广东省深圳市部分学校2024-2025学年高二年级上册期末联考数学试卷

广东省深圳市部分学校2024-2025学年高二上学期期末联考数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知直线/经过点4-2,0）,8（-5,3）,则正确的是（）

3

A.宜线/的斜率为1B.直线,的倾斜角为不

C.直线/的方向向量为（1为D.直线/的法向量为（-3）

2.若椭圆C：—+^r=l(Z?>0)仅经过［（2,6）,^（2,-75）,巴卜正,6）中的一个点,

8b2

则椭圆。的短轴长为（）

A.2B.4C.76D.2瓜

3.已知数列-1Mm-4成等差数列，-lq-4成等比数列，则，-的值是（）

a+b

44

A.——B.-C.-iD.1

55

4.圆加：0-3）2+（），+4）2=1关于直线工—），—2=0对称的圆只的方程是（）

A.(X+2)2+()，+1)2=1B.(x-2)2+(y-l)2=l

C.（x-2）2+（y+l）2=lD.（A+2）2+（y-l）2=l

5.“*=±；”是"直线y=Mx-3）与双曲线只有一个公共点,，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.在四棱锥A3CQ中，底面A4CQ是平行四边形，旦3反=2屈，设丽=M，AC=b，

55533

2-23-3

C.a——b+—cD.a--b+—c

3355

7.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”,且%>0,S10=4%,则知+S“取最大值时〃的值是（）

A.4B.5C.6D.10

22

8.若直线），="v为双曲线与-二=1（30,力>0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）

a'lr

A.2B.述C.正D.述

323

二、多选题

9.已知数列｛q｝满足q=3,43=1--,记数列｛〃“｝的前〃项和为S”，则()

31

A.B*53nl-S3=—^

J+nJ

c.44.4+2=7D.519=22

10.已知空间向量2=(2,2,2),S=(l,-l,l),则()

A.a-b=(\,3,\)B.|t/|=243

C.ab=2D.allb

11.已知抛物线C：V=6x的焦点为F,过户的一条直线交C于A,8两点，过A作直线

/：x=的垂线，垂足为。，过产且与直线AB垂直的直线交/于点E,则（）

A.\AD\=\AF\B.IAER/WI

C.MB|>6D.|AF||BE|>18

三、填空题

12.直线2x-3），+5=0与直线4x-6y+3=0之间的距离为.

13.若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数

列的公比等于.

14.圆C:3-2）2+（>，-2）2=4与x轴相切于点A,点B在圆C上运动，点例为线段43的中

点，点N是直线x+y=0上一点，则|MN|+|AN|的最小值为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.在VA8C中，角A8C的对边分别为。力,C,已知/+。2-/=2扬csiM.

(I)求A的大小；

(2)若且爪仔,小,求c的取值范围.

162)

16.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，满足生+4=10,S7=49.

⑴求数列｛《,｝的通项公式；

(2)设包=(-1)&,求伪+b2+4+...+%).

17.已知数列｛4｝的前〃项和为工，且满足3%=2S”+3,数列｛2｝是等差数列，4=1限9,

且么+5、/+1、4-3成等比数列.

⑴求数列｛%｝和数列低｝的通项公式；

b-1

⑵记c“二T—，求数列｛g｝的前〃项和

%,%+1a

4,〃为奇数n

⑶记叫=”为偶数，求\＞一

-2A=l

18.如图，正四棱台/IBS-A片GR中，石为CG的中点，44=0，A8=20.

⑴当A4t=2时，

(i)求证：平面双如_L平面BCG与；

(ii)求直线与平面所成角的正弦值.

(2)若正四棱台人8CO-A4GQ存在内切球，求正四棱台的体积.

19.17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆

用较链首尾链接，构成菱形L鸟KQ.带槽杆防长为4,点小5间的距离2,转动杆防一周

的过程中始终有|。目=|昼|•点M在线段的延长线上，且四图=3.

(I)以线段片人中点0为坐标原点，建立如图2所示的平面史角坐标系，求出点E的轨迹「的

方程;

⑵过点八的直线乙与「交于4B两点.记直线M4MB的斜率分别为勺,他,

(i)证明：(+1为定值;

(ii)若宜线4的斜率为h点N是轨迹「上异于4B的点，且N鸟平分/AN8,求符的

取值范围.

