广东省深圳市龙岗区2024-2025学年八年级下学期数学期中诊断试卷（含答案）

广东省深圳市龙岗区2024-2025学年八年级下学期数学期中诊断试卷

一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个选项是正

确的)

1.镂花窗作为我国传统建筑的重要元素，历史悠久，承载着丰富的文化内涵与艺术价值.自古以来，镂花

窗不仅用于宫殿，庙宇和民居中，既能起到遮阳避风的实用功能，又以其精美的雕刻和独特的造型展现出中

式美学的独特韵味.下面"镂花谢''图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

A.B.

C.

ZX

2.下列由左到右的变形，属于因式分解的是()

A.(x+2)(x-2)=x2-4B.X2-4+3X=(X+2)(%-2)+3x

C.x2-4=(x+2)(x—2)D.x24--2=x(x+4)-2

3.如图，数轴上的点4与点B所表示的数分别为mb,则下列不等式成立的是()

A.a-2>b-2B.C.-2a>-2bD.5Q+2>5b+2

4.如图，在平面直角坐标系中，平移△48C至△48]Ci的位置.若顶点4(一3,4)的对应点是4(2,5),则点

8(-4,2)的对应点名的坐标是()

C.(3,1)D.(2,2)

5.如图，在AABC中，48=力。,乙4=40°,AC的垂直平分线分别交48,AC于0,E两点，连接CO.则

(BCD等于()

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E

D

Bi-------------

A.20°B.30°C.40°D.70°

6.某木果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克.已知购买

香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克.如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两

种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为r千克，依题意可列不等式组为()

(%+(3x-4)>40,

(15%+8(3%-4)<500

[x+(3x-4)>40,

(15x+8(3%-4)<500

(x4-(3x-4)<40,

(15%+8(3%-4)>500

(x+(3x-4)<40,

*(15x+8(3x-4)<500

7.校园的一角如图所示，其中线段表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活

动区域内找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等，那么这个点P的位置是()

A.线段4C,4。的交点B.乙A8C/8C。角平分线的交点

C.线段AB,BC垂直平分线的交点D.线段8C,CO垂直平分线的交点

8.如图，将含有60°角的三角板A8C绕顶点CS4cB=60°)逆时针旋转一个角度a(0°<a<90°)得到△

EDC,若AB,CE相交于点尸,4E=4F,则旋转角。=()

F

A.30°B.35°C.40°D.45°

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

9.分解因式：7b3-21b2=.

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10.若点力(-2025,2024)与点8(a,b)关于原点。成中心对称，则Q+b=.

11.若关于%的不等式组｛2*+；；二+6,的解集是久<4,则加的取值范围是

12.如图，在RS4BC中，乙4c8=90°,按以下步骤作图：①分别以点4和B为圆心、大于2AB长为半径作

乙

弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边8C于点0.若8C=24C=8,则C。的长为.

13.如图，在R区A8C中，/4CB=90°,4C=l,BC=3,将边4c沿CE翻折，使点A落在AB上的点。处;

再将边8c沿C/翻折，使点B落在CO的延长线上的点8’处，两条折痕与斜边AA分别交于点E,F,则线

段B5的长为

三、解答题(本大题共7小题，共61分)

14.因式分解：

(1)1a2-9b2;

(2)4x2-8xy+4y2.

5x-1<3(%+1),

15.解不等式组2%-1工5%—I、1并写出所有的整数解.

16.在2025年春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，身着花袄、手持花绢，踏着节奏明快的舞

步，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器秧歌”.这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是

科技与传统文化的碰撞融合.如图，它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐

标系，三个机器人A、B、C构成△4BC,其初始位置坐标分别为4(1,4),8(3,1),C(4,4),另外三个机器人以

E、〜的初始位置构成的△DEF与△48C关于点M(5,5)成中心对称.

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（1）在图中画出△£）£「；

（2）为了完成队形变换，机器人A、8、C同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到

△请画出△&81Q；

（3）队形继续进行变换，绕点小顺时针旋转90°得到2c2,请写出此时&的坐标一

▲.

