立，则实数。的取值范围为()

A.(l,2]B.(l,2)

C.(1,V2]D.(l,V2)

(2)(多选)(2025•郑州质检)关于函数,")=1og3-7,下列结论正确的是()

A.定义域为(-8,-1)U(3,+8)

B：/U)是偶函数

C/U)的图象关于点(1,0)对称

D/)在(3,+8)上单调递增

答案(1)B(2)ACD

解析⑴当

则当时,logorvO,

又当X£(1,2］时,(X—1)2>0,所以(X—1)2<loguX无解;

若A1,则当x£(1,2］时,logQ>0,

且当x£(l,2］时,。一1)2>0,

令凡¥)=10gd(4>1),g(X)=(工一1E画出两函数的图象，如图所示,

因为(x—l)2<log«A,对任意X£(1,2］恒成立,

所以1。劭2>1,所以132.

综上可得，〃的取值范围为(1,2).

(2)对于A,由=■>()得xv—1或x>3,

故定义域为(一8,一|)U(3,+8),A正确；

对于B,因为定义域不关于原点对称，故./U)不是偶函数,B缙误;

对于c,因为y(i—x)+/u+x)

-2+x

=log3Flog3

2+x

.2+x।.-2+x

=1O£3——+10g3——

n-2+xG2+x

=1。郡偌争第=13=0，

所以/U)的图象关于点(1,0)对称,C正确；

对于D,/U)=log3烹=10g3(l一义)，

因为函数/=1一工在区间(3,+8)上单调递增,

且y=logM在（（），+8）上单调递增，

所以凡。在（3,+8）上单调递增,D正确.

规律方法1.指数函数、对数函数的图象与性质会受底数〃的影响，解决指数函数、对数函数问题

时，首先要看底数a的取值范围.

2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.

训练1⑴在同一平面直角坐标系中，函数），=ar,y=logd+a（a>0,且aWl）的图象可能是（）

⑵（多选）（2025•南京、盐城模拟）已知x,y£R,且12*=3,⑵=4,则（）

A..y>xB.x+y>l

C.xy<^D.y/x-\-y/y<y/2

答案（1）A（2）ACD

解析⑴对于A,B,若产公=0的图象正确，则

所以y—logd+a单调递减，

又X—1时,y=log«l+a=a>0,所以A正确、B错误；

对于C,D,若），=小=（£）'的图象正确，则A1,所以y=logM+a单调递增，所以C,D均错误.故选

A.

（2）V12V=3,12-v=4,/.x=logi23,y=logi24,

.*.y>x,故A正确；

Vx-|->,=logi234-logi24=]ogi212=1,AB错误；

2

A>0,y>0,xy=

当且仅当x=y时等号成立，而

故不《，・・.C正确；

,**（y+7?）2=x+），+27^=1-\~2y/xy<2>

即4+方〈企,，D正确.故选ACD.

热点二函数的零点

I核心归纳

判断函数零点个数的方法：

(1)利用零点存在定理判断；

(2)代数法:求方程人］)=0的实数根；

(3)几何法:对于不易求根的方程，将它与函数)，=/W的图象秩系起来，利用函数的性质找出零点或利

用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.

考向1函数零点的判断

例2(2025•肇庆调研)已知函数JU)=(机-2)f”为幕函数,若函数g(x)=lgx+x—则g(x)的零点所

在区间为()

A.(0,1)B.(l,2)

C.(2,3)D.(3,4)

答案C

解析由yu)=(m—2)f"为福函数，得加一2=1,得机=3,

所以g(x)=lgx+x—3,显然g(x)=lgx+x—3是(0,+8)上的增函数.

A中，当x-()时,g(x)—-8,g(i)=—2v(),因此A错误；

B中,g⑴=—2<0,g(2)=lg2—lv0,因此B错误；

C中,g(2)=1g2—1<0,g(3)=1g3>0,

所以g(2)g(3)<0,因此C正确；

D中,g(3)=1g3>0,g(4)=1g4+1>0,

因此D错误.

考向2求参数的值或取值范围

无2+4QxV0

''在R上单调递减(其中。>0,且。#1),且

(loga(x+l)+l,%20

关于x的方程1/21=2—X恰好有两个不相等的实数解,则。的取值范围是.

