湖南省2025-2026学年高三年级上册第二次联考数学试题

湖南省教育战略合作学校2025-2026学年高三上学期第二次联

考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合人=｛1|1（培2工＜1｝，则务4=（）

A.（0,2）B.（F2）C.[2,-KO）D.（^O,0]U[2,-HC）

2.设更数z?=2i，则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第一、三象限D.第二、四象限

3.已知｛4｝是各项均为正数的等比数列，设其前〃项和为S”，若4%,%，2%成等差数列，

则率=（）

A.9B.2C.gD.1

4.已知圆锥的母线长/为5,体积V为12兀，底面半径,，高为该圆锥的表面积

为（）

A.15兀B.20兀C.24兀D.307c

5.已知向量。石满足同=卜-可，且左+/；在B上的投影向量为单位向量，则归卜（）

2

A.-B.C.3D.2

6.已知函数/（x）=sin（2jv-1）-加在0段上恰有两个不同的零点加为，则小《（王一々）的

值可能为（）

A.0B.y1C.g7D.1

—o

7.若曲线y=lnx-m与圆/+）尸=2恰有一个公共点，则实数〃?的值为（）

A.eB.2C.-D.1

2

8.已知双曲线「-，=1（4＞0力＞0）的左、右焦点分别为耳、鸟，过6的直线4：x+y+2=。

与双曲线的左支交于A、8两点，若NAFJS的角平分线所在直线/2：X+7），-2=0,与直线人

交于点。，AA居8的内切圆圆心为C,则tan/OCA；的值为（）

3

A.・c"D.2

4Bi

二、多选题

9.已知实数x,y满足l«x+），W3,0«x-），Wl,则下列说法正确的有（）

A.x的取值范围为今2B.y的取值范围为［05

C.的取值范围为［2,5］D.^（9-0一'）的取值范围为［0看-1］

10.在三棱柱A8C-A8£中，底面VA8C是边长为2的正三角形，侧面48dA是菱形，

且/A网=60。，平面4阴AJ•平面4BC,。为A8的中点，E,尸分别是4G，AG的动点,

满足4后一4麻L4不一“相，（0<2,//<1）,则下列说法正确的是（）

A.当时，直线E"〃平面八8四人

B.三棱锥的外接球表面积为彳加

3I

C.若丸+〃=1,且E"，3£,则％2

44

D.当％=!，〃=?时，三棱锥C—AEf"的体积为:

23-

11.设离散型随机变量J的取值为1,2,3,…，99,且夕（。=£）=4伙=1,2,3,…,99）,则

（）

A.当数列｛《｝为等差数列时，。旬;工

99

1

B.数列｛&｝的通项公式可能为处二可4+灰门）

C.当数列｛可｝满足4=，（z=l,…,98）时,4

D.当数列｛《｝满足始必）=〃％"=1,2，…,99）时，q啜

三、填空题

（।Y

12.2.x--的二项展开式中的第3项的系数为.

y）

试卷第2页，共4页

13.若sin2a=2sin2〃，则:an：。的值为____.

tan(a-^)

14.已知函数/(x)=f-(。+3八+2〃+3的图象总在g")=-eJ的图象的上方，则实数〃

的取值范围是.

四、解答题

15.记VA8C内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已如2sinB-85。二出一.

IanA

⑴求4的大小；

(2)若VABC为锐角三角形，且a=2,求VABC的面积的取值范围.

16.现有6个除颜色外大小和形状完全相同的小球，其中3个红球，3个白球.甲同学将这

6个小球全部分配到一号和二号盒子中，分配完成后，乙先随机选一个盒子，再从选中的盒

子中随机摸I个球，试验结束.

⑴若甲在一号盒子中放置了2个红球和1个白球，求乙摸到红球的概率；

(2)甲应该如何分配这些球，才能使乙摸到红球的概率最大，说明理由并求出此时概率的最

大值.

17.四棱锥P-ABCO中，底面4BCD是边长为2的菱形，N84O=60。，幺_1_底面ABC。，

PA=2,点七尸分别是BCJQ的中点.

⑴若过点AEF的平面交PC于点G,求*的值；

(2)在棱PC上取一点，，使得平面求面A"/与面£77/夹角的余弦值.

