贵州省贵阳市某中学2025-2026学年高一年级上册第二次月考数学试题

贵州省贵阳市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次月考

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.“陛2工<2”是“x<4”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.以下函数是偶函数且在(0,+8)上单调递增的是()

A.%B.y=2wC.y=x\^D.尸一国

3.函数/(x)=log2*+I)-一二的零点所在的一个区间是()

x+2

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

4.已知角。的终边过点M(-2,3),则点P(sin"tanO)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.《道德经》有云：“合抱之木，生于亳末；九层之台，起于累土这体现了积累的深远意

义.假设商人甲每天通过经营使财富增长1%,那么商人甲的财富增长到最初的2倍至少需

要经过多少天？(参考数据：IglOS2.0043,怆2=0.3010)()

A.40B.70C.110D.180

6.设a=2。,3,6=06,。=logg°・02,则()

A.oa>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>c>a

7.集合｛XCZ|(G-l)(x-l)<0｝中恰有2个元素，则实数。的取值范围为()

A.(J』B.[p1)C.[-1,-I)u4,1]D.(-|,-l]U[i4)

4343243243

8.已知函数/(x)=1og3(欢-+则不等式^^卜。的解集是()

A.(-oo,-B.(―1,0)J(l,+8)

C.(-00,-1)50,1)D.(-1,0)50,1)

二、多选题

9.下列命题是真命题的是（）

A.函数〃力=问乂的定义域是R

B.函数8（力=9"V的4-I值域是卜域工2}

X—1

C.函数/7（司=2几的值域是[2,+力）

D.若函数9（x）的定义域是卜1,2],则函数以2犬+1）的定义域是卜1.5]

10.已知sina+cosa=（,则下列结论正确的是（）

A-12

A.sinacosa=——

25

n1

B.sina-cost=—

5

3

C.若2a是锐角，则【ana=：

D.若2a是钝角，则cos^a-siifa=—

25

11.己知偶函数目（力对任意非负实数P,夕都满足〃〃）+/（"）="P+4）,当xvO时,

/（“<0,则下列结论正确的是（）

A.函数/（x+2）的图象关于直线x=2对称

B./（0）=0

C./（-4）</（2）

D.存在>（力,对任意x<0,+8）都有/口3+2>+2]=-4

三、填空题

12.若函数/"）=；户-6_]（。>0,且4WI）的图象经过定点M,则M的坐标为

13.函数（/tT）的单调递减区间为.

2

试卷第2页，共4页

14.已知函数•〃幻若函数g(x)=/(x)-。恰有2个不同的零点，则实数。的

取值范围是;若关于X的方程［/(X)了-"(力+2=。恰有5个不同的实数根，则实数

。的取值范围是

四、解答题

15.计算：

2,OS23

(2)log23xlog58+(lg5)+lg5xlg2+^lg8-2.

16.已知暴函数〃"=(2//-56+3)广的定义域为R,函数g(x)是定义在R上的奇函数,

当xWO时，g(x)=/(x)+4x.

(1)求/(x)和g(x)的解析式:

⑵求g(x)在区间同+1］(/>0)上的最大值*«).

17.定义在R上的函数/(力，^/(x)>0,f(x)f(2-x)=f(x)+f(2-x)t且在

区间［I,+8)上单调递增.

111

(1)求丽+面+了②的值；

(2)证明：/(“在区间(YC,1］上单调递增.

18.某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛(如图所示)，按设计要求扇环的周长为

36米，其中小圆弧所在圆的半径为12米，设大圆弧所在圆的半径为工米，圆心角为。(。>0)

(1)求。关于工的函数解析式，并求出。的取值范围;

(2)已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为32元/米，弧线部分

的装饰费用为8元冰，设花坛的面积与装饰总费用之比为，

(i)求y关于x的函数解析式；

(ii)求出y的最大值和y取最大值时的x的值.

xx

19.已知函数〃x)=log6(3'+2')-丘伏wR),5(x)=log3(6-2)-x.

(1)若函数/(x)是偶函数,求心

⑵判断g(x)的单调性，其解关于x的不等式⑶；

(3)证明：当攵＞1时，函数有唯一零点•%,且g(%)〈0.

(注：本题中涉及复合函数单调性的判断可以使用复合函数性质说明，不需要定义证明.)

