高中数学一轮复习：数列的概念与表示方法

专题6.1数列的概念与表示方法

1.数列的有关概念

⑴数列：按照一定顺序排列的一列数，一般记为数列｛。工，数列中的每一个数叫做这个数

列的项；

(2)数列的通项：数列中的每一个数；

⑶通项公式：如果数列｛斯｝的第n项即与序号九之间的关系能用一个式子与=/(n)(n6

N9表示，这个式子叫作数列的通项公式；

⑷递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么

这个式子叫做这个数列的递推公式.知道首项或前几项，以及递推公式，可以求出数列的每一

项.

⑸前〃项和：数列｛斯｝中，=%+。2+,••+的叫做数列的前几项和•

2.数列的表示方法

⑴列表法：列表格表示,与册的对应关系；

⑵图象法：把点在平面直角坐标系中，图象是一些孤立的点；

⑶公式法：通项公式，把数列的通项使用公式表示的方法；递推公式，使用初始值%和

an+1=/(册)或劭和Qn+二=等表示数列的方法•

3.数列的分类

⑴按项数分类：有穷数列，项数有限；无穷数列，项数无限；

+

⑵按项与项间的大小关系分类：递增数列，an+1>an(n6A/)；递减数列，an+1<

an(neN+)：

+

常数列，an+1=an(ne/V)；

⑶按其他标准分类：有界数列，存在正数M,使|即|WM；

摆动数列，an的符号正负相间，如I,-1,1,-I,....

4.数列的函数特性

⑴数列与函数的关系：数列是一种特殊的函数.

(2)数列的函数特性：

名称数列函数

解析

%=/(九)y=/(幻

式

表示列表法、图象法、解析式法

图象一些孤立的点连续的曲线

定义

N•或{1,2,…,九}使函数有意义的自变量的取值范围

域

值域数列中的项组成的集合{y\y=/«}

若巧,％2€H%2，

单调若斯+1>斯，则数列递增

（Xi-x2）（/（x1）-/（X2））>0,函数在区间。上递增；

性若*］<%,则数列递减

（%1一%2）（f（%1）—/（%2））<。，函数在区间。上递减

若On+k=ana为非零常

周期对于定义域内任一个X，存在非零实数7，/（x+T）=/（x）,则

数），则数列为周期数列，

性函数为周期函数，7为函数的一个周期

k为数列的一个周期

【重要结论】

1.在数列&｝中，若册最大，则吃或工，心2”AT；若斯最小，则微或工，心

2,nGN”.

5.a。与Sn的关系

若数列｛册｝的前％项和为%,通项公式为M，及二的十的十…十。八（九七N）,

则即=hu.*注意：根据Sn求每时，不要忽视对几=1的脸证•

n

（Sn-Sn_i,n>2,neN

喳教材变编

L【人教A版选择性必修二习题4.1第6题P9］某人从2015年起，每年1月1日到银

行新存入5万元（一年定期），若年利率为2.5%保持不变，旦每年到期存款均自动转为新的一年

定期，到2025年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（单位：万元

）（）

（参考数据：1.0259«1.25,1.O2510«1.28,1.02511«1.31）

A.51B.57C.6.4D.6.55

2.【人教A版选择性必修二习题4.1第7题P9］已知函数/（x）=/必工-康（0<

%<1),数列满足/(2%)=2n(nGN*).

(1)求数列｛%a的通项公式；

(2)试判断数列｛aj的单调性.

考点归

考点一归纳通项公式

【典例精讲】

例1.(2025•广东省•单元测试)在数列小4中，ax=pSn=n(2n-l)an,通过求22,23.4,

猜想an的表达式为().

A.——-——B.--—C.----------D.---------

(n-l)(n+l)n(2n+l)(2n-l)(2n+l)(2n+l)(27i+2)

例2.(2025•四川省成都市•月考试卷)

已知数列｛aj的前n项和为Sn，且Sn=3n2-4n+2.

(1)求数列｛aQ的通项公式；

(2)取出数列加0｝的偶数项，并按从小到大的顺序排列构成新数列｛、｝，写出［bj的通项

公式.

