二次函数综合-线段周长问题 必考考点压轴练-2026年中考数学三轮复习

二次函数综合一线段周长问题必考考点压轴练-2026年中考数学

三轮复习备考

1.如图，已知抛物线），=-/+法+。经过8（-3,0）,C（0,3）两点，与x轴的另一个交点为4.

⑴求抛物线的解析式：

（2）在抛物线对称轴上找一点E,使得A&+C七的值最小，求点£的坐标；

（3）设点尸为x轴上的一个动点，写出所有使AAPC为等腰三角形的点P的坐标，并把求其中

一个点P的坐标的过程写出来.

2.已知抛物线），=。（1-11-44（4>0）与工轴交于48（点A在点B的左边），与y轴交于

点C，顶点为。的横坐标是

（1）（备用图）

⑴直接写出力的值;

⑵如图（1）,当。=1时，点£是第一象限抛物线对称轴上的一点，连接AE,过E作

交抛物线于F,若AE=2EF,求点尸坐标；

（3）抛物线上有不同的两点P,Q,其横坐标分别为〃?，用+4,抛物线上点P与。之间的部

分记为W区域,当，〃<xV〃?+4时，W区域的二次函数的最大值片与最小值），2的差是2,求

a的范围.

1Q

3.对于二次函数，=<1+灰+2,当自变量时，函数），的最大值为:.

（I）求二次函数的解析式.

（2）如图，二次函数），=江+/>+2的图象与工轴相交于A,R两点,与y轴相交于点C,P,Q

是人与C之间的二次函数图象上的两个动点，PMlx轴交直线AC于点M,QNJLx轴交直

线4c于点N,轴于点E,%。_1），轴于点。，PM=QN，求当尸，。两点不重合时，

线段ME+ND的长.

⑶在⑵的条件下，连接他，求ACN£的面积的最人•俏.

4.在平面直角坐标系中，抛物线），=-/+法+。与x轴交于点A、B（点A在点3的左侧）,

与丁轴交于点C,且点A的坐标为（-5,0）,点C的坐标为（0,5）.

⑵①如图I,若点尸是第二象限内抛物线上一动点，求点〜到直线AC距离的最大值；

②如图2,若点。为抛物线对称轴上一个动点，当Q8=。。时，求点。的坐标：

⑶如图2,若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴.上一点，是否存在点M,使得以

A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

5.如图，抛物线），=-/+法+。与工轴交于4,8两点，点4的坐标为,与），轴交于

试卷第2页，共6页

渥+…的对称轴是一£顶点坐标是吟b4ac-b,2\

点C(O,4).注：抛物线)，=

4a

(I)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

⑵点”(〃?,())是工轴上的一个动点，当MC+M。的值是最小时，请计算此时机的值.

6.综合与探究

如图，二次函数、=加+瓜+2的图象与x轴交于A(-1,0),8(4,0)两点，与)，轴交于点C,

连接ACBC.P是抛物线上笫一象限内的一个动点，过点P作叨■!_“轴于点。，交BC于

点E,过点P作直线/步〃AC,交)，轴于点F,交8c于点G,连接。尸，过点C作CH_PD

于点H.

(1)求二次函数的表达式，并直接写出直线BC的函数表达式.

(2)求线段G七的最大值.

(3)在点尸运动的过程中，是否存在点片使“OFMZSCT/E?若存在，请直接写出点尸的

坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图I,抛物线CQ=-F+云+c与x轴交于A(—3,0),4(1,0)两点，交)，轴于点C,连接

AC,点。为AC上方抛物线上的一个动点，过点。作DE/4C于点£

(2)求线段。£的最大值，并求出此时点。的坐标；

⑶如图2,将抛物线G沿y轴翻折得到抛物线G，抛物线G的顶点为F，对称轴与X轴交于

点G,过点〃(1,2)的直线(直线厂”除外)与抛物线交于J,/两点，直线E/,可分别交工

釉于点M,N.试探究GM-GN是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由.

8.如图1,抛物线y=-/+加+c•与x轴交于A、8两点，与y轴交于C,己知点8坐标为(4,0),

(2)若点。为直线3C上方抛物线上的一个点，连接PC,阳，当四边形PBOC的面积最大时，

求出P点的坐标；

⑶过点P作PMJ_x轴，交直线BC于M,记分7的长为",点P到)，轴的距离为g,且，="g.