试卷第4页，共4页

《广东省深圳市部分学校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷》参考答案

题号1234567891()

答案BBADCABDCDABC

题号11

答案ACD

1.B

【分析】由两点求得斜率.进而逐项判断即可.

3

【详解】由斜率公式得阳3=1■==7，

—3+2

所以倾斜角为：兀，方向向量为(4-口，

4

法向量为(尢4，其中4/0,所以A,C,D错误，B正确.

故选：B

2.B

【分析】根据椭圆是轴对称图形，所给的三点中有两个点关于4轴对称，进而可得G点在椭

圆上，因此可得椭圆的短轴长.

【详解】因为匕，鸟关于工轴对称，椭圆C也关于x轴对称，

所以A，6要么都在椭圆c上，要么都不在椭圆c上，而椭圆c仅经过4，鸟，鸟中的一

个点，

所以椭圆C经过代入得22+W3=1，解得〃=2,所以椭圆C的短轴长为%=4.

XD

故选：B.

3.A

【分析】根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式计算即得.

【详解】依题意，。+〃=-5,/=4,所以±=-土

a+b5

故选：A

4.D

【分析】由题求出M(3T)关于4-)-2=0的对称点，据此可得答案.

【详解】由题可得圆心M(3,T),半径为1,设点M关于直线%-丁-2=0的对称点为(X,)，)，

答案第1页，共17页

)'+4一।

一[x=-2

则广;_4=二1，则N(-2,l),又圆N半径也为1,

A1£_ZZZ_2=()一

22

所以圆N的方程为(x+2)：+()，一1-=1.

故选：D.

5.C

【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计

算，即可得到我的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断.

y=

【详解】法一：由题意，我立方程/，可得（1一4犬）9一24二x-36攵2-4=0,

-----y2=1

4,

当1-4炉=0时，即人士;时，方程有一解，即只有一个公共点；

当1-4公W0时，A=80父+16>0,方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.

所以，直线尸(一3)与双曲线?-尸=1只有一个公共点时，k=±^

所以J=是"直线户Mx-3)与双曲线《-y2=］只有一个公共点,，的充要条件

24

法二：因为直线)』及(3-3)过定点。(3,0),双曲线的右顶点为A(2,0),如图，

根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线)，=±gx•平行时，直线与双曲线只有交点.

所以“八士卜是"直线广3)与双曲线］只有一个公共点,，的充要条件

24

故选：C.

6.A

【分析】根据空间向量基本定理即可求解.

答案第2页，共17页

__3__

【详解】由3左=2所，得度］无，

DE=PE-TO=|PC-PD=1(AC-AP)-(AD->4P

=-AC^-AP-AD=-AC->f-AP-(AC-A8)

5555、)

2—2——-，一，一

=——AC+-AP+AB=a——b+-c,

5555

故选：A

7.B

2

【分析】设出公差4,结合等差数列求和公式计算可得再用〃与4表示出q+工

后，结合二次函数性质即可得.

【详解】设等差数列｛q,｝的公差为4,则%=(4+%；4)*1()=4%=4(4+3d),

9

化简得21+114=0,即d一二6,

…/、n(n-\]d/、n2+tj-2

贝1J6+S”=%+(〃-1)d+叫+',=(〃+1)%+---d

Z4

//r+〃一2\\n+\\-n'-n+2

二(〃+l)4+---x

-和11

’-〃2+10〃+13、-M(〃-5)2

4=-38

kil；

由％＞。，则当〃=5时，%+S,取最大值.

故选：B.

8.D

【分析】根据渐近线的概念，写出参数之间的等量关系，根据离心率的概念直接求出结果即

可.

【详解】由题意知广6所以曲屈,

所以离心率e=£=左叱=、[^=

aaVa~

故选：D.

9.CD

【分析】根据递推公式求出生、小、小，即可找到规律得到数列｛《,｝是以3为周期的周期数

答案第3页，共17页

列,即可判断A、列D,再根据递推公式表示出。”+2,即可得到%勺+4+2,从而判断C.

