中考数学总复习之最值问题“将军饮马”模型（附详解）

最新中考数学总复习之最值问题“将军饮马”模型

1.如图，在VABC中，AB=4C,8C=6,S»配.=27,直线E/垂直平分线段,若点。为边8C的中点,

点G为直线E尸上一动点，则二8DG周长的最小值为（）

A.9B.13D.14

2.如图，在VA3C中，ZA=60°.ZB=45°,P、例、N分别是从氏AC、8C边上的动点，当cPAW的周长

最小时，下列关于〃点位置的描述中正确的是（)

B

A.P在边的中点处B.连接CP,CP是24CA的角平分线

C.BP=-BCD.AP=-AC

22

3.如图，四边形4ACD中，NBAD=125。,ZB=ZD=90°,在BC、C。上分别找一点M、N,使

周长最小时，则Z4AW+/ANM的度数为（

A.130°B.125°C.115°D.110°

4.如图，在△入"C中，AN=2,N/BC=60。,NACN=45。，£＞是QC的中点，直线/经过点BFA.I,

垂足分别为E，F,则AE+8尸的最大值为（)

A.J6B-2&C.2出D.3&

5.加图，点4.8的坐标分别为42,0）1（62）,点C为坐标平面内一点，"C=l,点M为线段AC的中点,

连接OM,则OW的最大值为（

A.V2+1B.>/2H—C.26+1D.2人-

2

6.如图，凸四边形48co中，乙4=90。,/。=90。,/。=60。,4。=3,从8=J5,若点M、N分别为边C。/。

上的动点，则ABMN的周长最小值为（）

A.2瓜B.3#

7.在平面直角坐标系中有4,8两点，坐标分别为A（0,2）,用2,1）,若工轴上存在一点M,使MA+M8

的值最小，那么这个最小值为.

8.已知在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=12,8C=5,点E为边4c上的动点，点尸为边A8上的动点，

则即+即的最小值是.

9.如图，在平面直角坐标系中，点A（l,o）,点C是y轴上的动点，线段C4绕点。按逆时针方向旋转90。至

线段CB,点。是x轴上的动点，连接08、BD、DA,则O8+BD+D4的最小值是.

n

10.如图,在锐角V4AC中，AB=5,NK4C=45。，NK4C的平分线交于点D,M、N分别是42）、AS

上的动点,则8M+MN的最小值是

11.如图,在菱形AZ7CO中，AU—6,点？为射线D4上的动点，点，为射线OC上的动点，且Z）E=£>尸,

连接CE、BF,若菱形A8C。的面积为18,则3/+CE的最小值为.

12.在R,ABC中，ABAC=90°,AB=\,8C=JIU,点。是BC边上的动点.连接4。，作R」A£）E,

如图所示，ZZME=90°,4EDC=/BAD,连接BE.则+的最小值是

13.如图，在Rt^AAC中，AC=3,AC=4,NACA=90。，点P,。分别是边A3和3C上的动点，始终保持

AP=BQ,连接AQ,a>,则4Q+CP的最小值为

14.如图，00的半径为1,点P（%—4）为G。外一点，过点尸作（。的两条切线，切点分别为点4和点8,

则四边形PBOA面积的最小值是

15.如图，四边形为矩形，AB=2陋，AQ=2夜，点尸为边A台上一点.以。尸为折痕将△凝尸翻

折，点人的对应点为点4.连结儿4',AA'交尸。于点M,点Q为线段BC上一点，连结AQ,MQ,则人Q

+MQ的最小值是

16.如图，四边形A4C。是平行四边形，A8=4,BC-12,4SC-60。，点E、尸是边上的动点,

且EF=2,则四边形跳尸C周长的最小值为____.

17.如图，矩形48CD中，A8=2,BC=3,点E,尸分别在边A8,边8c上运动，点G在矩形内，且DGICG,

EFLFG,FG：EF=1：2,则线段GU的最小值为_____.

18.如图，等边VA4C中，AB=10,点E为高A。上的一动点，以班;为边作等边△跳尸，连接力尸，CF,

则ZBCF=,/4+m的最小值为___________.

19.如图，O为矩形A8CQ对角线AC,8。的交点，AB=8,M,N是直线8C上的动点，且MN=2,则OM+ON

的最小值是.

20.如图，菱形ABCD的边长为6,Z/ABC=120°,M是8c边的一个三等分点，户是对角线AC上的动点,

当PB+PM的值最小时，PM的长是______.

B

参考答案

1-6CDDABCPMN周长为

1.解：连接AG,AD,

PM+PN+MN=RM+P[N+MN之RP),即最小即

为3.

VZA=60°,NB=450,

•••zSAC/7-180°-60°-45°-75°.

由对称可得：

直线EF垂直平分线段AB.