①求，与，〃的函数解析式；

②当/=14时，直接写出m的值.

9.如图，已知二次函数)，=f—3x-4的图象与x轴交于&C两点,与)，轴交于点。，点4

为抛物线的顶点，连接O

试卷第4页，共6页

⑴求SACOD；

(2)如图1,点P在直线CO下方抛物线上的一个动点，过点P作尸QJLC。交于点Q,过点P

作〃工轴交C。于点E,求PE+PQ的最大值及此时点P的坐标；

⑶在(2)的条件下，将抛物线沿着射线。C方向平移2拉个单位长度得到新抛物线X，点

M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以8W

为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解

过程.

(I)求力的值及点M的坐标；

(2)点0(%,%)在<上,若直接写出的取值范围;

⑶抛物线G：)，=一/+("-4)工一/+4/a为常数，且;±<6),顶点为N.G与G交于

A,B(A在4的左侧)两点.

①当，=4时，求G在点A,8之间(含边界)的整点(横、纵坐标均为整数的点)个数；

②连接AB,MN,且AB与MN交于点P,直接写出点。的纵坐标.

11.二次函数)，=0?+法+以4工())经过点A(0,2),,C(4,0).

备用图

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设点。的横坐标为〃?过点。作〃）轴交直线AC于点E,DG〃x轴交对

称轴于点G,以OG、为边构造矩形OEFG,当矩形OEFG的周长最大时，求点。的坐

标；

（3）将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位后得到新抛物线旷，），'与直线x=2交于

点”，点N为平移后抛物线），'对称轴上一点，点Q为平面内任意一点.在第（2）问条件

下，当点。、M、N、。构成的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标.

12.在平面直角坐标系中，抛物线产加+加+3（叱0）与x轴交于A（T,O）、B两点,交了轴

连接AC.点。是X轴上一点，且

（1）求抛物线的表达式;

（2）如图，作直线CO交抛物线于点E.点P是直线原上方抛物线上一动点，过尸作PM//），

轴交CK于点仞.当线段PM长度取得最大值时，在直线门必上有两动点F、G（点厂在点

G的上方），当尸6=1时，求BF+E+GE的最小值;

⑶将该抛物线沿射线C4方向平移屈个单位长度得到新抛物线，新抛物线与丁轴交于点K,

连接K。，点N、Q分别为直线KO下方新抛物线上的两点，当NKDN=45。时,连接A。,

若线段AQ被直线DV平分，求点Q的坐标.

试卷第6页，共6页

参考答案

1.(l)y=-.r-2x+3

⑵七(—1,2)

(3)(0,0)或(3,0)或(3&-3,0)或(-3夜-3,0)

【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理和等腰三角形的性

质等等：

(1)由待定系数法即可求解；

(2)点44关于对称轴/对•称，则3。与对称轴/的交点即为所求的点E,进而求解；

(3)求得4C的长，分。为顶点、C为顶点、4c底边三种情况讨论，进而求解.

\/\(―9—38+c=()

【详解】(I)解：将点4(-3,0)((0,3)代入抛物线解析式得，

b=-2

解得＜

c=3

・•・抛物线的解析式为-2.1+3；

(2)解：•••抛物线解析式为)，=一/-2X+3=—(X+I『+4,

・•・抛物线的对•称轴为直线x=-l,

•・•点A、4关于对称轴对称，

/.BE=AE,

：・AE+CE=BE+CE,

，当8、C、£三点共线时，BE+CE最小,即此时4E+CE最小,

・・・8C与对称轴的交点即为点七，如下图，

设直线8C解析式为)，=mx+n,

答案第1页，共34页

-3in+n=0

n=3

,m-1

解得、，

〃=3

・•・直线BC的解析式为y=x+3；

当x=-l时，y=x+3=2,

・••£（T，2）；

（3）解：VB（-3,0）,C（0,3）,

：.OB=OC=3,

•*-BC=JW+W=36

当A为顶点时，则/>8=8（7=30，

・•・点P的坐标为（3夜-3,0）或（-3夜-3,0）；

当C为顶点时，则PC=BC,

，点尸与点H关于）'轴对称，

••・点尸的坐标为（3。）；

当8C为底边时，则「。=心，

设点P的坐标为（/〃，0）,

.,.（-3-w）2=zn2+32,

解得〃?=。

二点P的坐标为（0,0）：

综上，点户的坐标为（0,0）或（3,0）或（3/-3.0）或（-3夜-3.0）.