试卷第4页，共4页

《贵州省贵阳市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABCDBABCBCACD

题号11

答案BCD

1.A

【分析】根据对数函数的件质，求得不等式的解集,结合充分条件、必要条件的判定方法.

即可求解.

【详解】由不等式1鸣《2,可得

因为集合5|0＜。＜4｝是的真子集,

所以log?XV2是X＜4的充分不必要条件.

故选：A.

2.B

【分析】根据塞、指数函数的性质及奇偶性定义判断各项是否题设，即可得.

【详解】对于A,j是奇函数，不符；

对于B,），=2凶定义域为R,且21T=2凶，故＞=2忖为偶函数，在（0,+司上），=2忖=2'单调

递增，符合；

对于c,定义域为R,且一故,，=乂乂为奇函数，不符；

对于D,），=一国定义域为R,且一卜耳=一区，故），=一可为偶函数，在（。,+8）上），=一凶=一不

单调递减，不符.

故选：B

3.C

【分析】确定函数/（x）的单调性，再利用零点存在性定理判断即得.

【详解】函数f（x）=log,（x+l）-一二的定义域为（-1,-Hx）,

x+2

函数），=log?（X+1），y=-一二在（T，”）上都单调递增，则函数/（X）在（-1，X0）上单调递增,

x+2

I?

而/（0）=-所以函数/（x）零点所在的一个区间是（0J）.

故选：c

答案第1页，共11页

4.D

【分析】根据题意，得到。为第二象限角，求得sin0>O,tan0v。，进而得到答案.

【详解】因为角。的终边过点加(-2,3),所以。为第二象限角，所以sinO>O,lane<。，

所以P(sine,tan6)位于第四象限.

故选：D.

5.B

【分析】设商人最初的财富为。，至少经过上天甲的财富增长到最初的2倍，列出

4(1+0.01)*>2a,利用对数运算性质可求出x的范围.

【详解】设商人甲最初的财富为〃，至少经过上天甲的财富增长到最初的2倍，则有

a(l+0.01)t>2«,

两边取常用对数得lg(l+0.0。NIg2,所以MgLOl>lg2.

又因为lg1.01=lg(101x1(产)=lg101-2=0.0043,1g2H0.3010,

所以解得让金二幽2.70.

191Wlgl.010,0043

故选：B.

6.A

【分析】利用指对数函数的性质判断大小关系即可.

32

【详解】由0<0.6"<0.6°=1=20<20-<2'=2=log020.2=log020.04<log020.02,所以

c>a>b.

故选：A

7.B

【分析】根据给定条件，结合一次函数的图象性质可得〃>0,进而推导得L>1,再建立不

a

等式求解即可.

【详解】由集合LrwZ|(*-l)(x-l)<0}中恰有2个元素，得。>0,否则集合中有无数个元

素，

因此方程(公-1)。-1)=0必有两个实根1和L且否则集合为空集，

aa

plij{xeZ|(«x-l)(x-1)<0)={xeZ11<x<—},3<-^4,解得

答案第2页，共11页

实数a的取值范围为［*）.

故选：B

8.C

【分析】根据函数的奇偶性及单调性作出图象，由数形结合得不等式的解.

W2

【详解】/（A）=log3（4-l）+x-2,可知4忖一1>0,即4国>1，解得XHO

所以函数的定义域为（-少,0）=（0,也），关于原点对称，

又/（x）=f（r）,所以尸〃力为偶函数,

r2

当工€（0,+8）时，/（x）=log3（4-l）+.r-2,

由），=1嗝（4'-1）,），=/-2单调递增，可知），=/（x）单调递增，且〃1）=0,

根据对称性可得函数/（同大致图象，如图，

所以根据函数），=/（'）图象可得出.由工）々）的解集为（田,-1）5°，1），

故选：C

9.BC

【分析】根据求函数的定义域、值域的相关知识分别对每个选项进行分析判断即可.

【详解】A.函数〃力=时乂有意义，则直数国>0,即xw0,错误：

B,因为二三9=2（：［}3=2+9,...白工。，.•.2+高工2,所以g（x）的值域

为3yx2},正确：

C,令f=/+整1,则），=2'«2,+。），正确：

D,因为函数的定义域是［T2］,在函数°（2x+l）中，令-Y2X+1K2,解得

答案第3页，共11页

所以其定义域为,错误，

故选：BC.