【详解】解:因为4=3,%+]=1一~

所以生=i-L=I-故A错误；

?=一2,।一[1=3=4,所以数列也｝是以3为周期的周期数列,

3~2

所以$3”+|-$3“=。3"+1=q=3,故B错误;

所以田为+2=%・^^・二二=T,故C正确；

4”q一1

S]9=（q+,+4+…+。18）+%9=6（4+4+%）+/=6乂（3+：-3）+3=22，故D正确；

故选：CD

10.ABC

【分析】利用空间向最减法的坐标运算判断A,利用模长公式判断B,利用数最积的坐标运

算判断C,利用平行向量的定义判断D即可.

【详解】由题意得1（222）3=（1,一1,1）,

对于A,由空间向量减法的坐标运算法则得Z-B=（l,3,1）,故A正确，

对于B,由空间向量的模长公式得同="/万=2、个，故B正确，

对于C,由空间向后的数量积的坐标运算法则得73=2-2+2=2,故C正确，

2=2

对于D,设£=万，可得（2,2,2）=，（1,-1,1）,所以（2=-"此时方程组无解，

2=2

得到向量£与向量方不平行，故D错误.

故选：ABC

11.ACD

3

【分析】对于A,先判断得直线/：1=-5为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；

对于B,利用三角形相似证得44£8=90。，进而得以判断；对于C,利用直线的反设法（法

一）与正设法（法二），联立直线AB与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判呼C；

答案第4页，共17页

利用利用三角形相似证得kq2=|4目但.，忸同2=忸4|4M，结合焦半径公式可判断D.

【详解】法一：对于A,对于抛物线C:y2=6x,

则〃=3,其准线方程为4=-|,焦点/（今°}

则|A&为抛物线上点到准线的距离，|AF|为抛物线上点到焦点的距离,

由抛物线的定义可知，1川）1=|4・|,故A止确；

对于B,过点3作准线/的垂线，交于点

由题意可知八。±/,EF±zW,则ZADE=ZAFE=90°,

又IAOR人用，\AE\=\AE\,所以VADE@/AFE,

所以NAED=NAEF,同理NBEP=NBEF,

又/AED+ZAEF+/BEP+/BEF=180°,

所以/被+N幽=90>,即Z/1E3=9O。，

显然AB为△叱的斜边，则|A£|<|A3|,故B错误:

对于C,易知直线A8的斜率不为0,

设直线AB的方程为x=5+1,A(x,%),B®,y2),

3

联立4*2,得》-6wy-9=0,

y2=6x

易知A>0,则y+%=6m,y)，2=-9,

33

又$=/孙+^=^2+-,

所以|A8|=X)+x2+p="H：y+>2)+3+3=6〃?2+626,

当且仅当〃?=0时取等号，故C正确；

对于D,在RlAABE与RLAEk中，ZR4E=ZE4F,

答案第5页，共17页

所以则蜉=耨,即时=|4月.|明,

同理忸"=忸斗同区，

又|A4忸H=卜+1）12+胃=（〃%+3）（〃明+3）

222

=niy1y2+3/〃（y+%）+9=-9m+1Sni+9=9（〃/+1），

|AB|=6m2+6=6（"『+1）,

所以|4fif.忸目2=忸斗|4斗|A8「=9（〃/+1）x36（川+1。

则|A4忸E|=3（m2+炉x6（m2+1）=18M+］旌18,故D正确.

故选：ACD.

法二：对于A,对于抛物线C：V=6x,

则P=3,其准线方程为x=-|,焦点F（：o}

则为抛物线上点到准线的距离，|AF|为抛物线上点到焦点的距离,

由抛物线的定义可知，IADR4用，故A正确；

对于B，过点8作准线/的垂线，交于点尸，

由题意可知A£>_L/,Q_LA8,则乙4。石=乙4e石=90。，

又|AO|=|A/q,\AE\=\AE\,所以

所以NAED=/4E/，同理NBEP=4EF,

乂ZAED+ZAEF+NBEP+ABEF=180°,

所以+N婀=90。即ZAE4=90。，

显然A4为△/V?E的斜边，则|A£|<|48|,故B错误；

答案第6页，共17页

对于C,当直线AB的斜率不存在时，|A却=2〃=6；

当直线AB的斜率存在时，设直线A8方程为J=攵卜一1}

v=kx—IQ

联立{I2）,消去儿得三^2—（3X+6）x+公=0,

y2=6x4

69

易知△＞（）,则%+占=3+淳,工/2=^，

22

所以|A3|=\J\+k|xj-x2\=yj\+kxJ（X］+.与卜一羽.