【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利

用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度.

2.（1）/?=1

⑵点尸坐标是（4,5）或网-后3+2指）

（3）当/〃W-3或，〃21时，0<«<—；当一3<〃?<1时，—

o82

答案第2页，共34页

【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质等知识，掌握二次

函数的图像和性质是解题的关键.

(1)由抛物线顶点式即可得出答案.

(2)分两种情况，当尸在对称轴右侧的抛物线.上和点F在对称轴左侧的抛物线.上，分别画

出图形，利用相似三角形的判定和性质，结合AE=2EF求解即可.

(3)分两种情况求解，(。当P,Q两点位于对称轴同侧抛物线上时和(")当P,Q两点位下

对称轴异侧抛物线上时，利用函数的图像和性质求解即可.

【详解】(1)解：•・•抛物线)，=".1-1)2-4〃的顶点坐标为。(11办

A/z=l；

(2)解：设抛物线的对称轴交大轴于点G,过产作于，，

'：a=\,

y=(x-l)2-4=x2-2A-3,

・••当y=0时，(A-1)2-4=0,

解得用=-1,占=3,

・•・4(-1,0)网3,0),

•・・6(1,0),

/.AG=2,

设厂(ni,m2—2m—3),则FH=/n—\,HG=nr-2m—3，

如下图，

答案第3页，共34页

当"01时，由4£_1_庄得/钻/=/F”E=90。,

,ZAEH=4EFH,

:oAGEs八EHF,

.AEAGEG

''~FE~~EH~~FH'

VAE=2EF,AG=2,

••・EH=\,EG=2/n-2,

•••EH+HG=EG,

**•l+ni2-2/n—3=2m—2»

解得：叫=。（舍去），叱=4,

・•・F（4,5）；

如下图，

当机＜1时，FH=-m+l,HG=ni2-2m-3,

同理可得△AG£S.£7〃T,

.AEAGEG

^~FE~~EH~~FH'

VAE=2EF,

；・EH=1,EG=2m-2,

•:HG=EG+EH,

-2m+2+1=/n2-2in—3♦

解得〃4="（舍去），叱二-瓜,

•・・F（-V6,3+276）；

答案第4页，共34页

综上所述，点尸坐标是(4,5)或卜布,3+2#)：

(3)解：⑴当P,Q两点位于对称轴同侧抛物线上时，

当6+441,即"/一3时，

当〃7W"7+4时，

y-4。，y2=a(m+3)~-4fl,

a[m-\y-4a-a(m+3^-4a^=2,

化简得■l=_4〃?—4,

a

•・•当64一3时，-4/n-4>8,

.-28即

a8

又〃>0,

0<6/<—,

8

当/wNl时,当/〃Vx4〃?+4时，

y\=a(〃?+3)--4a,y2=a(m-\)~-4a,

4(〃?+3)--4〃--1)2_4〃]=2,

化简得4=4阳+4,

a

当〃△1时，4〃z+428,

28即aW』，

a8

又a>0,

8

3)当P,。两点位于对称轴异侧抛物线上时,此时-

当)1=a(〃LI,-4a,%=4。时，

此时〃?+4—1<\—m,即一3</n<—1,

—1)~-4a—(-4a^=2,

化简得2=(〃i「

a

当3vmW1,4<(mI)2<16,

答案第5页，共34页

故:,

o2

当)，=a("Z+31-4〃，先二-4〃时，

此时〃+24—121—"2,即一

+3y-4a-(-4a)=2,

化简得2=(,〃+3/，

a

当一ismvl时，4K(/〃+3)2<16,

“I/

故6<。工彳，

82

综上所述，当〃7«-3或〃?21时，()<〃<：，当一时，

882

3.⑴y=-x2-x+2

(2)2

⑶3

【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式等等，熟知二次函数的性质是解

题的关键.