10.ACD

【分析】由同角三角函数的平方关关系可判断AB,进而求得sina=13,cosa=g4,可判断

CD.

74912

【详解】由sina+cosa=-等式两边平方得l+2sinacosa=—,所以sinacosa=—,故A

52525

正确;

(sin«-cosfir)2=1-2sin«cos«=—,所以sina-cosa=，所以B错误;

255

因为0〈2。〈2，所以0va〈£,则sinavcosa,

24

7

sina+cosa=—

3343

解方程口，解得sina=^,cos6Z=-,所以tana=：,故C正确:

12554

sinacosa=—

25

对于D选项，］<2。<兀，则则sina>cosa,

7

sina+cosa=—

S43

所以解方程J

12，解得sina=g,cosa

sinacosa=—

25

7

所以cos%-sin%=---,故D正确,

25

故选：ACD.

II.BCD

【分析】根据偶函数的定义和性质以及函数的单调性可依次判断ABC,取/(力=-2国计算

即可判断D.

【详解】由题知，函数的定义域为R,

对于A选项,因为函数〃力为偶函数,所以/(力关于y轴对称,

其图象向左移动2个单位得/(x+2)的图象，所以/Q+2)关于x=-2对称，故A错误;

令〃=4=0,则/(0)+〃。)=/(0)，即/(。)=0,故B正确；

因为函数/("为偶函数，当x>0时，/(x)<0,设不与40,y)，且用<%,

答案第4页，共11页

则吃一%＞0,

/（8）-/（毛）=/&）一（芭+七一%）=/（%）—[/（3）+/（工2-5）]=一/（七一3）＞°，

所以/（%）＞/（9），所以/（%）在[。,+8）上单调递减,所以〃-4）=/（4）＜/（2）,故C正

确；

对于D选项，取〃丫）=一2凡当时,儿“工）+2丫+2]="2）=-4,故D王确.

故选：BCD.

2）

12.2,--

I3J

【分析】根据指数函数的性质求解即可.

【详解】令3工-6=0,解得x=2,

17

所以"2）='〃°一1二一个

JJ

I（2、

所以函数=（a＞0,且〃工1）的图象恒过定点2,--.

故答案为：（2-]

【分析】根据复合函数的单调性“同增异减''法则计算即可.

【详解】由/―公]＞。得，“力的定义域为y,三卜（^^,+8,

令，（工）=/_工_1,而）'=10g?在定义域内单调递减，

所以求原函数单调递减区间即为求/（力=/-1-1的单调递增区间，即为

故答案为:2,L

14.（L-bx）[3,-KC）

【分析】作出函数y=/"）的图象，根据零点个数确定a的范围；运用换元法将方程转化为

r-ht+2=0,结合图象分析[的取值对应的解的个数，最后利用二次函数性质确定。的范

凰

答案第5页，共11页

【详解】如图，作出函数y=/("的图象，函数=恰有2个不同的零点当且仅

当函数y=/(x)的图象与直线y有2个不同的交点，

由图知，实数。的取值范围是(1,+8).

对于方程［f(切2-/(力+2=0,令，=〃力,

则方程，一加+2=0至多有2个不同的解%,%设d

关于X的方程"(x)］2-"(力+2=0恰有5个不同的实数根，即如图①，当且仅当函数

丁=/(1)的图象与直线共有5个不同的交点，

则方程/-4+2=0的两根4,t2,满足0<GWl<*

根据此条件如图②,作出函数*(，)=/-加+2的大致图象，则需使9⑴=3-力<0且

A=Z?2-8>0»

解得〃33.当〃=3时，方程产3/।2=0有两根为1和2,满足。

故实数的取值范围是［3,”).

故答案为：(1，〜)；艮物).

15.(1)5

(2)1

【分析】(1)由指数塞的运算性质即可求解;

(2)由对数的运算性质即可求解.

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原式=(2—、国+。+,

【详解】(1)+1=5

(2)J^it=log23x31og32+lg5(lg5+lg2)+^x3lg2-3=3+lg5+lg2-3=l

x2+4.r,x<0,

16.(l)f(x)=Kx)=

-x2+4.r,x>0.

-r+2r+3,0<r<l,

⑵8(z)=<4,l</<2,

-r+4t,f>2.

