天津市武清区某中学2025-2026学年高二年级上册第二次练习数学试题（解析版）

天津市武清区杨村第四中学2025-2026学年高二上学期第二次练习数

学试题

（知识范围：选择性必修第一章到第四章第三节总分：150时长：120分钟）

一、选择题，共9小题，每小题5分，共45分

1.若直线/的方向向量为”=（L°'2）,平面。的法向量为”=（-2，°T）,则（）

X.l//aB./±«

C.iaaD./与Q斜交

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知可推得"/不，即可得出答案.

【洋解】由已知可得，［=-23，

所以，〃//〃，所以/_La.

故选：B

2.抛物线），=4f的焦点坐标是：）

A.（1,0）B.（0,1）（七，。D，七）

【答案】D

【解析】

【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标.

【详解】抛物线的标准方程为：x2=-y,故其焦点坐标为I。,」］,

故选:D.

3.已知直线％x+ay-l=0与!2：2x—），+1=0平行，则人与八的距离为（）

A1B石c3D375

5555

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得〃：2x-y+l=0=x-3丫+；=0,结合两平行线之间的距离公式计算即可求解.

【详解】由题意知，/2:2.r-j+I=0=>x-iy+-j=0,

又“〃2,所以。二-；，且两直线之间的距离为

4.已知数列｛〃”｝的前〃项和S”-2〃，贝1J%十%十%等于（）

A.12B.15C.18D.21

【答案】B

【解析】

【分析】根据前〃项和的性质即可求解.

【详解】因为S“=/-2〃，

则%+%+%=S5—S?=25—2x5-（4—2x2）=15.

故选:B.

22

直线与椭圆［+（〃>〃>（））的位置关系为（

5.2+==14=1）

22

abab

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【答案】C

【解析】

【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可.

【详解】因为直线2过点（。,0）,（0力），

22

而（。,0）,（0,与为椭圆£+£=1（〃>〃〉0）右端点和上端点，

22

故直线±+==1与椭圆［+==1（。>/?>（））相交.

aba2b2

故选:C.

6.等差数列｛q｝的首项为1,公差不为o.若。2，%，a成等比数列，则｛为｝的前6项和为1）

A.-24B.-3C.3D.8

【答案】A

【解析】

【分析】根据。2，。3，4成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求

出结果.

【详解】设等差数列的公差为"(dH。)，

因为%，4，4成等比数列，所以姆二4/6，

所以(4+2d>=(q+d)(4+5d),

又9=1，所以(l+2d)2=(l+d)(l+5d),整理得/+2d=0，

因4工0,所以d=—2,

所以数列｛4｝前6项的和为56=64+"与二"4=6+15x(-2)=-24.

故选：A

7.已知等比数列｛q｝的公比不为1,且4,4，%成等差数列，则数列｛4｝的公比为()

A.-2B.-1C.D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差中项可得2%=%+4,再结合等比数列通项公式运算求解.

【详解】设等比数列｛q｝的公比为4,q*O,q于1,

因为4，4,4成等差数列,则244=%+%，

即2〃闻'=。闯4+白闻’，且夕w。，qwO,

可得2=q+q2,即42一2=0,解得4=1或q=-2

又因为所以4=一2.

故选：A.

22

8.双曲线:■一/=](〃>O,b>0)的左、右焦点分别为.点尸在双曲线右支上，直线户鸟的斜率为

2.若是直角三角形，且面积为8,则双曲线的方程为()

【答案】A

【解析】

【分析】可利用△P-6三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设|Pg|=机，由面积公式求出机，

由勾股定理得出c,结合第一定义再求出

【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，/耳”=90。，设|P段二加，

2

2PF、F\=6\,4PF\F)=a,由&"2=tanq=2,求得sinq=—,

因为N6尸鸟=90。，所以心6.即尸2=T，求得上町=一；，即lan2=；,

sinft=-y=,由正弦定理可得：归用：|?身：|耳周二sina：sin2：sin900=2:l:JL

则由|尸闾="得|尸£|=2叫耳闾=2r=45m,

由=：|P耳卜归周二；力2m=8得机=2夜，

则归闾=2近,|尸盟=4板,内闾=2c=2ji5,c=JI3,

由双曲线第一定义可得：|尸国一/闾=为=2夜，。=血力="?二7=血，

r2v2

所以双曲线的方程为L-L=l.