【方法储备】

1.给出数列的前几项求通项

根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”

的思想.常用方法：观察规律、比较已知数列、归纳、转化为特殊数列、联想常见数列等方

法；

具体策略：

①熟悉一些常见数列的通项公式，如｛n｝,｛2兀｝,｛(一1尸｝,｛彦｝,｛2几一1｝等；

②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；

③若第九项和第九+1项正负交错，那么用符号(-1尸或(―1严+1来适配；

④对于较夏杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成

若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；

⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1,0,1,0,…的通项公式可写成即=

上*或“二卜山甚至分段形式“=

221（0,九是偶数

2.利用数列的通项公式求某项

数列的通项公式给出了第n项而与它的位置序号71之间的关系，只要用序号代替公式中的

H,就可以求出数列的相应项.

3.判断某数值是否为该数列的项

设它是数列中的第n项，然后列出关于九的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项;

若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.

【拓展提升】

练1・1（2025•安徽省・期末考试）数列—1彳,后,专,一套,…的一个通项公式为（）

n+1

A.an=(-l)^B.20=(-1尸一】专C.an=(-1)^D.an=

练l・2（2025•安徽省宿州市•模拟题）（多选）在数列｛册｝中，Qi=l,an+i-斯=花品，

则（）

A7D5D“2-；

A.a3=-B.a3=-

练13（2025•广东省•单元测试）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶

数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈IT4T2一

1，这就是数学史上著名的“冰窗猜想'、（又称“角谷猜想”）.参照“冰窗猜想'提出了如下问题：

伊a为偶数

2n

设各项均为正整数的数列｛an｝满足ai=m,an+1=',若=4,则m的取值

（an-5,an为奇数

可以为（）

A.1B.3C.6D.7

考点二利用Qn与h的关系求通项小

【典例精讲】

例3.(2025•山东省泰安市•模拟题)已知数列｛an｝的前几项和为%,a1=1,Sn=2an+1,则

=()

A.—B.-C.—D.-

4400

例4.(2024•安徽省淮南市•月考试卷)(多选)设数列｛aQ的前n项和为Sn，已知a1=2,且

n+1

an+1-2an=2(nGN*),则下列结论正确的是()

A.｛啊｝是等比数列B.件｝是等比数列

nn

C.an=n-2D.Sn=(n-1)-2+2

【方法储备】

1.已知二求斯的一般步骤

(1)当九=1时，求Qi=Si；

(2)当n>2时,求册=Sn-Sn_i；

⑶对于步骤⑵中求出的通项公式，要检验％是否满足，若满足则用一个式子表示，如不

满足，则用分段的形式表示.

2.由f(Sn,Qn)=0求Qn的一般步骤

⑴利用an=Sn—Sn_i(nN2),将/XS7V0n)=0中的0n替换,转化为S.S吁1的关系式，求

出土，在利用又与册的关系求即，并且要注意"的范围限制；

⑵利用%-S“_1=an(n>2),消去/《.M)=0中的Sn,转化为即，即一】的关系式，再求

解，也要注意九的范围限制.

【拓展提升】

练2・1(2025•吉林省长春市•模拟题)设为为数列&｝的前几项和，且％=|a-1)(几6

N，),数列｛%｝的通项公式为匕=4〃+3S€N*),将数列｛即｝与｛%｝的公共项按它们在原来

数列中的先后顺序排成一个新数列｛dj数列｛d7J的通项公式为.

练2・2(2025•广东省广州市•月考试卷)(多选)已知数列｛即｝的前几项和为Sn，二l,Sn+1

Sn+2an+l,数歹汁七七｝的前n项和为％neN\则下列选项正确的为（）

A.数列+1｝是等差数列B.数列｛an+1｝是等比数列

n

B.数列｛an｝的通项公式为an=2-lD.Tn<1

考点三数列的函数特性

【典例精讲】

例5.（2025•湖南省长沙市・模拟题）已知数列｛册｝满足%=10,&异=2,则蕖的最小值

为（）

A*B*C,7D.4C+1

例6.（2025•浙江省•单元测试）数列凡｝满足an+an+2>2an+1（n6N）则下列判断一定正

确的是（）

A.数列｛aQ是递增数列

B.数列包工是递减数列

C.若数列an满足a?>aP则>an_x（n>l,neN*）成立

D,存在常数c,使得an>c（nGN*）恒成立

例7.（2025•安徽省黄山市♦月考试卷）已知首项为1的正项数列｛aj满足4a"i-l=

4an+〔an，则下列说法正确的是（）

A.白门｝为递增数列B.4>4

a8a7

c.a^025-^2024<7D.数列｛an+1-an｝为递减数列

【方法储备】

1.数列周期性的应用

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值；还可以依据

函数的周期性得出数列的周期性.