18.已知函数/(x)=e'-«Inx-a,其中aeR,e为自然对数的底数.

⑴当。=e时，求函数/(力的单调区间；

⑵当。=1时，证明：对于任意的X£(l,“o),都有/(x)>g/—x+i；

⑶若函数/(x)存在极小值点/,且/(不)之。，求〃的取值范围.

19.已知圆K：f+（）,_］『=］,圆入：/+（）,+］）2=9.若动圆C与圆片外切，且与圆K内

切，设圆心C的轨迹为曲线E.

（1）求曲线£的方程；

⑵已知双曲线「:三-£=1,过其右顶点A作直线《分别交曲线E和双曲线「于点M.N（异

34

于点4）,作直线6分别交曲线E和双曲线「于点2。（异于点A）,设直线MQ与直线NP交

点为“，

（i）求证：点M，N的横坐标乘积为定值，并求出该定值.

（ii）求证：点，在定直线上，并求出该定直线的方程.

试卷第4页，共4页

《湖南省教育战略合作学校2025-2026学年高三上学期第二次联考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DCACACDBADAD

题号11

答案ABD

1.D

【分析】先解对数不等式，再求补集.

【详解】因为4={回嘎24<1}={#0。<2}=(0,2),

则44=(—,0]=[2,+8).

故选：D.

2.C

【分析】利用复数的四则运算法则求出z,根据复数的几何意义即可求解.

【详解】因为z=a+〃i,则z2=(a+〃i『=(/)+2而i=2i,

a2-b2=Oa=1、①二一1

则解得:<口上《

2ab=2/?=「人"一1

所以2=1+1或7=-1-"其在复平面内对应的点位于第一、三象限.

故选：C

3.A

【分析】根据题意得，4=2%+外,化简得炉—q—2=0,解得9:2,再由率=闫=1+/即

可求解.

【详解】设正项等比数列{q}的公比为川<7>0),因为4%,2%成等差数列,

所以“4=2%+%，即92-g—2=0,

解得“=T(舍去)或4=2,

所以卜口=1+49.

\"q

故选:A.

4.C

【分析】根据圆锥的体积公式，结合圆锥的表面积公式进行求解即可.

【详解】圆锥体积:仃2.=席兀,化简得力?=36=/=乎.

3h

答案第1页，共16页

由母线长/=5,得/+6=25,把尸=字代入，

h

整理得始一250+36=。=(〃一4)(//+40-9)=0="-4=0

或力2+4力-9=0，解得4=4,/?=-4±2^=-2±>/|3>

2

因为〃>0,所以力=4,或〃=-2+715,

又一+/『=25(2"=//〉史，

当。=-2+JB时，/?=17-4>/i3<y,不符题意舍去,

综上，r=3,h=4,

所以圆锥的表面积为兀x3x5+兀x3*=247r.

故选：C

5.A

【分析】将同=卜-司的两边同时平方得G•人岁2,根据4+方在6上的投影向量为单，立向

量得到一个关于忖的方程，解方程即可.

【详解】将同二忖一同的两边同时平方得同2=,一小展开得/=互2+62—2无B，

整理得小/;二:房,

由d+方在方上的投影向量为单位向量，可知其模长为1,即

即I吐引y+5£纲解得|B|二：.

WWW2回3

故选：A.

6.C

(jr\「冗1

【分析】由题意，将函数〃x)=sin2x---小在0,-上恰有两个不同的零点内转化

\3)L2-

为函数g(x)=sin(2xT与尸〃在上恰有两个不同的交点，考查函数的单调性和端

点、极值，作出函数的图象，推得女与1,进而得到2x**<*.0吟求得

答案第2页，共16页

0＜占-菁42,结合余弦晌数的单调性求得cos(x-x,)的取值范围即可.

0

【详解】由1e0尚，可得2x—^e一*胃

NJJJ

因/(x)=sin(2x-])-〃?在0,：

上恰有两个不同的零点内，/，

IT7E

即函数g(x)=sin(2x-§)与)，=，〃在0.-上恰有两个不同的交点，

而函数g(x)=sin(2x-$在|"0片]上单调递增，在I"泮外上单调递减，

且g喈)=[喉—普-6=Lg(0)=sin(2x0-y)=-*，g])=sin(2x„]=孝,

作出两函数的图象，可得me

可得0<不一用,fe—^COs(x)-Xa)<l.