17.某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析.如图，△/IBC为主梁框架，44BC是

桥墩支撑角度的2倍，即乙4BC二24C,工程师计划在4B4C的角平分线处安装钢架4D,交底梁8C于点。，

为确保稳定性，必须过点8焊接加固钢索8E,使得8E14D,分别交AQ,4c于点凡E.

（1）求证：加固后的aABE是等腰三角形：

（2）经测量，主梁全长AC为13米，关键节点间距8。为5米，求原始支撑段48的长度.

18.目前，龙岗区以“打造低空经济产业生态建设示范区”为目标.抢抓低空经济发展先机.某航模店看准商

机，推出了A和B两款飞机模型.该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量

的2倍.A、B两款飞机模型的售价，进价如下表所示：

进价售价

A模型20元30元

B模型30元45元

（1）该航模店至少购进多少个A款飞机模型？

（2）如果B模型的进价上调2元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种

模型的售价均不变.请求出航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润.

19.【探究发现】

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某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义一图象一性质一应用.他们尝

试沿着此路径探窕下列问题：

已知y=2|x-2|-2,下表是y与式的几组对应值.

X,.,-2-101234・・・

y・・・6420-2a2・・・

(2)描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接.根据函数图象写出该函数的一

条性质：▲;

(3)【拓展应用】

若点力(m,p),8(九,p)均在该函数图象上，请写出“〃满足的数量关系：▲；

(4)结合函数丫=2氏一2|-2的图象，请写出不等式2氏一2|-2>%-1的解集：▲

20.【特例感知】

(I)如图I,在△A8C中，^ABC=BC=2.AB=4,将△48C绕点力逆时针旋转60°得至AOE,连

接CQ,则CO=▲：

⑵【类比迁移】

如图2,将△4BC绕点4逆时针旋转得到△40E,且满足点B,C,E三点共线.若乙8E0=90°,请猜想

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BE,DE,AE之间具有怎样的数量关系？并说明理由.

(3)【问题解决】

如图3,某市政府为了提升城市的生态环境质量，促进城市与自然的和谐共生，决定在一块空地上规划公

园，其中点力为公园入口，点B,点C是公园出口，入口4与出口B,C的距离相等，且满足N84C=90°,点

0为公园中的观景点，若40=200鱼米，CO=200米，计划修建一条观赏栈道8。，要使得栈道尽可能地

长，求四边形A8CO的面积.

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答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

D既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

故答案为：D

【分析】将图形沿某一点折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180。后能够与原图形重

合的图形为中心对称图形.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：B不是因式分解，不符合题意；

B不是因式分解，不符合题意；

C是因式分解，符合题意；

D不是因式分解，不符合题意；

故答案为：C

【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.

3.【答案】C

【解析】【解答】解:由数轴可得：a<b

A：a-2<b-2,错误，不符合题意；

B：错误,不符合题意;

C：-2a>-2b,正确，符合题意；

D：5Q+2V5b+2

故答案为：C

【分析】由数轴可得：a<b,再根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：・・・顶点力(-3,4)的对应点是41(2,5)

・•・将向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到△&B1C1

・••点8(-4,2)的对应点/的坐标为(1,3)

故答案为：A

【分析】根据平移的性质即可求出答案.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：:AB=AC,LA=40°

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=Z-ACB=180：〃=70°

〈AC的垂直平分线分别交A8,AC于0,E两点

.\ZACD=ZA=40°

・•・ZBCD=ZACB-ZACD=30°

故答案为：B

【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得NACB,再根据垂直平分线性质可得NACD=NA=40。，再

根据角之间的关系即可求出答案.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量为(3x-4)千克

由题意可得,｛鬲鼠2谓。

故答案为：A

【分析】设购买苹果的质量为％千克，则购买香蕉的质量为(3x-4)千克，根据题意建立不等式经即可求出答案.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意可得：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等