2.解决数列单调性问题的三种方法

⑴作差比较法：Q九+1一册＞0―数列｛册｝为递增数列；Q九+i一册V0一数列｛Q"为递减

数列；

⑵作商比较法：根据皿(斯＞0或许＜0)与1的大小关系进行判断：

an

⑶数形结合法：结合相应函数的图象直观判断，注意数列中九的取值为正整数

3.求数列最大项或最小项的方法

⑴利用不等式组修T!1n5＞2)找到数列的最大项；利用不等式伊T；?(几＞2)找

lan+l—ankan+l—an

到数列的最小项.

⑵若数列｛an｝是递增数到，则最小项为由；若数列｛Qn｝是递减数列，则最大项为的；

⑶将数列看作函数"X),利用函数求最值，注意数列中几的取值为正整数.

【拓展提升】

练3・1(2025•浙江省宁波市♦期末考试)已知数列｛即｝满足册•Qn+1•即+2=-j若Q1=一1，

a2=i,则｛an｝的前ri项积的最大值为.

练3-2(2025•安徽省安庆市•联考题诺数列｛a｝的通项公式为即则该数列中的

n71—V2026

最大项是()

A.%B.Q44C・。45D.。46

练3-3(2025,浙江省•月考试卷)设数列｛an｝满足a1+a?+a?+…+an=n—an(nEN').

(1)求a1,83；

(2)若bn=n(2-n)(an-1),求｛b〈的最大项,并写出取最大项的项数.

新题放送

1.（2025•江苏省•同步练习）已知数列：i,3kEN・），按照k从小到大的顺序排列

在一起,构成一个新的数列｛QJ1,；,jI，...»则［首次出现时为数列｛的｝的（）

4JLJ4JLx

A.第44项B.第76项C.第128项D.第144项

2.（2025•四川省成都市•期末考试）历史上有一个著名的、、伯努利装错信笺问题”，它讲的是

某人想邀请朋友来家中聚会，写好了几封请柬，需要装入71个写好友人名字的信封，结果因为

粗心把请柬全部装错了信封，求装错的可能会有多少种的问题.瑞士著名数学家欧拉

（Leo皿ardE山”,1707〜1783）按一般情况给出解答：用4B,C,……表示写着n位友人名字

的信封，a,b,c，……表示九份对应的写好的请柬，把装错的情况总数记作即，假设把a错装

进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：第一类：b装入A里，这时每种错装的其余部

分都与力，B,a,b无关,应有“_2种错装法；第二类：b装入4B之外的一个信封，这时的

装信工作实际是把（除Q之外的加-1份请柬b,c,......装入（除B以外的）n-1个信封4,C,……,

显然这时装错的情况有即一1种，总之在a装入B的错误之下，共有错装法即-2+与-1种.a装

入C,装入。……的几-2种错误之下，同样都有即_2+册.1种错装法，因此可得到即_2,册一1，斯

的关系式为；通过枚举法，容易求出名=0,a2=l,a3=2,于是可以迅速用多种方法求

出=•

3.（2025•安徽省马鞍山市•月考试卷）已知每项均不为0的数列同｝满足：

31=1，（寸扫+DSn+l一Hn—2）=0.

an

（1）若a4=-5,求a2的值;

11

（2）若an>0（n6N*）,bn=舄）,3n,求数列｛bj的最大项；

（3）记Sn为数列｛aQ的前n项和，是否存在满足条件的数列｛aQ,使得S2025=2025?如存

在，求出这样的数列的一个通项公式;若不存在，请说明理由.

【答案解析】

教材改编1【人教A版选择性必修二习题4.1第6题P9]

解:2015年1月1日有5元,

2016年1月1日本息和为5+5(1+2.5%)元；

2017年1月1日本息和为5+[5+5(1+2.5%)](1+2.5%)

=5(1+2.5%)2+5(1+2.5%)+5元；

2018年1月1日本息和为[5(1+2.5%)2+5(1+2.5%)+5](1+2.5%)+5

=5(1+2.5%>+5(1+2.5%)2+5(1+2.5%)+5元；

得到2025年1月1日本息和为

4.(1+2.5%)10+5(1+2.5%>+5(1+2.5%)8+…...+5(1+2.5%)2+5(1+2.5%)

=5(1+2.5%)[1-(1+25匕)]。]=工[+25%)n—(1+2.5%)]=57.