【分析】(1)根据辕函数求出/(x),设x>0,根据条件利用奇函数的性质，求解g。)：

(2)利用二次函数的性质，分0<Yl,1</<2,后2三种情况，即可求出。⑺，进而可

求出研/)的最大值.

【详解】(1)由是冢函数，得2/_5〃?+3=1,解得m或2.

当机=3时，〃到=%，不满足“X)的定义域为R：

当〃?=2时，f(x)=x2,f(x)的定义域为R,所以/(x)=W,

所以当xWO时，g(x)=x2+4x,

设x>0时，则一x<0,所以g(—x)=f-4x.

因为函数g(x)是定义在R上的奇函数，所以当x>0时，8("=-』+以，

则g⑴的解析式为g(x)=

(2)因为不£士1+1]”>0),又由(1)知x>0时，g(^)=-x2+4x=-(x-2)2+4.

①当f+l<2,即Ov/41时，g(x)在区间[[J+1]上单调说增，」比时0(。=8。+1)=-产+2/+3：

②当/<2<f+l,即1</<2时，0(/)=g(2)=4；

③当d2时，g(x)在区间上/+1]上单调递减，此时°(。=€(/)=-a+4],

—t~+21+3,0</<1,

综上，e(/)h4J</<2,

-r+4tj>2.

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］］1_3

17.(l)7(O)+70)+7(2)=2

(2)证明见解析

【分析】(1)借助赋值法分别令x=l、x=0代入计算即可得；

(2)利用函数单调性定义，结合/")在区间［I,+8)上的单调性与作差法计算即可得.

【详解】(1)由题有I(l)/(2-l)=1(l)+f(l),即"⑴］2=2/⑴，

又/(引＞0,所以『(1)=2,

又有/(0)./(2-0)=/(0)+/(2-0),即〃0)./(2)=〃0)+/(2),

/、111113

又〃力。，所以南+西=1，所以南+而

(2)由/(x＞/(2-x)=f(x)+/(2-x)可知，/(2-x)*l,

所以〃力=延对］.

VX］，W£(YO,1］,且王〈内，

f（x}_f（x1二八2-再）〃2-＞二）-〃2-二）

八2）/（2-Xi）-i/（2-X2）-1"（2f）-W（2f）T「

因为所以2-石＞2-工221.

又/(x)在区间［l,y)上单调递增,所以〃2-石)＞八2-±),

所以〃2一3一〃2-3)<0.

X/（2-X1）＞/（1）＞1,/（2-X2）＞/（1）＞1,所以“2—斗）一1＞0,〃2—电）一1＞。，

［遥制流二3＜。，

即/&)</&),所以/(x)在区间(e』上单调递增.

18.(1)9=若停，xe(12,30).6>G^0,|^

⑵k(304-8x)((±x-162))'、42.,3。、)；(ii)),的最大值为1限户⑶

【分析】(1)由扇环周长建立等量关系，即可求得。关于X的函数解析式，由题意建立不等

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式组求得自变量X的取值范围.然后利用函数的单调性求得夕的取值范围.

(2)(i)分别表示出花坛的面积和装饰总费用，即可求得花坛的面积与装饰总费用之比;

(ii)令i=x-6,整理［i)中函数关系式，利用基本不等式求得最大值.

【详解】(1)由题可知2(工一12)+(1+12)。=36,解得6=丝辞.

x>\2

又由彳60-21八，可得12vxv3O,

->0

,x+12

所以。关于x的函数解析式为。=竺W,x«12,30).

x+\2'7

因为函数/(司="号=-2+得在工«12,30)时单调递减，

人•14人*1J

所以〃30)</(力</(12),可得.

(2)(i)花坛的面积为:。(¥-122)=(30—x)(x—12).

装饰总费用为32x2(工-12)+8x(x+12)9=48(x-6),

(30-x)(x-12),

所以花坛的面积与装饰总费用之比为3='“Q/八八),XG12,30.

48(x-6),

(ii)令/="一6"«6,24),

则空炉1-r2+30/-1441.(144、1八八c1

--------------------=30-；+——<—x(30-2xl2)=-,

~48t----48I/J488

144i

当且仅当/=*£,即1=12时取等号，此时x=18,故y的最大值为:，此时x=18.

t8

19.⑴A=1

乙

(2)单调递增,X€(-1,0)U(2,3)

(3)证明见解析

【