・•・使得点尸到三面围墙的距离都相等，贝U点P是角平分线的交点

故答案为：B

【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：•.•将含有60°角的三角板A8C绕顶点CU4cB=60°)逆时针旋转一个角度a(00<a<

90°)得到△EDC

.\ZACE=a,AC=AE

•ATA1800-a

••Z.CAE—Z-CEA——----

VAE=AF

•.Anr1800-a

••Z.AFE—Z.AEF—————

・•・ZEAF=a

•ATon1800-Q

・

•Z.CAE=30+a=—乙=—

解得：a=40°

故答案为：C

【分析】根据旋转性质可得/ACE=a,AC=AE,冉根据等边对等角及三角形内角和定理可得乙&4E=

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△CEA二吗二与根据等边对等角可得44/^=44七F=吗二巴再根据角之间的关系建立方程，解方程即

可求出答案.

9.【答案】7b2(力一3)

【解析】【解答】解：7b3-21b2=7b2(b-3)

故答案为:7h2(b-3)

【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.

10.【答案】I

【解析】【解答】解：•・•点4(-2025,2024)与点8(a,b)关于原点。成中心对称

Z.a=2025,b=-2024

：.a+b=2025+(-2024)=1

故答案为：1

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征可得a,b值，再代入代数值即可求出答案.

11.【答案】m>4

【解析】【解答】解：解不等式2%+2<%+6得：x<4

•・,不等式组的解集为XV4

m>4

故答案为：m>4

【分析】解不等式2x+2Vx+6得：x<4,再结合不等式组的解集即可求出答案.

12.【答案】3

【解析】【解答】解：连接AD

由作图可得，直线MN为线段AB的垂直平分线

・・・AD=BD

VBC=2AC=8

AAC=4

设CD=x,则BD=AD=8-x

第9页

在RQACD中，由勾股定理可得：AD2=CD2+AC2

即(8-x)，=x，+4,

解得:x=3

・・・CD的长为3

故答案为：3

【分析】连接AD,由作图可得，直线MN为线段AB的垂直平分线，贝l」AD=BD,设CD=x,则BD=AD=8-

x,根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.

13•【答案】甲

【解析】【解答】解：・..RtZk48C中，/.ACB=90°tAC=1,BC=3

•'•BA=y/AC2^-BC2=V10

,・,将边AC沿CE翻折，使点力落在A8上的点。处

AZAEC=ZCED,ZACE=ZDCE

VZAED=180°

AZCED=90°,即CE_LAB

〈SMBC=\AB.EC=^AC-BC

・・・EC帮

在RSBCE中，BE=如。2一“2=需

•・•将边3c沿Cr翻折，使点8落在。。的延长线上的点B'处

・・・BF=BF,ZBCF=ZB'CF

•・,ZBCF+ZB'CF+ZACE+ZDCE=ZACB=90°

.•・NECF=45。且CE1AB

:.ZEFC=ZECF=45°

・・・CE=EF=3同

10

BF=BE-EF=3屈

5

・・・B'F=3亚

5

故答案为：空

【分析】根据勾股定理可得BA,再根据折叠性质可得NAEONCED,ZACE=ZDCE,根据三角形面积可

得EC,再根据勾股定理可得BE,再根据折叠性质可得BF=BEZBCF=ZB'CF,根据角之间的关系可得

ZEFC=ZECF=45°,则CE=EF=婆，再根据边之间的关系即可求出答案.

第10页

14.【答案】(1)解：原式=Ga+3b)Ga—3b)

(2)解：原式二4(x-y)2

【解析】【分析】(1)根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.

(2)提公因数，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.

(5%-1<3(x+1)①

15.【答案】解：2x-l5x-l小

(学+中>1②

解不等式①可得：x<2

解不等式②可得：x>l

・•・不等式组的解集为gvxW2

・••整数解为：1,2

【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求出不等式组的解集，再写出整数解即可求出答案.