(1)根据题意可得对称轴为直线X=-g，则可推出匕=〃，再利用待定系数法求解即可；

(2)求出A(—2,0),8(1,0),C(0,2)；进而得到直线AC解析式为)，=x+2；设

2

P(m,-m-m4-2),Q(ny-iv-/?+2),则M(肛加+2),N(〃,〃+2),则

£(0,/〃+2),。(0,〃+2),可求出ME=—iibDN=—n,PM=-nr-2m»

QN=-2〃，根据PW=QN,可推出〃z+〃+2=0,据此可得答案；

(3)求出CE=2—(〃?+2)=—〃?.则s“NE=gcQON=-g(〃?+l)2+；，据此根据一次函数

的性质求解即可.

【详解】(1)解：•••当自变量X=1时，函数y的最大值为:Q，

，对称轴为直线X=-^,

/.b=a,

答案第6页，共34页

(191IIQ

把一7,二代入至1」)'="2+也丫+2=,a2+以+2中得2〃一±。+2=乙，

k24J424

解得〃=一1,

••・抛物线解析式为)，=-丁7+2；

(2)解：在)，=-丁-x+2中，当y=-/_*+2=0时，解得工=-2或x=l,

，A(-2,0),B(1,O),

在1y=-/一x+2中，当x=()时，_y=2,

・•・C(0,2)；

设直线AC解析式为y="+b,，

日+加=0

・•・Lr,

0=2

1=1

‘)=2，

・•・直线AC解析式为尸》+2；

设P(〃?,一62-〃?+2),°(又一〃2-〃+2),则用(/〃,〃z+2),N(〃,〃+2),

・•・七(0,6+2),D(0,n+2),

/.ME=一〃?，DN=一〃,PM=-nr-m+2-(m+2)=-m2-2ni,

QN=-tr-/?+2-(w+2)=-n2-2〃，

*/PM=QN,

••一〃广一2，〃=一〃“—2〃，

•••nr-tv-2n+2m=0,

/.(m+n+2)(m-n)=0,

VP,。两点不重合，即用工〃，

・'•"7+〃+2=0,

〃?+/?=-2,

/.ME+DN=-in-n=-(tn+n)=2-

答案第7页，共34页

(3)解：・・・C(0,2),E(0,〃?+2),

CE=2-(/??+2)=-m,

(-2-)=-!(/„+1)21,

=-CEDN=-mn=-m/?/+

222

—v0,-2<机<0,

2

.,.当"?=一1时，SMNE有最大值，最大值为，

4.(l)y=-x2-4x+5

⑵①2；0(-2,2)

8

(3)存在；点M的坐标为(-3,8)或(-3,16)或(-7,-16)

【分析】（1）把点A，点。的坐标代入y=—F+法+*求出〃，。，即可；

（2）①过点。作庄_LAC于点E,过点。作P/，_Lx轴交AC于点，，证明△产〃£：是等腰直

PH

角三角形，则夕石=7乞；当PH最大时，所有最大值：设4C的解析式为丁=履+5,求出

4c的解析式，设点P（〃?，-〃『-4〃?+5）且-5<相<（）,则点“（/小〃?+5）,求出产“，再根据

二次函数的性质，即可；②根据函数解析式，求出点4的坐标，则对称轴为：x=-2,设点

。（-2,〃），根据两点间的距离公式，即可：

（3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当AC为平行四边形的时角线时；②当AM为平

行四边形的对角线时；③当AN为平行四边形的对角线时，分别求解，即可.

【详解】⑴•・,抛物线产-炉+成+。经过点4（-5,0）,点C（0,5）,

c=5

-25-5Z?+c=0

c=5

解得：

b=-4'

•••抛物线的解析式为：J=-A-2-4X+5.

（2）过点Q作PE_LAC7点E,过点P作尸/_Lx轴交AC于点”,

•・•点A（-5,0）,点C（0,5）,

：,OA=CO,

答案第8页,共34页

・•・△AOC是等腰直角三角形，

，ZG4O=45°,

V"_Lx轴,

••・ZAHF=NPHC=45。,

是等腰直角三角形，

:.PE=HE,

••・2PE2=PH2，

•PF.里

,・向

，当P”最大时，尸£有最大值，

设AC的解析式为丁=履+5,

••・A（-5,0）,

・・.0=-5攵+5,

解得：k=\,

，设AC的解析式为y=x+5,

设点尸卜〃，一，〃2-4"?+5）且一5<"7<（）,

，点H(m,〃7+5),

5?25

/.PH=-m2-4/〃+5-(/〃+5)=-〃?2-5/〃111H—I+—，

24

•••。=一1<(),

.•・当加二一5时，PH2有5最大值年,

25

，PE=-^==^^；

418

@Vy=-x2-4x+5,

，点B(LO),

・・•点A（-5,0）,

・••对称轴为：x=—2,

设点Q（—2,力，

答案第9页，共34页

•:QB=QC,C(0,5),

A(?C2=4+(«-5)2,Q8?=9+〃2,

••・4+(〃-5/=9+〃2,

解得：〃=2,

...Q(-2,2).