答案M啕

解析由y=log”(x+l)+l在［0,+8)上单调递减，得0<tz<l,

又加•尸<°,在R上单调递减，

UogQ(x+l)+l,%20

所以()2+4a00)=1,解得

因此咨〃<1,

4

x2+4a,x<0,,,.,,h

的大致图m象,如图,

log(x+l)+l,x>0

(a

由图象可知,[/（x）|=2—x在[0,+8）上有且仅有一个解，因此|/U）|=2—x在（-8,0）上同样有且仅有

一个解,

当4G>2,即时，

2

令*+43=2—x,

即f+x+4a—2=0有且仅有一个解，

所以/=1一4（4〃-2）=0,解得〃=之

16

当lW4aW2,即宁〃4时，由图象可知，符合题意.

综上，图

考向3零点的代数式问题

X

例4（多选）（2025.青岛模拟）己知函数段）=卜（\2+-441x>-0函数83=於）+〃的四个零点分别为

孙XI,X3,X4,且Xl<X2<T3<T4,则下列结论正确的是（）

A.0<Q<3B.XI+X2=-4

C.X3+X4<4D.2%3+4%4>20

答案BCD

解析作出函数段）=。f|2x+-/4+L3x,>代0,。的大致图象,如图.

g(x)=/(x)+a有四个零点xi,X2,X3,X4,且XI<T2<X34T4,

得方程&。)=/(幻+。=0有四个解，

即y=A幻的图象与直线y=—。有四个交点，

结合到象可知0<-6/<3,所以一3<〃<0,故A错误.

由图可知用+思=—4,故B正确.

当x>0时,/a)=|2*-4],

因为|2均一4|=|2七一4|,

所以4-2日=2*4-4,即2%+2丫3=8,

所以2右+2*3=8>2,2右・2均,

即24+”3Vl6=2±所以X3+X4<4,故c正确.

又24=8-2巧，

所以"3+4七=2均+22右=2%+(8—2右)2,

令1=2"3"£(1,4),

则2与+45=1+(8—。2=--15/+64,

令〃⑴函数图象的对称轴为直线，=手，

所以函数z?(r)=/2—15/+64在(L4)上单调递减,

所以力⑺>4(4)=20,

即尸一15f+64>20,所以2右+4公>20,故D正确.

规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法

(1)直接法:利用零点存在定理构建不等式确定参数的取值范围；

(2)分离参数法:将参数分离，转化成求函数的值域问题；

(3)数形结合法:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.

训练2(1)函数儿0=4'—的零点个数为()

A.OB.1

C.2D.3

XV,X>V,

2v例如：2*3=22=4,3*2=3X2=6.若函数/(x)=x*(2—

{x,xay,

x)一〃有3个不同的零点,则实数k的取值范围是.

(3)(2025・昆明诊断)已知函数於)=('-若互不相等的实数MX2,X3满足曲)=/S)=

(2x+4,%<0.

«X3),则X14-X24-X3的范围是.

答案(1)D(2)(0,1)(3)(2,8)

解析⑴令©)=0,

得.

在同一平面直角坐标系中分别作出)，=4•门,)，=r的大致图象，如图,

观察可知，两个函数的图象有3个交点,

故函数人©=4'—4/的零点个数为3,故选D.

(2)因为函数/(x)=x*(2—x)—Z有3个不同的零点，

所以函数g(x)=x*(2—x)的图象与直线y=k有3个交点,

比较x与2—X的大小可得，犬>1时,x>2—犬，

当x^\时,

%(2—x),x>1,

即函数g(x)=

%2,xWl,

作出函数g(x)的大致图象，如图,

由图可知当0。<1时，函数双九)的图象与直线y=Z有3个不同的交点,

所以实数%的取值范围为(0,1).

(3)作出函数,/U)的大致图象，如图,

令XI—.

根据国象可得口+与=8,

当2xi+4=-8时，力=一6,

所以一6<xi<0,

则XI+l2+x3的范围是(2,8).