28

故选：A

22

9.已知双曲线■一与二1(。>0/>0)的左、右焦点分别为"、匿，过点居的直线/与。的右支相交

a-b-

于P、。两点,若IPQI：户用：|。用=3:4:5,点尸位于第一象限，则双曲线。的离心率为()

折c

A・)L1R5・-----L・亚JnL/«E

323

【答案】B

【解析】

【分析】设|尸。|=3%|P6|=4z,|Q闾=53易得PQJ_"，令|尸图="，则|。闾=3"凡利用

双曲线的性质可得〃?=?,可求出归用、归玛结合勾股定理可求得结果.

【详解】如下图所示：

由|八2|:|咫|：|。娟=3:4:5,不妨设|PQ|=3K则|P£|=43|26|=5f,

于是|PQ『十|P用'IQ用=〃尸g=90,设|P8|=m，则|QR|=3f-w,

由双曲线的定义得加=|班|一忙段=|Q娟一|。周，

即41-"2=5/-（3/-〃7）,解得〃?=/,因此2a=4,一〃z=3〃?，解得"?=年，

间=4/号，|P用哼，由勾股定理得附『+|嗝平用2,

即竺且+尤=4/,解得。=晅0，所以该双曲线的高心率为0=£=史.

993a3

故选:B

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分（说明：15题第一空2分第二空3分）

10.4和10的等比中项是.

【答案】±2如

【解析】

【分析】利用等比中项的意义直接求解.

【详解】4和10的等比中项是±C4x10=±2Jid.

故答案为：±2jid

11.与椭圆9犬+4）尸=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程.

2

【答案】，+上一1

6

【解析】

【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，进而求出长半轴长，写出标准方程.

22

【详解】椭圆9f+4y2=36,即三十二=1的焦点坐标为（0,士逐），

49

则所求标准方程的椭圆焦点为（0,±逐），而短半轴长为1,则长半轴长为J＞+（石）2=底,

2

所以所求椭圆的标准方程为-+2L=1.

6

2

故答案为：/+匕=].

6

12.已知空间中的三个点A（1,1,1）,5（2.I.-1）,C（3,O,O）,则点。到直线AB的距离为

x/70

【答案】

5

【解析】

【分析】由点到直线距离的空间向量法计算即可

【详解】A*=(l,0,—2),AC=(2,-1,-1),

ABAC2+24

同困一技＜后一同，

V14

所以sin而，衣=11一

x/30

所以点。到直线AB的距离为d

故答案为：叵

5

13.若直线工一），+机=0（相＞0）被圆（工一1）2+（＞一1『二3截得的弦长为“，则加的值为

【答案】2

【解析】

【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于〃;的等式，即可解得加的值.

【详解】圆（x—iy+（y—l）2=3的圆心坐标为（1,1）,半径为、行,

/、-1+fn\"I

圆心到直线X—y+fn=0（〃z>0）的距离为-—=,

2

由勾股定理可得」1+JmI=3,因为机>0,解得m=2.

故答案为：2.

14.圆（工一1）2+），2=25的圆心与抛物线），2=2庶（〃>0）的焦点尸重合，A为两曲线的交点，则原点到

直线AF的距离为.

4

【答案】1##0.8

【解析】

【分析】根据圆的标准方程求出圆心尸的坐标，即可得到抛物线方程，联立圆和抛物线方程，求点A坐标

及直线AF的方程，利用点到直线的距离公式可得结果.

【详解】

•・•圆（X—1尸+），2=25的圆心为尸0,0）,•••5=1,即〃=2,

，抛物线方程为），2=4x.

由!（：-1）+"=25得/+21_24=0,解得x=4或x=-6（舍）,

[/=4x

4

・・・A（4,±4）,•••直线A尸的斜率为士记

4

/.AF:y=±-（x-l）,即4工±3〉一4=0,

:.原点到直线AF的距离为d=巴=±

55

4

故答案为：—.

22

15.已知双曲线。：0-3=1(〃〉()力>())的右焦点为尸，两条渐近线分别为4，/2,直线/过抛物线

尸=一8工的焦点和双曲线。的虚轴端点，且直线/与。的一条渐近线平行.(i)a=：(ii)若

以。产为宜径的圆/交4于。,A两点(。为坐标原点)，点3在4上，且丽=2/，则双曲线的方程为

【答案】①.2(2).--^-=\

48

【解析】

+bb

【分析】根据两点斜率公式以及渐近线斜率可得二=±-，即可求解。=2,写出圆的方程以及渐近线方

2a

’21、(Qf2Q।>2Q卜、

程，联立可得A—,—,根据向量共线可得8-----be,,将3-----FC,代入渐近线方程

{CC)\cC)CJ

中即可求解.