故选：c.

7.D

【分析】将曲线y=lnxi?与|员|/+),2=2恰有一个公共点，转化为y=】nxT〃与圆

/+),2=2相切，列出关于切点横坐标与实数初的方程组，求解可得实数〃?的值.

【详解】因为曲线y=】nx-〃与圆/+),2=2恰有一个公共点，所以曲线y=lnx-〃?与圆

/+丁=2相切.

设切点横坐标为•%,

由y=ln%_/n,得y'=一；

答案第3页，共16页

故选：D.

8.B

【分析】设三角形△AF/的内切圆切A4于E,切AB于N,切BF?于M,由双曲线的定义以

及内切圆的性质可得E与K重合，则CK_L43于巴，fetanZDCF；=1,利用两条

tanNC/小

直线夹角的正切公式求解即可.

【详解】设三角形小53的内切圆切A3于£,切AK于N,切B与于M,

由忸同-忸耳|=|4闻一|从耳,得忸M|+|MKH此|=|AV|+|”HA用，

根据圆的切线长性质有13M=怛目，|例=|蜴，|M《=|A悠

所以忸同一忸制=|阳一|人用，即|A4一忸制=|阳一忸同,

所以E与K重合，则于

）k-k（一；-㈠）34

故tanZDC/<=,而tanZCDF=J；=——=:，即tanZDCF=-.

tan/CS11+鼠4］（；）（_］）4.3

故选：B

答案第4页，共16页

9.AD

【分析】对于AB,根据不等式的同向可加性求解即可；对于C,由A知x的取值范围，结

合对勾函数的性质可得的取值范围；对于D,根据看数事的运算性质将eK(e'-e-)展

开，根据指数函数的单调性及不等式的同向可加性可得所求范围.

【详解】对于A,因为24=(工+)，)+(工一)，)，则由U+”3,0Wx-)”l,可知142x44,

即:故A正确；

对于B,因为2y=(x+y)+[-(x-y)],则由1Wx+yW3,-lW-(x-y)WO,可知O〈2yK3,

3

即故B错误；

14「114

对于C,由A知:根据对勾函数的性质知)，=x+?在12上单调递减，所以工+士

2xL2J%

的取值范围为4「；，故C错误；

对于D,因为e'(e)-er)=ef-e'r,又IWx+yW3,04x-yG,

所以e4ex+>1^e\l<er-y<e,所以—cK

所以/的取值范围为[0,斯-1],故D正确.

故选：AD.

10.AD

【分析】对于A,可证明EF//44,进而判断即可；对于B,过。作GV1AB,垂足为M,

连接"与，设VA3C和△人B4的中心为P,N,连接OMOP,分析易得QVJ■平面力网，OPA.

平面ABC,OC即为三棱锥C-A84的外接球的半径，进而求解判断即可；对于C,根据

向量的数量积的运算律求解判断即可；对于D,取的中点J,连接£/,利用等体枳法

求解判断即可.

B.EAF

[详解】对于A,当九=4时，Syr=Tr，则EF"AB\,

因为Ma平面Aqu平面A8B|A，

所以EF〃平面ABBM，故A正确；

对于B,在菱形人"MA中，-60。，

答案第5页，共16页

则△484为等边三角形，而VA8C也为等边三角形，而平面A8CJ_平面

过。作尔_L四，垂足为M,连接M4，则

设VABC和AAB4的中心为RN,三棱锥C-4B用的外接球的球心为0,连接OMOP,

易得QV1平面A"4，。尸L平面ABC,则OC即为三棱锥C-A网的外接球的半径，

而VA5c和AAB用的边长沟为2,则用M=CM=J5,即NM=OP=3,CP=—,

33

所以0C?=0尸+。尸=*,

3

59()