由（2）得，对称轴为x=-2；

设点N（—2,〃7）,M（,t,-r-4.r+5）,

①当AC为平行四边形的对角线时

-5A-2

.~2=~2~

5—4x+5

5=2

••・点M(—3,8),N(-2,-3)：

②当AM为平行四边形的对角线时;

x-5-2

,-2-=T

••I,

x-4.r+55+in

22

x=3

解得:

rn=-21

答案第10页，共34页

・••点M(3,-16),N(-2,-21)；

③当AN为平行四边形的对角线时,

-5-2x

2=2

5-x2-4x+5m

22

r=-7

解得：

m=-\1'

・••点M（7,-16）,N（-2,-11）：

综上所述，点M的坐标为(-3,8)或(-3,16)或(-7,-16).

【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次

函数的几何变换，平行四边形的判定和性质，学会使用数形结合的方法.

(325、

5.(1)y=-A2+3x+4,D—

I，，)

⑵〃?=*

41

【分析】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数表达式，根据轴对称的性质确定最短路

径，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤.

(1)利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再根据顶点坐标即可求解；

(2)作点。(。,4)关于4*日的对称点E(0,-4),连接。石，可知与x轴交点即为MC+MD的

41

值最小时，利用待定系数法求得解析式为y=；x-4,令尸0,即可求解.

【详解】(1)解：•・•抛物线)，=-/+H+c过点4T,0)C(0,4),

答案第II页，共34页

-l-7?+c=O

c=4

b=3

c=4'

・•・抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.

ft4ac-b2

••,顶点坐标一―

4a

(2)作点。(0,4)关于“羯的对称点£(0,-4),连接作七,

则MC+MD=ME+MD2ED,

・•・与X轴交点即为MC+M/)的值最小时，

325、

设OE解析式为)仁爪+力，代入EOT),Dp-,

h=-4

3,八25，

-k+h=—

124

41

.力6,

b=-4

4124^4

:.y=--x-4,令y=0,=—,HPm=—.

64141

i3i

6.(1)抛物线解析式为y=-]x2+：x+2,直线4c解析式为)，=—+2

⑵竽

答案第12页，共34页

(J5-I

(3)尸(OLI)或产0,^—

【分析】(1)利用待定系数法求解即可：

(2)设尸,则E(m,1+2),则PE=-;(/〃-2y+2；解直角三角形

得到lanNOG4=ianNO3C,则NOC4=NOBC,可证明乙4c8=90。，得到

NBGF=NACB=9(r,证明NGPE=N/用月，由勾股定理求出4c=2石，则

sinZGPE=sinZOBC=»进而得到GE=——T—■-(/??—2)"+2,则当〃?=2时，GE有

BC552''

最大值，最大值为壁；

5

(3)如图所示，当点尸在x轴下方时，过点尸作FMJ.尸。交P。延长线于M,则四边形ODMF

是矩形，则0M=ORFM=OD,由△DOF且ACHE,得到OD=C"=叱=〃?，

I1FM1

OF=DM=HE--m,则PM=——in123+2m+2,根据lan/FPM=-----=—,得至lj

22PM2

m_1

1=5,解方程即可得到答案；同理求出当点?在，轴下上方时点尸的坐标即可・

---〃1+Z/7Z+Z

2

a-b+2=0

【详解】(1)解：把义-1,0),8(4,0)代入户or?+尿心中得：

16。+4/?+2=0

1

a=—

・2

**3，

b=-

2

17

••・抛物线解析式为y=~x2+|x+2；

1

X23

2-+11+2中，当x=0时，y=2,

2

/.C(0,2).