PC=RC=K,ZP{CA=Z.PCA,ZP2CB=NPCB,

/.AG=BG,

鸟

•・•点Q为边的中点，BC=6,Z.N[C=2/ACB=2x75°=150°.

:.BD=-BC=3,•・,在中，ZAJC/^=150°,Cf]=CP

22t

.•.△6DG周长,要使42最小,则CR=C2=CP最短,

=BG+DG+BD=AG+DG+BD>AD+BD,

CP最短时为垂线段，CPA.AB,

.•.△WG周长的最小值为4)+3,

•••在RhMPC中，NA=60。，

VAB=AC,点。为边BC的中点,

则"」AC.

AD1BC,2

故选：D.

°：BC=6,S/iAsc=27，

3.解：作点A关丁SC的对称点A；作点A关丁CD

：.-x6AD=21

2f

的对称点人

解得AO=9,

「.△BOG周长的最小值为9+3=12,连接44,与8c交于点M,与DC交于N,

故选：C.此时，..AMN周长最短.

2.解：作出点。关于AC和8c的对称点耳和鸟,

连接[C,PC,P?c；

由对称性可得PM=RM,PN=P、N,

由轴对称可得NAAM=乙/N4=4&AN

设

Z4,=/\AM=a,/A2=/A2AN=/i,/MAN=y

/./AMN=2a./ANM=2/7延长AE,过点C作CNJLAE于点N,

•・•在,,AMN中，++=180°,可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

.・.2。+2/+，=180。①在RSACN中，AN<AC,

/BAD=NAAM+4MAN+N&AN=125°,当直线吐AC时，最大值为遥，

：.a+/3+y=\25°®综上所述，AE+BF的最大值为后.

①-②得

故选:A.

a+fi=55°

5.解：如图所示，取AB的中点N,连接ON,MN,

则2(a+£)=110。,三角形的三边关系可知OMVON+MN,则当ON与

即2AMN+NANM=2a+2〃=110。.MN共线时，OM=ON+MN最大，

故选D.•・・A(2,0),8(0,2),

4.解：如图，过点C作CKJJ于点K,过点A作则△ABO为等腰直角三角形，

AHJ_BC于点H,.,.AB-Jof+0^2=20,N为AB的中点，

：,O^=-AB=y/2,

2

又・・，M为AC的中点，

，MN为△ABC的中位线，BC=1,

则MN=；8C=g,

/.OM-ON+MN-V2+-,

在RtAAHB中,2

VZABC=60°,AB=2,/.OM的最大值为5/5+5

・・・BH=1,AH=5

在RQAHC中，ZACB=45°,

：,AC=JAH?+CH?=1(百『+(£)2=V6，

,・,点D为BC中点，

・・・BD=CD,

在么BFD与△CKD中，

NBFD=NCKD=90。

6.解：作点6关于CO、AO的对•称点分别为点"和

</BDF=NCDK,

BD=CD点B：

连接夕审交。。和AO于点M和点N,DB,连接

/.△BFD^ACKD(AAS),

MB、NB；

ABF=CK,

再。。和A/)上分别取一动点W和N'(不同于点.-.^2=30°,

M和N),/.Z5=3O°,DB=DB\

连接MB，N'8和NTT,如图1所示：又.•ZAPC=NI+N2=60。，

/.Zl=30°,

.­.Z7=30°,DB'=DB,

.•.N8'O£T=Nl+N2+Z5+Z7=120°,

DB'=DB"=DB=2>/3，

又.•/*£)*+N6=180°,

/.Z6=60°,

:.HD=5HB，=3,

在心中，由勾股定理得：

B'B"=J收+HB"?=,3?+(3百8=，27+9=6.

&M'=BW,NW=BN'，

:.BM'+MN'+BN'>BE,：」SBMN=NB+NM+BM=6,

又BB=BM+MN+NB；故选：C.

MB=MH,NB=NB；7.V13

:.NB+NM+BM<BM'+M'N'+BN',

解:如图，作4(0,2)关于x轴的对称点A(0,-2),

=NB+NM+6M时周长最小；

连接AB与x轴交于点M,连接AM,

连接。8,过点"作夕H_LDH于B"D的延长线于点

H,

如图示2所示：

/.MA+MB-MA+MB

•・•两点之间，线段最短，

，当A'、M、8三点共线时,A'B=M/V+MB的值最

小，即历4+MB的值最小，

图2

VA(0,-2),8(2,1),

在mVA8O中，AD=3,AB=6

:.=^(0-2)2+(-2-1)?=V13,

DBujAb+AB2=百+(扬2=26,

解：如图，过点8作।轴于点凡

故答案为：V13.