22r

【详解】C:三一*■二1(。〉0)>0)的渐近线方程为)，=±5刀，

双曲线的虚轴端点为(0,±〃)，y2=-8工的焦点为(-2,0)

+/?+bh

因此,的斜率为*故丁土1故"2,

设产(。,0),则圆M：

不妨设直线4:y=-xM：y=--x,

aa

联立4：y=2x与x--1+9=「可得工=幺，故A—

aI2-4c(c

f2.ab\

因此/二C--

c)Ic?c,

卜工一——mW(3尸5-3必3^)

由于84=24/，故B/nBA/n---，-----，故B--------+c,-----

kcc)Icct

十二一382,b,,3abb(-3b

由于B----+c,—在，2：y=—-x,故——=一一x——

ccacac

结合〃=2,储+6=/,解得/=8,/=12,

故双曲线方程为工-工二1,

48

故答案为：2,—-^-=1

48

三、解答题：共5道小题，共75分

16.已知圆C过点A(2,6),且与直线/：工+〉+1。=。相切于点仅6,4).

(1)求圆C的方程；

(2)过点2(6,24)的宜线4与圆。交于M,N两点，若△CMN为宜角三角形，求直线的方程.

【答案】(1)(1-1『+()，+1)2=50

(2)x=6或12x-5y+48=0

【解析】

【分析】⑴由题意设圆心。为(a㈤，由题意直线C8J_/,结合|C4|=|C8|即可求解；

(2)由题意aCMN为直角三隹形且注意至ij|CM|=|CN|,「.WCN,即圆心C到直线的距离

a=---r=5，

2

(3)设出直线方程并利用圆心到直线之间的距离即可求解.

【小问I详解】

设圆心坐标为。(。/)，又直线/与圆C相切，所以C8_L/,

设七8、勺分别代表直线C5、/的斜率，所以有心十勺二一1，由题意勺=T，

Z?-4]

所以有*=3=]结合|C4|二|CB|并联立得\a-6~

〃一6|（Q-2）2+S-6）2=（Q-6）2+S-4）2

a=1

解得匕「

b=-i

圆的半径r=J（a+（\-4）2=5夜，

・•・圆。的方程为：（工一1）2+（＞+1）2=50.

【小问2详解】

因为△CMN为直角三角形且|CM=|CN|,所以CM_LCN,圆心C到直线4的距离d=等，”5，

又直线，2过点夕（6,24）,所以设直线方程的方程为：A（x—6）+3（y—24）=0（其中4、B不同时为

零），

因为圆心C。,一1）到直线1的距离为d=I）：—2,1:5,即（4+58）2=4+82,化简得

12B2+5/W=0，

A12

所以8=0（但A00）或者一二—二•;所以直线方程4的方程为：A（x—6）=0或者

B5

12（x-6）-5（y-2d）=0,

即直线4的方程为：x=6或12戈一5），+48=（）.

17.设S〃为等差数列｛q｝的前〃项和，$3=9,a2+a3=S.

（1）求数列｛%｝的通项公式/和前〃项和S”；

（2）若其，如，S,”成等比数列，求〃?的值.

【答案】（1）a,,=2n-\tS“=〃2

（2）9

【解析】

【分析】（1）将条件关系利用等差数列的通项公式和前〃项和公式转化为q,d的方程，解方程求力,",

再结合公式求出答案;

（2）根据等比中项的性质，结合（1）的结论列方程求〃，即可.

【小问1详解】

设等差数列｛q｝的公差为4,

因S3=9,%%=8,

=3a.+3d=94=1

所以《1生+—33,叫

d=2

所以数列｛可｝的通项公式为q=1+（八-1）X2=2/1-1,数列｛%｝的前〃项和为

〃(q+4〃)z?(l+2/Z-1)2

S”=——H•

22

【小问2详解】

因为S3,即2“成等比数列，所以邑。广嫉,

即9机2=(2X14—1『，解得〃?=±9,

又〃ZEN*，所以机=9.