设直线8c解析式为)，=心+",

软+b'=0

‘％=2'

^=--

2,

b'=2

答案第13页，共34页

•••直线8。解析式为y=-1x+2；

（2）解；设P（〃?,一5〃广+/〃?+2）,则E，〃，一51机+2.

2

i3(i1Ii,

...PE=——tn'+—/zz+2-——m+2--m2+2m=--(m-2Y+2.

22222、,

VA(-LO),C(0,2),8(4。),

/.OA=\,OC=2,OB=4,

.OAI,OCI

..tanZOCA=---=—JanzOfiC=---=—,

OC2OB2

tailZ.OCA=tanNOBC,

JZOCA=ZOBC,

NOG4+NOCB=NQ8C+NOCB=90°,即ZAC13=90°,

AC//PF,

：./BGF=ZACB=90P,

V尸DJLx轴,

・•・NPGE=NBDE=90°,

又•:NPEG=NBED,

/.NGPE=NDBE,

,•*BC=VOC2+OB2=2>/5»

，sinZGPE=sinNO8C=—=2^,

BC5

GE=PE-sinZGPE=部纲一2)由］,

・,・当〃?=2时，GE有最大值，最大值为短;

5

（3）解：如图所示，当点尸在x轴下方时，过点尸作FM_LP£）交PO延长线于M,则四边

形ODME是矩形,

ADM=OF,FM=OD,

1,3A(1、

由（2）得P/??»--nr+―//z+2,E\—m+2,tanZEPC=tanZO/^C=-

22r{22r2

,/△DOF/ACHE,

11

；・QD=CH=MF=m,OF=DM=HE=2——-m+2=-m

I2,22t

答案第14页，共34页

］、31i

:*PM=—m2+—777+2+—m=—m'+2m+2,

2222

FMI

在Rl△尸尸M中，lan/QM=一=-,

PM2

m1

•••二〃八26+22,

2

解得〃2=2或〃7=-2（舍云），

经检验，〃7=2是原方程的解，

••・F（O,-1）；

如图所示，当点尸在x轴下上方时，过点、F作FN上PD交PD于N,

同理可得FN=/〃，PN=--m2+m+2,

2

FN1

在RtZV^PN中，tanZFP；V=——=-,

PN2

m1

••1,>与2，

—"广+，建+2

2

解得=+6或〃7=-1-石（舍去），

经检验，W=-1+6是原方程的解,

・••小与］

综上所述，/0，—1）或产。，

答案第15页，共34页

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，全等三角形的性质，待定系数法求

一次函数解析式，求二次函数解析式等等，解（2）的关罹在于证明NPG£=90。，进而把求

GE的最大值转换成求正的最大值，解（3）的关键在十分两种情况，通过全等三角形的性

质把所需线段转换到一个直角三角形中进行求解.

7.（\）y=-x2-2x+3

（2）线段。石的最大值还，此时。点坐标为（4号

8124；

（3）8

【分析】（I）利用待定系数法求解析式；

（2）过点。作。尸J_x轴于点F,交AC于点G,则。尸〃y轴，得△1）及；为等腰直角三角

形，求出直线AC解析式为）A=X+3,设点。坐标为+列得

(3Y93…此时9T（P3T\5\L线段。石的最

DCJ=—dA—H—,当d=一7时,

I2)42

大值夜

8

（3）由翻折得抛物线G的解析式为），=-/+21+3=-（％-1）2+4,可设直线〃的解析式为

y=k(x-\)+2f直线E/的解析式为y=—(j—l)x+j+3,当y=0时，一(/一1)工+/+3=0,

得M(空,()],GM=—44

,同理可求：GN=—,故GM-GN的定值为8

U-1J/—1

【详解】（1）解：二•抛物线经过点A（-3,0）,8（1,0）

-9-3Z?+c=0

-1+/?+c=0

h=-2

c=3

答案第16页，共34页

二抛物线的解析式为y=-r-2x+3

(2)如图1,过点。作OF_Lx轴于点尸，交AC于点G,则力/〃丁轴,

图「・•抛物线解析式为产-W-2x+3

/.C(O,3)

:.OA=OC

ZOCA=ZOAC=45°

VDF//y^

ZDGE=ZOCA=45°

-DEIAC

「.△OEG为等腰直角三角形

/.DE=—DG

2

•/A(-3,0),C(0,3)