热点三函数模型及其应用

I核心归纳

应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键:

⑴一般程序：

读题建模求解反馈

文字语者数学语言数学应用检验作答

（2）解题关键:解答这类问题的关键是确切地写出相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和

导数的有关知识加以综合解答.

例5（多选）（2025•兰州调研）吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比

例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度A和透光率

T来衡量物体的透光性能,它们之间的换算公式为丁=击，卜.表为不同玻璃材料的透光率：

玻璃材料材料1材料2材料3

T0.60.70.8

设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为4,Ai,A3,则（）

A.Ai〉2A2B.A2+A3>41

C.AI+A3>2A2D.AIA3V啰

答案BCD

解析由丁=焉，得A=—IgT,

则4=—lg0.6,A2=—1g0.7,43=-lg0.8,

2A2=-21g0.7=-lg0.49,lg0.6>lg0.49,-lg0.6<-lg0.49,

即Aiv2A2,A错误；

Az+A3=—1g0.7—1g0.8=-1g0.56>—1g0.6=Ai,B正确；

Ai+A3=-lg0.6-lg0.8=-lg0.48>-lg0.49=-21g0.7=242,C正确;

AiA3=(-lg0.6)(-lg0.8)=lg0.61g0.8,

鹿=(-lg0.7)2=(lg0.7)2,

“3_lg0.61g0.8=logo.70.6,

lg0.71g0.8lg0.71g0.8

心_

0g0-7)2=logo.s0.7,

lg0.71g0.8lg0.71g0.8

1

logo.70.6—1=log0.7-^4=log0.7(y^)2

1

=1。毁，（黑）2＜则1=。，

1

logo.sO.7-：=logo.s-^=logo.812

20.82

1

=1衡（黑）2>10g0.81=0,

所以logo.70.6<logo80.7,

所以—<----------,

lg0.71g0.8）g0.71g0.8

又lgO.7-lg0.8>0,

则AIA3<心,D正确.

规律方法1.构建函数模型解决实际问题的失分点

⑴不能选择相应变量得到函数楔型;

(2)构建的函数模型有误;

(3)忽视函数模型中变量的实际意义.

2.解决新概念信息题的关键

(1)仔细审题，明确问题的实际背景，依据新概念进行分析;

(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.

训练3(2025•北京人大附中质检)深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型/=

〃。治其中,L表示每一轮优化时使用的学习率,〃表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练

迭代轮数,Go表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18.经

过18轮迭代学习时\学习率衰减为0.4,则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为

（）（参考数据:lg2=0.3010）

A.71B.72

C.73D.74

答案D

解析由题意得L=().5X0也

18

依题意0.4=0.5X011,则。三4,

则L=0.5X（i）n,

由L=0.5xg）^<0.2,得到◎飞,

所以G>181og±；='空詈

500乙电乙

=田73.9,

所以所需要的训练迭代轮数至少为74,故选D.

【精准强化练】

一、单选题

m

1.(2025•南通联考)已知2'"=3〃=5,则47=()

A.V3B.6

C.8D.9

答案D

解析由2切=3"=5,可得/72=log25,H=log35,

则"=噫=9=

7

nlog35典O'

•Og23

则4之=41°g23—221og23—21og29=9.

2.(2025•河北部分重点高中模拟)已知函数共幻=3叶工一6有一个零点x=xo,则回£()

A.&1)

C.(|,2)0.(2,j)

答案B

解析由题意知./U)在R上单调递增，

力G)=V3-£v(),川)=-2<().

49=3U?

又33-僧)2>0,

・・・、/(|)>0,由零点存在定理可知，在(1,|)上存在犯使得4xo)=O.故选B.

3.(2025・广州调研)设4=(9°5"=(3°,c=log3(log34),则()

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<b<cV).a<c<b

答案B

角星析*.*log?4>1,c=Iog3(log34)<0,

4

又••.。<(浮铲>1，

即0<«<1,Z?>1,故选B.

4.(2025・银川质检)已知函数於)=ln(e+x)-ln(e-x),则於)是()

A.奇函数，且在((),e)上单调递增

B.奇函数,且在(0,e)上单调递减

C.偶函数，且在(0,e)上单调递增

D.偶函数,且在(0,e)上单调递减

答案A

,fe—x>0,

解析若函数/U)=ln(e+x)—ln(e—x)有意义，贝耳.