=J1+Axj（3+，|-9=6h+二］＞6,

火k2）Ik2）

综上，巨6,故C正确；

对于D,在RlAAAE与RLAM中，/RAE=/EAF,

所以RSABE~Rt“!EE则瑞=招,即以吁=|"|・|阴,

同理忸目2=忸尸|.|45|,

当直线AB的斜率不存在时，|人同=6,|4目=忸尸|=g|A8|=3；

所以|AE|2.|8£|2=|5F|.|A尸］.|八网2=3X3X62,即|A4忸同=18；

当直线相的斜率存在时，|相|=61+4］,

33、9

M叩网=1+|+2+W

V+翳卦”（1+表）

所以忸目2=忸尸|.|人外,同2=9（］+/_）X36（I+'|,

则|何阳=3（1+染jx61+p-=181+/j〉［8；

综上，|AE|•忸E|N18,故D正确.

故选：ACD.

12.MZ/工）

2626

答案第7页，共17页

【分析】先将方程变形，再根据平行直线间的距离公式求解出结果.

［详解］2x-3_v+5=0<=>4x-6y+10=0,

吁3|79

所以平行线间的距离为心+（时=

26

故答案为：逅

26

13.2

【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与

前〃项和的定义，得到关的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前〃项和性质

得到关于夕的方程，解之即可得解.

【详解】法—：设该等比数列为｛〃”｝,凡是其前〃项和，则，=4,$=68,

设｛q｝的公比为夕（4>0）,

当9=1时，S4=4^=4,即q=1,则Sg=8%=8。68,显然不成立，舍去;

当时，则S4=q0—g）=4,s8=q）―q）=68,

\-q

两式相除得R。，即0-0（：44）=］7,

"q4j"

则I+"=17,所以4=2,

所以该等比数列公比为2.

故答案为：2.

法二：设该等比数列为｛q｝,S.是其前〃项和，则54=4,1=68,

设｛叫的公比为9e>0）,

所以S&=4+/+/+4=4,

Sg=%+a,+a、+/+牝+&+%+4

a4

=%+a2+/+4+444+。闯+a3T+”广

=(q+生+%+4)(1+q，)=68,

所以40+44)—68,则1々=17,所以“一2,

答案第8页，共17页

所以该等比数列公比为2.

故答案为：2.

法三：设该等比数列为｛q｝,S“是其前〃项和，则邑=4,国=68,

设｛4｝的公比为夕（4>0），

因为Sg—Sj=%%%+4=（4+%+6+q）"4=68-4=64,

又S&=%+生+q+6=4,

所以%S*=/=弓=]6,所以q=2,

所以该等比数列公比为2.

故答案为：2.

14.Vl3-1

【分析】首先搞清楚点例的轨迹，把问题转化成圆外一点与圆上的点的距离问题求解.

【详解】如图：

已知。（2,2）,4（2,0）,

因为M为弦A8的中点，所以CV_L/厉，所以M点轨迹是以AC为直径的圆.

设圆心为。（2,1）,半径为1.

作点4'（0.—2）.则儿W关于直线x+y=0对称.

所以|AN|=|A'N|.

所以当A',N,M,力四点共线且MM在A',。之间时，

|MN|+|4N|=|MN|+|4N|取得最小值，为卜1=,2?+（1+2『-1=后一1.

故答案为：\/13-1

答案第9页，共17页

15.⑴工

o

⑵（3,2百］

【分析】（1）由余弦定理一〃2二2版csiM并结合题设求出tanA即可求解;

（2）由。="呼=2瓜in［］+8］结合角R的范围即可分析求解.