则三棱锥C-A网的外接球的表面积为4五q兀，故B错误；

对于C,由乔=彳_乖=(1_〃)冰_(1一2)弧，

因为EFJLBCI，所以砺.CX=(1—〃)GX.藕一(1一㈤璃'=(),

M(1-/7)X2X2X1-(1-AIX22=0,即〃=22-1,

21

又4+〃=1,所以％=■!，〃=(,故C错误；

对于D,当/{=：,〃=(时，£为4G的中点，

由于AG〃AC,且AGU平面ACE,ACu平面ACE,所以AG〃平面4。£，

=

则VjAEF=VF-ACE=-ACEVE-AC%,取A片的中点J,连接EJ,

则E///AG,因为平面4cA，AGu平面ACA，所以E7〃平面ACA，

则%TCA=%r5=Z-…=；xJxlxGxG=J,故D正确.

故选：AD

AiJg.

11.ABD

答案第6页，共16页

【分析】根据分布列的性质及等差数列求和公式、等差数列卜标和性质求解,判断A：

利用裂项相消法求和及分布列的性质判断B；根据分布列的性质及等比数列求和公式、指数

运算性质求值判断C：令Sk=P(&Wk)=k%k，k=l,2,…，99,得"^二三，累乘法

〃人.K+2

年=7^^结合%=994=1求得4嘿判断D.

【详解】对A,若｛qj为等差数列，设公差为d,前”项和为S”,

因为离散型随机变量g的取值为1，2,3,…，99,且P(J=Q=/W=1,2,3，…,99),

所以%=---二——=99^=1»故〃50=1，故A正确.

299

对儿由4=可知，

可变形为“=9涓瑞画/历曲,

所以q+生+/+…+心=-x(\/2-\/r)+^x(x/3-V2)4---4-^x(x/i00-\/99)

=1x[(V2-VT)+(V3->/2)+...+(Vi00-^)]=l,故B正确.

对C,由题意得数列｛《｝的前98项是以g为首项，g为公比的等比数列，

21

所以4+。2+…+须----------=1—，

1-1298

2

1I1111

所以。=1一1-,故C错误.

方=尹吗./…。99=耍.尹…萍.齐二5I4-2-H..+98+9824<M9

时D,令Sk=P(4&k)=k%k，k=T,2,…，99,

则4+产&厂工=仅+炉--，整理得^=^2

2,…，98,

%纵%989796321

148阳498+297+296+23+22+21+2

a2x1.、°

化简可得w上=而丽，又％=P(J«99)=992%=1,

11100x9950“十用

即为9=赤，故u4=南.Wn_n而，故D正确•

故选：ABD

12.80

答案第7页，共16页

【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】因为q=C

所以第3项系数为C；23(T)2=80.

故答案为：80

13.3或不存在

【分析】设a+/=A,a一4=3,则2a=A+8,2/7=A-B,将已知条件sin2a=2sin2Q转化

为sin(A+B)=2sin(A-B),再利用两角和与差的正弦公式展开化简即可求解.

［详解］々A=a+B、B=a—B，于是有sin(A+8)=2sin(A_B),

所以sinAcoscosAsinB=2(sinAcos4-cosAsin13),

化，简上式得3cosAsinB=sinAcosB,

当cosAcos8Ho时，两边司除以cosAcosB可得3tan8=tanA，

所以篝部的值为3：

当cosAcos3=0时，则cosA=cos8=0,A=^+kln(kleZ),B=^+k27i(k2eZ),

/、/、lan(a+£)

此时tan(a+6),tan(a-⑶无意义，所以tangj不存在•

故答案为：3或不存在

14.(-e3-l,4)

【分析】由题意-(a+3)x+2a+3}e*>Y4恒成立,®/z(x)=［x2-(a+3)x+2<z+3}e\

根据极值的概念可得刈1)>-/且〃(a)>-e4,从而(一。+3>e“>-e"且aA-e'—l,设函数

«〃)=(-。+3)七"，八_?-1.利用导数研究函数单调性.结合函数图象解不等式即可求

解.