IVI人X***U,

解得一C<¥<C,即函数7U)的定义域为(一C,C).

因为八一x)=ln(e—x)—in(e+x)=­[ln(e+x)—ln(e—x)J=—/x),

所以函数7U)是奇函数.

函数4x)=ln(e+x)—ln(e—x)

=ln空=ln(-1+9)，

e-x\e-x/

令〃=-1,-e<r<e,

e-x

因为函数〃=-1+居在(0,e)上单调递增,

函数y=ln〃在定义域上是增函数，

所以函数在(0,e)上单调递增.

5.(2025•武汉调研)在同一平面直角坐标系中，函数y=loga(-_r),y=?(〃>0,且的图象可能是

答案C

解析因为函数y=log〃(一幻的图象与函数y=logd的图象关于)，轴对称，所以函数)，=log”(一x)的

图象恒过定点(-1,0),故A,B错误.

当a>\时，函数y=log«x在(0,+8)上单调递增，所以函数)，=k)g〃(一幻在(一8,0)上单调递减，而y

(〃>1)在(一8,())和((),+8)上单调递减，故D错误,C正确.

X

6.已知函数y=log2（加一©在区间（1,2）上单调递增，则〃的取值范围为（）

呜+8）D.［l,+8）

答案D

解析令t=ax2-x,因为函数julogzlov2—x）在区间（1,2）上单调递增，

所以函数），=log2（加一外在区间（1,2）上有意义，且片加一x在（1,2）上单调递增，

代>0,M<0,

所以〃W0,贝或拉22,解得心1,

（Q-1201a-120,

所以a的取值范围为［1,+8）.故选D.

7.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要,可以设置不同的激活神经单元的函数,其中函数

tanh是比较常用的一种,其解析式为tanh1=三三.关于函数tanhx,下列结论正确的是（）

+e一人

A.tanhx是偶函数

B.tanhx是单调递增函数

C方程tanh犬=2有唯一•解

D.tanh恒成立

答案B

解析对于A,因为tanhx的定义域为R,

且ianh（-x）=:=一—二-tanhx,所以tanhx是奇函数，故A错误;

ex_e-x2e-x

对于B,tanhx=

ex+e-x~

2

e2x+if

因为>是增函数且恒为正数，

所以¥=六是减函数，故tanhx是增函数，故B正确；

对于C,D,e2"+l>l,则0<4;<2,可得T<1一告Fh

e2x+lezx+l

即tanhx£（—1,1）,故C,D不正确.

8.（2025・山东名校统一调研）已知函数人E）是定义在R上的奇函数,对任意x£R,都有九（+2）+42—

制=0,当x£（0,2）时,./U）=ln工，则/（x）在［-10,10］上的零点个数为（）

A.10B.15

C.20D.21

答案D

解析由7U+2)+/(2—九)=0,

令t=2-X>得到/(4一。+火0=0,

所以火4一。=一财，

从而有/(4+f)=-艮—t)y

又函数.ZU)是定义在R上的奇函数，

所以穴4+。=/(”，即火4+x)=/(i),所以函数凡丫)的周期7=4.

令工£(一2,0),则一x£(0,2),

又当x£(0,2)时,7U)=lnx,

所以;(—x)=ln(—x),

则X.v)=-ln(-x)(-2<x<0),

lnx,xG(0,2),

0,x=0,

(—ln(—%),x6(—2,0).

当xE(0,2)时，由於:)=0,得到x=l,

当(—2,0)时，由於)=0,得到x=-l,

即yu)=o,j—1)=0,

又7=4,所以<-8)=八-4)=/(0)=/(4)=/(8)=0,

9)=/(—5)=4-1)=逃3)=47)=0,

X-7)=X-3)=XD=X5)=X9)=O,

又由70+2)+/(2—工)=(),

令x=0,得到火2)+/(2)=0,即4)=0,

所以八一10)=火-6)=/(—2)=<2)=/(6)=/(10)=0,

作出/U)在［-10,10］上的大致图象如图所示，

结合到象知J&）在［-10,10］上的零点个数为21.