。120

8.-----

13

解：延长4c至8',使CB，=BC,

,?ZACB=90°,

・•・AB上BE,

・•・B'点和B点关于AC对称，由旋转可知C4=C8,ZACB=90°,

过B'点作交AC于E点，交AB于F点,.•.N8CH+NACO=90。，

连接A*.又•.ZACO+ZC4O=90°,

/.NCAO=NBCH,

此时石8'=必，且4'，E,/三点共线，

乂.NCOA=NBHC=90。,

根据“垂线段最短”可知，此时b+所的值最小，最

AOC^^CHB(AAS),

小值为3,的长，

•••乐△ABC中，ZC=90°,AC=\2,BC=5,:.OC=HB,OA=HC,

；・AB=>JAC2+BC2=V122+52=13»设点C坐标为(O,〃7),

■:CB'=BC=5,OC=HB="?,OA=HC=1,

则点8坐标为(〃7,M+1),

故点4始终在直线y=x+i上，

ABHF=BBAC,根据图象，可知4O+D42/V3,

；・138'产=10x12,/.OB+BD+DA>OB+BA,

解得*F=詈P0，如图，过直线>'=1作点0的对称点0',连接O'B,

1J

120

.**EF+EB的最小值是――.

根据图象，可知点0'坐标为（-覃）,

由对称可知OB=O'5,

9.>/5/.O«+AB=(7B+AB>O'A,

•••（/AMW+T=5

：.0B+BD+DA>OB+BA>O'A=y/5,

则OB+BZ）+ZM的最小值是石.

故答案为：6.

10.逑

2

解：作aTJ.AC于T,在AC上截取A〃-4V,连接

在菱形A8C。中，AB=BC=CD=DA,

FM.

NBCF=/BAE（菱形对角相等）.

'：DE=DF,

/.AE=CF,

・•・3C//A84E（SAS）,

得BF=BE,

•・•ZBAC=45°,

BF+CE=BE+CE=BE+EG.

・•・丽为等腰直角三角形，

S登形=BCXCH=6XCH=T8,

.少—友人吟虚,_5>/2

••BT=—AB=—x5=----9

222CH=3,

•.*AD平分N8AC,

CG—6.

/.郎AM=ZFAM,

在RjBCG中BG=\IBC）+CG，=d6+G=60,

*.*AN=AF,AM=AM>

当B、E、G三点共线时8E+EG有最小值，即

・•.AAMN-AW/^SAS）,

8/+CE取得最小值，

:,MF=MN,

在二8EG中，BE+EGNBG=66,

・•・BM+MN=BM+MFNBT.

BF+CE=BE+EGN60.

・\当夙M、尸三点共线且8//4C（即尸与丁重

故答案为：6上.

合）时5M+MN=8T=也为最小值，

12.叵/收

2

33

故答案为：述.

解：连接CE,令4C,相交于点M,如下图所

2

11.6&示：

解：如图所示，连接3E,作点C关于人。的对称点

G,连接CG交4。于点〃，连接8G,

在直角三角形A8C中，・・・八笈=1,BC=J10,

・•・AcZBd-Alf=3,

'：/EDC=/BAD,

又,：ZEDC+ZADC=180°-/BDA,

ZBAD+ZABD=180°-/BDA,

根据对称的性质，BC=CB，=M，

・•・ZADE=ZABD,

•・•ZABF=ZABC,ABAC=ZAFB=90°,

又：ABAC=ZDAE=90°,

・••&ABFS@A,

，ABCsADE,

.ABAFBF

••而一就一而‘

.\BACanADAB1

••=,hJ==—,

ADAEAEAC3解得8户=叵，.二亚,

1010

・•・AE=3ADf

••・FB'=BB'—BF=2回—叵=,

・；/EDC=/BAD,

1010

/BAD+ZDAC=NDAC+NEAC,JAB'=J（FB，f+AF2=历，

・•・/EDC=/EAC,

则最|=-AB'=-,

又1•ZAME=ZDMC,

I3）,nin33

:3AMES\DMC,故答案为：亘.

.AMMEAMDM3

..--------=--------,UnJn---------=---------,

DMMCMEMC

13.后

又。：ZAMD=/EMC,

解：如图，过点3作8W_LA4,使得BM=AC,

:-AM4一EMC,

连接AM.QM.

・•・2MCE=ZADE,

又，ZADE二ZABC,

；・^MCE=ZABC,

・•・ZABC+ZACB=90°,

/.ZA/CE+ZACB=90°,即EC_L8C,

所以点E在过点C且垂直3c的射线上移动；

VAE=3AD,ZABM=90°,NQBM+ZABC=90°,

・•・AO+；8E=；（AE+BE）,,?ZACB=90°,

/.ZE4C+ZABC=90°,

故求出AE+8E的最小值即可，

・••4QBM=ZPAC,

作点8关于跳:的对称点8，，连接AZT,

V13M=ACJ3Q=APf

即AE+4E的最小值为A*的长度，过点4作

：（）

AF1BC,交BC于点、F,如下图所示：.QBMwP4cSAS,

:.MQ=CP,

.・.AQ+CP=AQ+MQ,取4。的中点R,连接8兀QT,RT,RM.