16•【答案】(1)解：如图，ZiOEF即为所求

(2)解：如图,即为所求

⑶(5,3)

【解析】【解答】解：解：画出aAiB2c2如图所示

第11页

・・・82的坐标为(5,3)

故答案为：(5,3)

【分析】(1)根据中心对称图形性质作图即可求出答案.

(2)根据平移性质作图即可求出答案.

(3)根据旋转性质作图图形，即可得坐标.

17.【答案】(1)证明：在ZkABF和△AEF中

Z.BAF=Z-EAF

AF=AF

^AFB=^AFE

/.△ABF^AAEF

:.AB=AE

・••加固后的△4BE是等腰三角形

(2)解：连接DE,

AAB=AC,BF=EF,ZABE=ZAEC

VBE1AD

・・・DB=DE=5

AZDBE=ZDEB

.\ZABC=ZAED

•・,ZABC=ZABE+ZCBE=2ZC

ZAED=ZC+ZCDE

・•・ZC=ZCDE

/.CE=DE=5

.\AB=AE=AC-CE=8

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・•・原始支撑段AB的长度为8米

【解析】【分析】(1)根据全等二角形判定定理可得△ABF/△AEP,则AB=AE,再根据等腰二角形判定定

理即可求出答案.

(2)连接DE,根据全等三角形性质可得AB二AC,BF=EF,ZABE=ZAEC,根据等边对等角可得

NDBE=NDEB,再根据角之间的关系可得NONCDE,根据等角对等边可得CE=DE=5,再根据边之间的关

系即可求出答案.

18.【答案】(1)解：设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型

由题意可得：2OO-X02X

解得：刀之竽

・・・x为正整数

Ax的最小值为67

・♦・该航模店至少购进x个A款飞机模型

(2)解：由题意可得：200-x>x

解得：x<100

・・“之竽，且x为正整数

.\67<x<100

设该航模店将购进的两种模型全部买出后获得的利润为y元

.*.y=(30-20)x+(45-30-2)(200-x)=-3x+2600

V-3<0

・・・y随x的增大而减小

所以当x=67时，y取得最大值，最大值为2399

・•・航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润为2399元

【解析】【分析】(1)设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型，根据题意建立不

等式，解不等式即可求出答案.

(2)根据B模型的数量不少于A模型的数量建立不等式，解不等式可得675与00,设该航模店将购进的两

种模型全部卖出后获得的利润为y元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.

19.【答案】(1)0

(2)解：作图如下

第13页

当x<2时，y随x的增大而减小

(3)m+n=4

(4)x<l或x>5

【解析】【解答］解:当x=3时，代入y=2区一2|-2可得:

y=2|3-2|-2=0

:.a=0

故答案为：0

(3)若点4(m,p),8(n,p)均在该函数图象上

则m,n满足的数量关系为m+n=4

故答案为：m+n=4

由图象可得，不等式2氏一2|-2>为一1的解集为*<1或*>5

故答案为：x<l或x>5

【分析】(1)将x=3代入函数解析式即可求出答案.

(2)根据描点法作出图象即可.

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（3）根据函数图象即可求出答案.

（4）当函数、=2w-2|-2的图象的图象在函数丫=入-1上方时，有2|%一2|-2>尢-1,结合函数图形即可

求出答案.

20.【答案】（1）6

（2）解：BE=®AE+DE,理由如下

设AD于BE相交于点F

ABC^AADE

AZB=ZD,ZBAC=ZDAE,BC=DE,AC=AE

ZAFB=ZDFE

Al80°-ZB-ZAFB=180°-ZD-ZDFE

/.ZBAF=ZDEF=90°

*/ZBAC+ZCAF=ZDAE+ZCAF

.\ZBAF=ZCAE=90°

・•・△ACE是等腰直角三角形

・"E=&AE

：-BE=CE+BC=y/2AE+DE

(3)解：将△ABD绕点A逆时针旋转90。得到△ACE,连接DE

E

VCD+DE>CE

・••当C,D,E三点共线时，CE取得最大值，即BD的最大值

VAD=AE,ZDAE=90°

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/.△ADE是等腰直角三角