二、多选题

9.（2025・长春模拟）己知函数人x）=ln|.H+|lnf若函数g（x）=/（x）—〃?有4个零点，且其4个零点

XI,X2：X3,g3令2<^3<0）成等差数列，则下列结论正确的是（）

A.函数/U）是偶函数

B.X4=2.¥3

C.Zri+3x3+戈4=0

2

D.w=-ln3

4

答案ACD

解析对于A,因为«¥）=lnk|+|ln的定义域为（一8,0）U（0,+°°）,关于原点对称,

又/r）=如|（一刈+|ln（-x）2|=ln|x|+|ln『|=段），

所以/U）为偶函数,A正确；

,,,f-lnx,0<x<1,

对于B,当第>0时,；U）=lnx+2|lnx|=、

3O11nx,QI,d

结合对称性作出,/（幻的大致图象和直线y=垃,如图所示.

由图知XIV—1<¥2<（）43<144,

且一久1=工4,-X2=X3t

又XI,X2,X3,X4成等差数列，

所以X4+X2=2E3,

又一Q=X3,

可得X4=3X3,

所以B错误；

对于C,由-XI=X4,得到XI+%4=0,

所以2x1+3x3+x4=2xi+3X3+2%4—X4=3X3—X4—0,故C正确；

对于D,因为«X3）=/（X4）=〃?，

所以一InX3=31nX4=31n（3x3）,

1

得到环=点,所以m=—\n招=—ln&y=|ln3,故D正确.

10.（2025•青岛模拟）某同学根据著名物理学家、数学家牛顿的物体冷却模型:若物体原来的温度为

做单位:℃）,环境温度为仇（仇<仇,单位:℃）,物体的温度冷却到仇仍>?，单位:℃）需用时/（单位:分

钟）,推导出函数关系为f=/S）W[ln（仇-a）Tn（0—6h）],k为正的常数.现有一壶开水（100℃）放在

K

室温为20℃的房间里,根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况,则(参考数据:h]

2=0.7)()

A.函数关系0=小+(%一，i)es也可作为这壶开水的冷却模型

B.当攵=去时,这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟

C.若7(60)=10,则130)=30

D.这壶开水从100℃冷却到70°C所需时间比从70°C冷却到40℃所需时间短

答案BCD

解析对于A,由]=＜。)=勺1(生一。|)一皿(。一仇)],

K11

得灯=1吟景，所以鬻=*

故9=4+(%一，i七,A错误；

对于B,由题意可知，=y(0)=4[ln(l(X)—2())—ln(0—2())]=；ln4"=2()ln』一=2()ln4=401n

kk0-2040—20

2X0X0.7=28,B正确；

对于C,由次60)=10,得?*=10,

80

即k=-f则r=-^-ln=8=30,C正确；

10ln230-20In2

对于D,设这壶开水从100C冷却到70℃所需时间为人分钟，

则『加发堞=讪8-ln5),

设这壶开水从70℃冷却到4()C所需时间为Z2分钟，

则片飘然=刖5-ln2),

因为"一/2=^(ln8+In2—21n5)

所以。42,D正确.

11.（2025•河南名校联考）已知正数%），,z满足5V=9V=152,则（）

A.xz+2yz—2xy=0B.5x<9y<15z

C.xy<2zrD.9x+2y<16z

答案AB

解析依题意，设5A=9'—15z=r,r>l,

则xlog/5=ylog（9=zlog/15=1,

则尸彘，产康，Z=]^.

对于A,xz+2yz—2xy=xyz(^+1—|)=xyz(logr9+21ogr5—21ogJ5)=盯zlog*^^=0,A正确;

对于喝=黑=*95,

贝哈专=9(沪蚩L

贝ijlog59炉<1,贝1」5x<9y;

9y_3y_310gti53

=log9515,

15z5z51ogt9

125

<1,

243X9

则log2153<l,则9)<15z,所以5x〈9)yl5z,B正确;

对于C,由选项A知，工+2—2=o,

yxz

22

得z=M，则盯-2Z2=Q，-2（筌力—(x+2y)-8xy_汇g2y产

)”(x+2y)2(x+2y)2'

即不，＞2z\C错误；

对于D,”+2厂16z=9H2y—3="2-