【详解】依题意/(x)>g(x)恒成立,即12-(4+3)工+24+3]@>七恒成立，

设〃(x)=[Y-(。+3)%+2^+3].6、，//(x)=(x-1)(x-«j-e',

(1)当a=l时，/f(A)=(x-l)2ex>0,力(")=(>-4x+5)e"在R上单调递增,

答案第8页，共16页

且当Xf+8时，//(x)>0,当X->-8时，网力>0且〃⑴无限趋向于0,

所以/?(x)>0>-e4,符合题意：

(2)当”>1时，令〃(x)>0得x<l或令〃(x)<0得

则在(e/)和(。,+8)上单调递增，在(La)上单调递减，

且当刀->+8时-，/?(x)>0,当XT-CO时，/心)>0且人(X)无限趋向于0,

当avl时，令得x<a或工>1,令”(x)<。得avxv1,

则〃(x)在(7?,。)和(1,也)上单调递增，在31)上单调递减，

且当xf+oo时，h[x)>0,当*->-8时，力(力>0且〃⑴无限趋向于0,

综上，当〃工1时，要使，・2—(a+3)x+2a+3}e、>—e4恒成立，

则只需力⑴,——且力(a)>-e4即可，由刈1)>一/得，(1+〃)又>七，即a>_e3—i,

由〃(a)>-e4得，(_a+3)d>-e,

设函数/(〃)=(—a+3>e",则«〃)=(—a+2)d,

令«〃)>()得—人一1<4<2,令「(〃)<()得a>2,

所以函数[〃)在(一不一1,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

又“一已3-1)=(/+4)«"7,，2)=e2,/(4)=-e",作出函数⑪)的图象：如图

结合图象得(―。+3)七">-?的解为〃v4,故

故答案为：(Y、1,4)

答案第9页，共16页

15.（l）A=m或A=」.

66

⑵山…（262+G］

【分析】（i）先利用三角恒等变换的有关公式结合三角形内角和定理，得到

2sinAsin8=sin8,再根据sinA=1求角A.

2

（2）确定角4的值，根据正弦定理表示出边〃,。，利用三角形的面积公式，结合三角函数

的性质，求VA8C的面积的取值范围.

（详解［（1）由2sinB-cosC=-------=---------------,

tanAsinA

得2sinAsinA-sinAcosC=cosAsinC,

即2sinAsin8=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,又sin3H0,

所以sinA=!，又Ae（0,冗），所以4二三或4二注.

266

（2）因为VABC为锐角三角形，所以4=2,由正弦定理得，—一二上二一一二人

6sinAsmBsinC

即。=4sinB,c=4sinC,

1f5、

则S,诋=—〃csinA=4sinBsinC=4sinBsin-n-B

2k6J

=4sinB-cos^+—sinB=2sin/?cosZ?+2>/3sin2B

22

=sin28-6cos28+6=2sin28-幻+右,

0<B<-

2

又解得恭5苫,

0<C=-n-B<-

62

<sin|2B--|<1,

则*8子％4I3

所以力时€（232+白］.

16.（1）|

7

（2）答案见解析，—

【分析】（1）利用全概率公式计算可得；

（2）妨设在一号盒子中放女个红球和〃?个白球，则在二号盒子中有3-％个红球，3-〃7个

答案第10页，共16页

白球，其中％=0,1,2,3且〃?=0,1,2,3,由对称性，再考虑"1=0和"?=1两种情况求

解即可.

【详解】(1)记事件A为•'乙摸到红球”，

若乙选择的是1号盒子，则乙摸到红球的概率四=；,

若乙选择的是2号盒子，则乙摸到红球的概率“2=；，

由全概率公式得，p(A)=lP1+1p2=p

(2)由(1)知，P(A)=-p]+—p2f

不妨设在一号盒子中放女个红球和6个白球1"+〃?工5,

则在二号盒子中有3-2个红球，3-6个白球，

其中左=0,1,2,3且〃2=0,1,2,3,由对称性，只需考虑〃2=0和〃?=1两种情况，

k3-k

当14攵+"?45时，Pi=;---,"2=7-7----7，

11]Tk3-k-

P(A)=-p1+-p2=-x^—+^—j,

当*。，1Q3时仅上"+1=3仁+忌卜;x(2-言；

2

左=1时取最大，即在一号盒子中只放一个红球，则P1=1，P2="|，

此时P(A)」Pi+-/A=-x-=—.