当儿Q,M三点共线时，A()+MQ=AM取得最小值,

•・•AC=3,BC=4,ZACB=90°,

，AB=VAC2+BC2=V32+42=5，

•・•BM=AC=3,NABM=90°,

•・•四边形ABC。是矩形，

-AM=yjAB2+BM2=752+32=734,

・・・NR4T=90。，

即AQ+b的最小值为后.

•:AR=DR=O,AT=2A4=4G，

故答案为：底.

:・RT=JAR2+AT2=7(V2)2+(4>/3)2=5&,

14.不VA,“关于。。对称，

解：•・•点P的坐标为(a,a-4),，44U_DP,

OP-Ja?+(a—4)-=>/2a^—8a+16/.NAMD=90。，

•••AR=RD,

VPA,PB是。O的两条切线，

:・RM=gAD=6,

APA=PB,ZOAP=ZOBP,

在ZiOPA与aOBP中，■:MT^RT-RM,

PA=PB：.MT>4y/2,

«NOAP=/OBP

OP=OP•••M7的最小值为4及，

.,.△OPA^AOBP,,/QA+QM=。7+QMNMT,

在RtaOAP中，，QA+Q%4及，

PA=y/oP2-1=V2a2~8a+16—I=\/2a2~8a+l5,

•••QA+QM的最小值为4a.

四边形PBOA面积=2xaOPA的面积=2x；OA・PA=

故答案为：472.

J2a2-8a+15=j2(a-4)2+7

16.14-25/37

V2>0

如下图，将点"沿4c向右平移2个单位长度得到点

.•.当a=4时，四边形PBOA面积最小,

g,作点*关于4。的对称点B",连接CB",交AD

最小值为小.

于点尸,在A。上截取斤=2,连接BE,B，F,

故答案为：币.；・BE=BF,BnF=B,F,

此时四边形3EF。的周长为

15.4夜

BE+EF+FC+BC=&F+EF+FC+BC=B"C+EF+BC

解：如图，作点A关于BC的对称点7,

/.GM=-DC=-x2=l,

22

当点C、F、*三点共线时，四边形8瓦C的周长

:・GM=DM=CM=\,

最小，

FGEF=\2,

­.AB=4,88'=2,ZABC=60°,

・•・设FG=a,则EF=2a,

"外经过点A,

IN是M的中点,

AB'=2G，

:・FN=EN=a,

B，B"=4后,,/ZEI3F=90°,

:,BN=EN=FN=a,

Z?C=12,

VEF1FG,FG=FN=d,

.-./rc=io,

・••ZG7W=9O°

/.B"C=dbB^+B'C?=2x/37，

在RiAGFN中,根据勾股定理

B"C+EF+BC=T4+2屈,

GN=^GF2+NF2=x/«2+«2=V2t/»

四边形BEFC周长的最小值为14+2历，

在心△BCM中，BC=3,CM=1,根据勾股定理，

故答案为：14+2府.BM=yjfic2+CM2=V32+l2=Vio，

•・・B、N、G三点共线时，NNBG22.5。，

而B、G、M三点共线时,tanZM«C=1,而tan22.5°R

J

!

17.GF>2亚-痴-6+\

3

解：如图所示，取C。的中点M,取E/的中点N,所以8、N、G、M四点无法同时共线

BN+NG+GM>BM,

，当且仅当B、N、G、M四点共线时，BN+NG+GM

值最小，

:.a+0。+1>V10»

(V2+i)d>>/io-i

«>(Vio-i)(V2-i)

•••四边形4BC。是矩形，

a>2yf5-y/U)-yf2+\

；・CD=AB=2,AD=BC=3,ZA8C=N8CD=90。,

•・•DGiCG,则线段G尸>2石-国一&+1,

，NDGC=90。，

故答案为：G尸>2行一—五+1.

18.30。/30度5。

解：①・・・VA〃C为等边三角形，

:・BA=BC,ADLBC,

・•・^BAE=-ZBAC=30°t

2

*/△8£F是等边二角形，

19.2a

VZEBF=ZABC=60°,BE=BF,

：.ZABE=ZABC-ZEBC=Or-ZEBC,解：过。作O”〃8C,且令。H=2,连接N”，作O

Z.CBF=ZEBF-ZEBC=600-ZEBC,点关于BC的对称点K,连接OK,KH,

:.ZABE=NCBF,

在一3A£和V3CF中

DA-DC

<NABE=NCBF

BE=BF

：.ABAE^ABCF(SAS),

^ZBAE=ZBCF=30°；

故答案为：30。.

*：OH//BC,OH=MN=2,

②(将军饮马问题)

，四边形OMNH是平