,•,设直线AC解析式为)(=丘+人

b=3

-3k+b=O

解得，&=1,〃=3,

•••直线AC解析式为£仁="+3

设点O坐标为(4-/-2d+3)

•••点G坐标为(d,d+3)

,«./X；=-tZ2-2J+3-(6Z+3)=-J2-3t/=-^+|9

+-

4

答案第17页，共34页

39(315

・•・当d=时，0G最大，此时。G=w，。

DE=—DG

2

.••线段/汨的最大值正*2=逑，此时。点坐标为

248I24

(3)是定值，理由如下：

•••将抛物线G沿)，轴翻折得到抛物线G

C的解析式为y=—犬+2x+3=一(工-1)2+4

/.尸(1,4)

•••直线〃经过”。,2),

•••可设直线〃的解析式为尸&(x-1)+2

•.•/、/在抛物线上,

••可设，(/,-产+2/+3),/(/,-/2+2/+3),

/.A:(x-1)+2=-x2+2x+3,

整理得：f+g2)工一&-1=。，

j+i=2-k

设直线的解析式为y=A+4,则有产+勺

k

解得也r?

瓦=J'3

答案笫18页，共34页

•.•直线E/的解析式为y=-(J-l)x+J+3,

当y=o时,-(/-1卜+/+3=0,

解得：x=~~~~»

J-1

GM

j-1

4

4

同理可求：GN=—,

/-I

44

;.GMGN=--------------

J-l/-I

16

="

77-(J+Z)+l

16

16

-2

=8；

故GM・GN的定值为8

【点睛】此题考查二次函数综合知识，待定系数法求函数解析式，线段最值，二次函数与抛

物线的交点问题，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键

8.(1)>-=-X2+3X+4

(2)P(Z6)

m2-5m(m<0)

2

-zn+5^7/(0<w<4):②切=3+厢:或—2

m2-3〃?(/〃>4)

【分析】I本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函

数、二次函数的解析式、二次函数与面积综合.

(1)把点8坐标为(4,0),点C坐标为(0,4)代入户T'/M+C列方程计算即可；

⑵过，作PN_Lx轴交8C于N,设+3W+4),则N(/〃，一根+4),根据

答案第19页，共34页

S四边形PBOC=S&BOC+S’HC=305♦OC+jPN・O5表小出面积,最后求最大值即可；

乙乙

（3）①设P^n,-m2+3m-4）,则M（〃?,T〃+4）,d=PM=|-/??2+4〃，，点P到），轴的距离

为g=W|，/=</+#=卜病+4/“+帆，再分情况讨论去绝对自即可；

②根据/=14结合①中三种情况列方程求解，再取对应范围之内的值即可.

【详解】C）解：•.・抛物线），=-/+几+。与x轴交于48两点，与），轴交于C,已知点8

坐标为（4,0）,点C坐标为（0,4）,

0=-42+4/J+C

，

4=c

b=3

解得.

c=4

，抛物线的表达式为y=-x2+3x+4；

（2）解：点8坐标为（4,0）,点C坐标为（0,4）,则O8=OC=4,

设直线BC解析式为y=kx+4,把B（4,0）代入0=4Z+4,

解得&=—1,

•••直线3c解析式为），=T+4,

过尸作PN_Lx轴交于N,

设P(〃?,-〃『+3m+4),贝ijN(/«,-m+4),

:.PN=(-m2+3m+4)-(-/»+4)=-m2+4m,

S四边形P8OC=S,BOC+SdPBC

=-OBOC+-PNOB

22

答案第20页，共34页

AAA(，

=—1x4x4+—x4—"广+

22

=-2m2+8〃?+8

=-2(W-2)2+16,

・•・当〃?=2时，四边形P80C的面积最大，最大值为16,此时户（2,6）；

（3）解：①设叩机->n2-+4）,

•・•过点P作轴，交直线8C于M,

M(以一〃?+4),

:.d=PM=(-w2+3m+4)-(-m+4)=|-m2+4〃?|,点p到),轴的距离为g=|m|,

.，♦/=d+g=卜〃『+4〃'+|w|,

当〃?<0时，/=\-m2++1/«|=m2-4m+(一5)=ni2-5ni；

当0«"?<4时,/=|-/n2+4",+1"=-in2+4m+m=-nr+5/n；

当0044时，/=卜〃/+4〃寸+|时=in1-4/7?+m=in2-3m；

in2-5m(m<0)

综上所述，/=-m2+5〃？(0<m<4)；

nr-4)

②・.・/=14,

:・当〃?vO时，/=m2一55=]4,解得〃2=7（舍去）或〃?=一2；

5|2=-14-^<0,方程无解;

当0W"?W4时，l=-m2+5m=\4,整理得m——

2

当〃?>4时，/=〃/一3/〃=14,整理=14+—=—,解得?=3+或

\2J442

m=--<0（舍去）；

2

综上所述当/=14时，6=必匝或-2.