1-(1+2.5%)2.5%LV/'7J

教材改编21人教A版选择性必修二习题4.1第7题P9]

解：(1)由f(x)=log2X-^^耳(0VxV1),可得fQan)=an-：=2n,

2

所以a不-2nan-1=0,解得an=n±Vn4-1.

因为0VxV1,

所以0<2an<1,所以an<0，

故an=n—Vn2+1.

22

(3)因为即+i-an=n-r1-7(n+l)+1-n4-Vn+1

=yjn2+14-1—yj(n+l)2+1=J彦+i+1—1几2+2几+2

_(Vn2+14-1-Vn24-2n+2)(Vn2+1+1+Vn24-2n+2)

Vn2+1+1+Vn2+2n+2

_(V*+1+1)2一(J九2+2九+2)2

Vn2+1+1+Vn24-2n+2

27n2+l-2n、八

=-----，一—>U,

1T4^+]+xHP+2n+2

所以数列｛a"是递增数列.

例1

解：Vat=I，Sn=n(2n-l)an,

：•畋=S?—Si=2x3xa，2—1x1x—=6a2—，解得g=—=—，

33153x5

-=

a3=S3-52=3x5xa32x3xa215a3-解得的=—=^―»

5355x7

以=S4-S3=4x7x。4-3x5x。3=28a4—解得。4=~=太,

二猜想表达式为册=]

(2n-l)(2n+l)

故选：C.

例2

n

解：⑴van=p+q,

pi3

乂a[二一；，a2=一1,

m解吸

因此｛a"的通项公式是an=G)n-1.

⑷令孤二一m，

，钞=总n=8.

故—爰是｛an｝中的第8项.

Z56

(5)由于an=(|)n-1，且G)n随n的增大而减小，

因此an的值随n的增大而减小，故｛an｝是递减数列.

练1”

解:由题意分母1,3,7,15,31....的规律是2力-1,

而符号规律是(-1尸，所以通项公式为即=(-1严土.

练L2

解：由册+1一册=康得,m一。吁】=而呆=三一〜

aa

n-l—n-2n-2n-1

11

an-2味3二而一力'

-1

a2~al=~21

将各式相加，得斯—=

所以册=2—且当日=3时，a3=2—1=|,故选项8,。正确.

练1・3

解：对于A,Qi=m=l,。2=。1+5=1+5=6,。3=?=-=3,

22

«4=。3+5=3+5=8,的=詈=?=4,故A符合题意；

对于8,%=6=3,。2=。1+5=3+5=8,。3=半=：=4,

21

a4=y=|=»«s=y=|=»故B不符合题意；

对于C,a1=m=6,a=—=-=Q3=。2+5=3+5=8,

222

%=?=?=4,与=?=：=2,故C不符合题意；

对于0,=m=7,。2=。1+5=7+5=12,。3=母=£=6，

a4=y=1=3»a5=a4+5=34-5=8,故。不符合题意.

故选A.

例3

解：,:Sn=2an+^，*,*Sn.i=2an(nN2),

两式相减得an=2an+i-2an，即皿="nN2),

an2

a=

,:iSn=2an+1,

：•S1-2a2=1,a2=-2,

fln=1

x

a21.3**1,3、？9

=••-an=[lx(|)n-2>n>2^-*.a4=-x(-)=-,

故选D.

例4

解：a-2a=2n+1=磊一黑=1,则｛皆是公差为1,首项为1的等差数列，^=1+

n+1n22n12)2

2n

(n-1)=n,则an=n・2n.故B,C正确，nan=n-2,A错误；

n23n+1

Sn=21+2♦22+…+n•2,2Sn=24-2-24--4-n-2,

两式相减得Sn=n•2皿1一(2+22+…+2n)=(n-1)♦2n+1+2,故D错误.

故选：BC.

练2・1

解：由Sn=：(an-l)(nEN“)，可得a1=Si=|(ai-1),解得a1=3,

=-—=

当nN2时,anSnSn_i=1(an—1)—(an-i1)>3an_i，

可得数列｛aj是首项和公比均为3的等比数列，所以an=3n,

设ak=3k是｛bn｝的第m项,则4m十3=3k(k,meN”)，

因为ak+i=3k+1=3・3卜=3•(4m+3)=4(3m+2)+1,所以ak+1不是｛、｝中的项,

因为ak+2=3k+2=9•3卜=9•(4m+3)=4(9m+6)+3,所以ak+2是｛、｝中的项,

2n+1

所以由=a3,d2=a5,d3=a7/-,dn=a2n+i，所以｛=3(n6N*).