18.如图，平面A8C£)_Z平面相E，AD±AB^AB//CD,AE=AD=CD=-AB=\,ZE4B=90°.

（1）求直线3c与平面所成角的大小；

（2）求平面BCE与平面ADE所成夹角的正弦值;

（3）求点。到平面BCE的距离.

【答案】（1）

4

⑵叵

6

⑶亚

6

【解析】

【分析】（1）由面面垂直的性质得到AD_L平面A/?E,建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得;

（2）求出平面3CE的法向量，利用空间向量法求出平面夹角的余弦值，即可求出正弦值；

DC'小

（3）由点。到平面8CE的距离为一计算可得.

n2

【小问1详解】

因为平面ABC。1平面平面A8C£）n平面A皮:二AB，AD±ABt

ADu平面ABC。，所以4。J_平面A应:，

又因为/£48=90。，则以点4为坐标原点，AE，AB，而的方向分别为1轴，）'轴，z轴的正方向,

建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知AE=AO=CO=,A8=1,

2

所以A（0,0,0）,5（0,2,0）,C（0,l,l）,0（0,0,1）,£（1,0,0）.

因为配=（0,—1,1）,平面AOE的法向量为1=（O』,O）,

_____IBC%1_V2

设直线8C与平面At）七所成角为仇，则sin。1—COS^C,=7==q-r=q

BC-4

又心［。,卦所以直线8与平面ADE所成角吗.

【小问2详解】

设平面BCE的法向量为石=(x,y,z),W=(O,-l,l),M=(l,-2,0)

n-BC=-y+z=0,

则二y_，令x=2,则区=（2,1,1）,又因为，=（0,1,0）

n2BE=x-2y=0.

设平面BCE与平面ADE所成夹角为%，

--1,%1瓜,又ae[o目

则cos。?=|

所以sin=Jl—cos?夕=，

所以平面BCE与平面AOE所成夹角的正弦值为画.

6

【小问3详解】

因为反=（0,1,0）,平面BCE的法向量为%=（2,1,1）,

灰兀娓

所以点。到平面BCE的距离为一=-V.

19.顺次连接椭圆C:二十二=1（。>/?>0）的四个顶点恰好构成了一个边长为J7且面积为46的菱形.

cTb~

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）倾斜角为45°的直线/过椭圆。的右焦点，与椭圆交于点A,B,求VAO8的面枳;

（3）过点。。,1）的直线机与椭恻C交于M、N两点，若Q恰好是线段MN的中点，求直线”的方程.

【答案】(1)—+^-=1

43

⑵述

7

(3)3x+4y-7-0

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的几何性质和菱形的面积公式可得S=2"〃=4百且〃2+/=7,解之即可求解;

（2）由题意，根据点到直线的距离公式和弦长公式计算即可求解；

（3）利用点差法求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解.

【小问1详解】

如图,

由椭圆的四个顶点构成了一个边长为近日面积为的菱形,

知菱形的面积为S=2ab=4j5,且/+从=7,

a=2

解得所以椭圆C的标准方程为—+^-=1.

b=643

【小问2详解】

如图，

由（1）知，c=>Ja2-b2=1»则椭圆的右焦点为b（L。），

则直线/的方程为y-O=x—l,即x—y—l=O,

所以点0（0,0）到直线I的距离为=H=—；

V22

\x-y-\=0

由_，得7/—8.丫-8=0，

设,4（%,%）,3（9,%），则玉+工2=于8%工2=一亍8，

所以IAB|=Jl+公小（菁+4）2_4中2=垃-J（1）2+y=y，

得5W二，44用二\立二还

22277

【小问3详解】

如图,

x,+x,=2.y,-y.

设必出,外）”（匕,必），则<力直线加的斜率为攵=^^

%+）“=2占一匕

2222

两式相减得工一旦+五一耳=0,

4433

y,-y3x3+x4323

整理得4即％=

七一%4%+M424

所以直线〃？方程为），-1二一2（汇一1）,即3x+4），-7=0.

4

20.已知椭圆。：.+卓=1（。〉人＞0）的右焦点为厂（1,0）,短轴长为2.过点尸且不平行于坐标轴的直线

/与椭圆C交于A3两点，线段A3的中点为例.

（1）求椭圆。的方程；

（2）证明：直线QM的斜率与直线/的斜率的乘积为定值：

（3）延长