北京某中学2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷（原卷版）

北京三帆中学2025-2026学年九年级上学期期末考试

数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）

1.未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色.下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称

图形也是中心对称图形的是（

2.抛物线y=（x+3『—2对称轴是（）

A直线x=3B,直线工=一3C.直线x=2D.直线工=一2

3.将抛物线y=2戈2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）

A.y=2（x-2『+3B.y=2（x-2『-3

C.y=2（x+2『+3D.y=2（x+2）2-3

4.下列说法正确的是（）

A.“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件

B.某种彩票中奖概率是1%,因此买100张该种彩票就一定会中奖

C.抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得

D.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p,那么事件A发生的概率

P（A）=〃

5.已知在VA3c中，AB=AC=5,4c=8,以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是

（）.

A.点B在内B.点。在OA上

C.直线8c与G）A相切D.直线8C与OA相离

6.如图，正六边形A8CO七/内接于O。，若的面积为46，则。。的半径为（）

A.4B.2A/3c.2V2D.2

7.新年将至，某商场对一款智能音箱进行降价促销，其零售价由最初的100元经过两次降价后变为81

元，且两次降价的百分率相同，设平均每次降价的百分率为x,可列方程为（）

A.iOO(i-x2)=8iB.100(17)2=81

C.81(1+x)2=100D.100(1-2x)=81

8.如图，已知抛物线+氏+c,（。<0）过AG,O）,B（f,0）两点，其中s>-2,s+i=2.有以

下四个结论：

©b<0；②8a+cv（）；③点Mj%）在抛物线上，用<9，当芭+々<攵时，总有

,<必，则ZW2；④若点PQ〃-Ly）,。（〃?,为）在抛物线上且在对称轴的同侧，总有|%一%|之1，则

。4一1.其中正确的结论为（）

如

=2~AO

A.®®B.②③C.③④D.②③@

二、填空题（共16分，每题2分）

9.在平面直角坐标系中，点（-4,2）关于原点的对称点是.

10.请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②顶点坐标为（0,3）.此二次函数的解析式可

以是.

11.圆心角是60。的扇形的半径为4,则这个扇形的面积为.

12.如图，A8是。O的直径，点C,。，E在。。上，若NC=100。，则/£的度数为.

13.若关于x的方程4工+3机-2=0有两个相等的实数根，则〃?的值是

14.如图，PAPC是。。的切线，A,C为切点.若Z4PC=60。，40=5百，则直径A5的长是

15.如图，在平面直角坐标系式分中，A（0,l）,NQ4B=60。.将VAOB绕点4逆时针旋转，若。的

对应点。'恰好落在边A8上.则点B的对应点B'的坐标为.

OBX

16.已知在VA8C中，Z^4C=45°,ZABC=60°,AB=4,D是3c边上的一个动点，以AO为

直径作0。，分别交AB、AC于点E、F,连接£/，则线段E尸长度的最小值为.

三、解答题（共68分，第17・18,20・23题，每题5分，第19、24-26®,每题6分，第

27.28®,每题7分）

17.计算：X2+6x+6=0.

18.已知直线A8，在直线A8二方求作一点C，使得NAC5=150。.

下面是小张的作法：

AB

①分别以A，B为圆心，48长为半径画弧，在直线A8下方交于点0；

②以点。为圆心，长为半径面圆；

③在京上任取一点。（不与A，8重合），连接AC,BC.

则44c4为所求.

（1）使用无刻度的直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：在直线48下方的。。圆弧上任取一点M（不与4,B重合），连接AW，BM，Q4,0B.

,/OA=OB=AB,

.•.△048是等边三角形.

.•403=60。.

-AB=AB,

;.AAMB=-Z（）（填推理的依据）

2

/.ZAM8=30。.

•••四边形AC8M内接于。0,

/.ZAMB+ZACB=180°（）（填推理的依据）

乙4c8=150。.

19.已知，二次函数y=ax2+bx+c3b,c是常数，a^O）的）'与"的部分对应值如下表.

X-1012•••

y•••30tn0•••

（1）求二次函数的解析式.

（2）①在平面直角坐标系中画山函数图象;

③当》20时，x的取值范围是.

2().如图，等边V45C,在3C边延长线上取点。，连接AO，将线段A3绕点。顺时针旋转60。得

到线段力E，连接CE,AE.

(2)若A8=6,CD=2,求4。的长.

21.已知关于1的方程f—2mr+〃，一〃=。有两个不相等的实数根.

(1)求〃的取值范围；

(2)若〃为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求〃?的值.

22.如图，AB、CD是。0的两条弦，AB\\CDt过点。作OEJ.AB交。。于点E,交A3于点

G,延长E。交CZ)于点F.

(1)求证：AC=30；

(2)若CD=6,EF=9,求0。的半径.

23临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥

梨”.统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表:

每箱混入“红酥梨”个数/个012

箱数/箱1tnn

若事.件“每箱中混入1个纪酥梨”的概率为《

(1)求小和n的值；

(2)小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红

酥梨”的概率.

24.某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头(如图①)，喷淋头喷洒的最外层水柱的形状

为抛物线.如图②，己知车棚建在AO,8C两面墙之间，C。为水平地面，AO1CO,3C_LC。.消

防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶A3上，其到墙面A。的水平距离AM为2米，此时最外层的水

柱喷射到墙面A0上的点七处，。£=1米.以。为原点，地面C。所在的水平线为x轴，墙面A。所在的

直线为y轴建立平面直角坐标系.

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)已知车棚的宽度。。为15米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1

米高的全部范围.工作人员计划在棚顶A8上安装若干个与消防喷淋头M相同型号的消防喷淋头(第一个

喷淋头的位置不变).

①请通过计算，回答至少需要一个消防喷淋头；

②直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间距离d的取值范围.

25.如图，0。是VA3C的外接圆，。是A3的中点，过点。作直径E"交于点M,正的延长线

与AC的延长线交于点N,过点尸作射线FG使得NAEG=2NACB•

2

N

（1）求证：R7是。。的切线；

（2）若/N=15。,AB=AE^EF=4,求8。的长.

26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a/-245+。/+《。工0）.

（1）求抛物线的顶点坐标（用含c的式子表示）；

（2）加（百，乂）,可（工2，、2）为抛物线上两点，若对于<6-2c,x2=-c+l,都有yt>y2,求c

的取值范围.

27.如图，△MNP是等边三角形，点石是边NP延长线上一点，连接在边MNk取一点F,

使得EM=EF,将线段EF绕点E顺时针旋转60。得到线段EG,连接FG,MG.

（2）用等式表示线段MG、和MP之间的数显关系并证明.

28.在平面直角坐标系宜》中，。。