2n+1

故答案为：dn=3(n6N*).

练2-2

解：由ai=l,Sn+1=Sn+2an+1,得an+i=Sn+1-Sn=2an+l,an+1+1=2(an+1),

且ai+l=2,所以数列｛an+1｝是首项和公比都为2的等比数列，A错误，B正确；

nn

an+1=(ai+1)-2-1=2,an=2-l,C正确；

2n_2n__J._________]

nn+1nn+1，

anan+1-(2-l)(2-l)-2-l-2-l

所以~~T正确，

Tn=2l---l-----22----1--1~-227--1-----2r3-11-…d—2n---l------2n-+1—-l—-2T1---1------2n—+1-<l1»D

故选BCD.

例5

解：由^^=2,得%+1-册=2（几+1），

所以当九＞2时,

aaaa

n=(an一an-l)+(n-l一an-2)--------(a2-l)+l

=2九+2(九-1)+…+4+10

=(吁】)(4+2闭+10=。+n+8,

2

显然=10满足上式，则即=九2+/+8,

所以生=几+色+1,

nn

因为函数/Q)=八+2+1在(0,2口)上单调递减，在(2/2十8)上单调递增，

又"2)=2+?+1=7,/⑶=3+,+1=等当<7,

所以当n=3时，生取最小值故选：B.

n3

例6

解：令.=log05n(n6N*),数列｛an｝是递减数列,

22

满足a九+an+2=log0,5n+log05(n+2)=log0,5(n+2n)>log0,5(n+l)=2an+1,

当几无穷大时，an=logosn-oo,所以4项错误，。项错误；

令册=n2(nGN"),数列｛册｝是递增数列，

222

满足册+an+2=M+(几+2)=2n+4九+4>2(n+I)=2an+1,所以B项错误；

对于。项，因为所以

由册+每+2>2an+i(nGN*)可得a九+2-an+1>an+1-an,

a_an

所以a??-an-i>an_i-an_2>an-2-n-3>,,,>«2i>°»所以>an-i(>l,n

N，)成立，

C项正确，

答案：C.

例7

解：由题意可得4嫌+i-4。八册+1+=a：+1,

即(2M十1一any=(J码+1)2,

若2即+i-=-J嫌+1,则2册+i=an-JQ1+1V0,不合题意，舍去；

2

a+Ia+l

可得2an+i-an=J的+1，故册+1=n2-，

a+1a«+la«+l-a

所以即+1—"Tn——。八=J—n>。，

即％i+i＞即，所以数列｛Q，J为递增数列，故A正确；

因为数列｛册｝为递增数列且0n之1＞0,则｛1｝为递减数列，故裔〈裔,故8错误;

因为4a"i-1=4Q”+I即，

整理得斯=即+i-、一,两边平方得若=a"1+W---1＞W+i-p

4an+llbanfi//

1

晦

-<-可

+12Q孑024V王故。正确;

因为即+i-a=

n2

令f(£)=J"+1一£«之1),

则f'(t)=V°，故/(£)单调递减，故。选项正确.

练3・1

解：由叫「即+1•即+z=一鼻，得：an+i*^n+z,an+3=-

o

两式相除得：皿=1,即即+3=即，

an

・•.数列｛时｝是以3为周期的周期数列，

1

,1——

由Qi=-1,a2=得。3=^-^-=3.

则％=—1,a2=a?=3，a4=—1＞的=［，。6=3,…,

记数列｛斯｝的前九项积为七，

J(Tn)max=74=1•

故答案为：3

练3・2

n-V

解：因为斯=2025_n-V2026+V2026-V2025]V2026-V2025

n-V2026n-V2026n-V2026

所以当几即"工45时,覆律所以册＜L

当空中友即心46时，爷翁＞。，所以册＞1，

且几346时，易知数列｛1+个^为递减数列,

所以该数列的最大项是。46・

故选：D.

练3・3

解：(1)v+a2+a34-­••4-an=n—an(n6N'),

9加翠—二，=一.

a]—1—=2—Ho24

(3)vaT4-a24-a34----Fan=n—an(nGN*),

•••a14-a2+a34-…+an_j=n-1-an-i(n>2).

两式相减得Hn—1=(^n-l—l)(n》2).

又•••ax-1=一；,

•••an-1=1