''21222510

，八，八111(k3-k\112A

当(〃2=1,04&<3时^(4)=—〃]+—〃，=—乂----+----=—x2----------,

u72〃'2%2{k+\5-k)2Ik+\5-k)

31137

列举可得,^(A)=-,/?I：A)=-^(A)=-,/>(A)=-,均小于正.

1UZZo1U

故甲应该在其中一个盒子中只放1个红球，在另一个盒子中放入剩余5个球，

7

此时乙最终摸到红球的概率最大为正.

17.(1)—=2

GC

⑵叵

17

【分析】(I)根据共面向量可设/=九丽+(1-4)正，结合空间向量线性运算和空间向量

基本定理可得关于参数的方程组，求出其解后可得P空G的值.

答案第11页，共16页

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设两=「前根据9_L平面AH/可求/

的值，再求出平面）H的法向量后利用向量法可求面面角的余弦值.

【详解】⑴因为GePC,故设五=4存，即XS-冠=%（而-AT）,

故/=4/+(1-4)A*+(T)而,

2

2

解得2=!，所以会=2.

由空间向量基本定理，得i=

3GC

1—A=x

（2）以A为原点，44为x轴，在平面人BC。中垂直于直线所在的直线为V轴,

AP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则人（0,0,0）.0（1,6,0"0,0,2）,。（3,60）,噌当0,唱当1

乙乙乙乙

因为〃在PC上，设由之前则所=/4=伊,61,-2。，

故而=衣+两=（31,©,2-21）,故〃（31,",2-21）,

又万户=（一1,一6,2）,因为户人=人。=2,尸为P。的中点，故。户_LA广，

而PDJL平面AHu平面AHE,则加_L而，

即研而二（一1,一百,2）（3,,岛2—2/）=0,故-3f-3f+4-4f=0,即1=|,

故H外，故丽=一条一，而石「二㈢。」），

X*z/J\1V/1V//

答案第12页，共16页

/、n-EH=O

设平面E切的法向量为“=(x,y,z),贝IJ_

n-EF=0

13.GJ_n

叫1010-5,取乃二16,-11,-2退),

—2x+z=0

平面八"/的法向量为。户=（-1，-6,2）,

设面AFH与面EFH夹角为。，

e八\DP-n\8行回

|网网2夜x2扃17

18.（1）单调递增区间为（1、y），单调递减区间为（0,1）

（2）证明见解析

（3）（0,e]

【分析】（1）求导，利用导数的正负求解函数的单调区间；

（2）当a=]时，设尸（可=/（3）_（；/_1+1）=1_111/_；./+1-2,利用导

数分析函数的单调性，进而求证即可；

（3）求导构建力（力=胧工-。，x>0,可知4（”在（0,+功上存在零点%,结合题意整理可

得"Zjn&yo,设0（x）=l-x-xlnx,x>0,根据函数值的正负，即可求解.

【详解】(1)当时，/(x)=e'-elnx-e,x>0,

则r(H=e—,

X

设g(x)=e'，,x>0,则/(x)=e，+与>0,

XX

所以g(x)在(0,y)上单调递增,又g(l)=0,

可知0<xvl时，/'(工)<0,x>I时，/'(x)>0,

所以/（"的单调递增区间为（1,+8）,/"）的单调递减区间为（0,1）.

(2)当〃=1时，/(x)=e'-lnx-1,

e'-lnx-1-f^-x2-x+\

设产（力=/（幻-L—+ie'-Inx-—x2+x-2,xe(l.-Ko),

122

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则尸'3=e'-1-x+l,

^m(x)=ex---x+1,,则加(x)=e=+4-1>0,

XX

所以〃Z(X)在(l,+8)上单调递增，

X/n(x)>/?:(1)=e-l>0,贝ijFz(x)>0,

所以尸(X)在(l,+8)上单调递增，则/(x)>/⑴=e-|>0,

即对于任意的Xt(I,+8),都有/(力>3/7+|

(3)由〃力=炉一。1111-。，x>0,则/，(力e，，=心〜,

XX

设人(力=疣*-〃，』>0,可知〃(X)