2

9.（1）4

（2）当1=2时，PE+PQ取得最大值,最大值为2夜+4,此时点P的坐标为（2,-6）

答案第21页，共34页

⑶使以87为边的菱形的N点有：'

【分析】（1）已知函数解析式，分别令1=0、＞'=0,解方程即可求得8、C、。的坐标，再

运用三角形面积公式即可求得答案.

（2）利用待定系数法可得直线CO的解析式为y=x-4,设年，r-3r-4）,可表示出正，

利用等腰直角三角形性质可将尸£表示尸。的长，进而用点〃坐标将尸石十尸Q表示成函数，

借助二次函数求最值的方法即可求得PE+PQ的最大值.

（3）菱形的存在性问题先转化为求以AC为边的等腰三角形的存在性问题，然后根据平行

四边形存在性问题的处理方法写出第四点N即可.

【详解】G）解：当x=O0寸，y=-4,

/.D（OT）

.・.0。=4,

当）=0时，/一3%一4二0,

解得：-Vi=-1,X2=4

・•・5（-10）,C（4,0）

・•・OC=4,

ASvcw=^xOCxOD=8

（2）解：设直线CO的解析式为了=履+》,

4k+b=0

则＜

b=-4

k=l

解得:

b=-4

・•・直线C。的解析式为），=x-4,,

设尸一3・4）,

•・・OC=OO=4,/COD=90。,

・•・也。。/）是等腰直角三角形，

・•・ZDCO=45°,

收〃x轴,

答案第22页，共34页

・ZPEQ=ZDCO=45°，点E的纵坐标与点P的纵坐标相同,

,,广—3Z—4=x—4,

:.x=r-3t，

AE(t2-3t,f2-3t-4)

:.PE=-r+4t

,/PQ_LCD,

•••△PEQ是等腰直角三角形，

，PQ=兴PE=今㈠+%

，相+也=-2+忘(-2)2+2&+4

..2+V2_

.------<0

2

.••当，=2时，PE+PQ取得最大值，最大值为2&+4,此时点夕的坐标为(2,-6)

(3)解：依题意，抛物线沿射线0c平移2a个单位即抛物线向右平移2个单位，向上平

移2个单位.

平移后抛物线解析式为：1-"，对称轴为直线％=

<2)42

故设点M6,〃?)又P(2,-6)

22

:.BP=A/(-l-2)+(O+6)=3亚

+(0一〃if=j曰+3

BM=

PM=^2-^~+(-6-/nj2=^/n2+12m4-

由题意知，以4M为腰的等腰三角形有两种情况：

如图1,当/好=8W时，

答案第23页，共34页

贝ij3石=出■+/,

解得…%=型,〃…亚

2•2

由平行四边形对角线互相平分可知:

x+x=x+x

<RNPM

②如图2,当RW=8A7时,

3

解得：/^=-1

答案第24页，共34页

2、

2>

综上：使以4M为边的菱形的N点有:

【点睛】题目主要考查二次函数综合题.综合性较高，要求学生有较强的逻辑推理能力和计

算能力.

39

10.(1)/?=3,

9

(2)--<ye<4

7

(3)①4个；

O

【分析】（1）把点（3,0）代入抛物线G：y=x2-bx,即可求出〃的值，将抛物线解析式化

为顶点式，即可得到点例的坐标；

（2）根据二次函数的性质求解即可；

⑶①当，=4时，抛物线G为），=一9+以，解方程组，得到点

y=-x-+4x

A,3的坐标，即可求出G在点A,区之间（含边界）的整点个数;

②设抛物线C,与3的交点A的坐标为（4,以），/3的坐标为（4，%），联立C与G的解析式，

y=x2-3x、

-