【详解】（1）由余弦定理及//-/二2屉csiM得助ccos=2GAsinA,

n

显然cosAwO,/.tanA=—>

3

A«0,兀）,.,.4=1；

/\

（2）,「sinC=sin［兀一（A+8）］=sin（A+8）=sin—+B,

\6>

.（VJsin住+B］Z、

,c=^£=_^_2=2氐in2+B,

sinA1（6J

2

16.⑴％=2〃-1

(2)20

【分析】(1)根据题意，列出关于4，"的方程，代入计算，即可得到结果;

(2)由并项求和法代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)设等差数列的公差为d,

2a,+4J=10{a.=1

由题意可得'।01,.，解得〈0,所以q=2〃-1.

74+214=494=2

（2）由（1）可得2=（-1）”?=（一1）"（2〃—1）,

所以4+a+4+・一+&o=（T+3）+（―5+7）+...+（-37+39）=2x]O=2O.

17.⑴%=3",。=2〃-1

答案第10页，共17页

（2）7；=-x1-（2〃+l）.3”

⑶当〃为偶数时，之叫=〈+:3川一：；当〃为奇数时，2>4=也二!1+1.3/2一3

rt488tr488

【分析】（1）根据已知S”求知的方法求应｝通项公式，利用等差数列和等比中项性质求低｝

的通项公式；

（2）化简%,利用裂项相消法求数列｛%｝的前〃项和7；,；

⑶求出w"：为??,分〃为偶数，〃为奇数，求如一

〃一为佻数UI

【详解】（1）当〃=1时，3>=25产3=2%+3,解得q=3,

〃〃

当〃之2时，4=工-邑7=老3-，3-四3弓-二3，整理得%=3%

又,•,”产0,・，.4一尸（），.•.4=3,

an-\

，数列｛%｝是首项为3、公比为3的等比数列，

设等差数列出｝的公差为",V"=log冈,且4+5、4+1、4-3成等比数列

的+1)2=(&+5)•(4-3),即(2+3d)2=(6+d).(-2+5d),即

42-4"4=(4-2f=0,

解得〃=2,2〃-1.

(2)由(])可知c=^1*2-1=--------2n+2--------l--------!---------------!——

rt=x

田3J知„bf,bil+i-atl(2n-l)(27/+i).32[(2〃-1)3一(2〃+1)・3

-

---入———-y.•・-7---------------

211x303x3'3x3*5x32(2n-l)y~'(2/?4-l)-3z,

答案第11页，共17页

-X1---------

2(2〃+1).3〃

13",〃为奇数

(3)由题意可知，%=

为偶数

当〃为偶数时，

=31+1+33+3+35+5+...+3w-'+n-1

k=\

3-3n-'-32和+〃-1)

=-----；­+----------

1-322

E3

=---1---3---

488

当〃为奇数时，

Z=31+1+3,+3+3,+5+…+〃-1-1+3”

jt=i

3-3,,-32?(1+〃TT)

1-32+2~

("if+17

4

18.(1)(i)证明见解析；(ii)叵

14

⑵告

【分析】(1)(i)连接AC交8。于。，则。。IJ•平面4BCD.证得平面ACCd,从而

得CGJ.8。，再证得CC；_LOE,则CG_L平面8。石，进而得证；

(ii)以。为原点，建立空间直角坐标系，求出C月=(12-G),平面AB&A的法向量

九=(6百.1),即可求直线BG与平面ABBA所成角的正弦值：

(2)设球O?为正四棱台48co-A"GR的内切球，根据轴截面图形可求出正四棱台

ABCD-^C^的高为0。=2,从而利用台体体积公式求出答案.

【详解】(1)(i)证明：连接AC交8。于。，连接AG.8Q,交于点。…连接。«,

则oq_L平面A8CO.

答案第12页，共17页

8。u平面ABCD，,。0\1BD.

在正方形48C。中，8O_AC,且

•••4。工平面ACGA.

*/CC(u平面ACC[A,/.CC,1BD.

'：A4,=CC[=2,AM=&,AB=142,工AG=2,AC=4.

连接OG，・・・AO〃AG且AO=AG，.••四边形AOGA为平行四边形.

Z.OCl=AA]=OC=CCi=2.

连接。凡・・・E为CG的中点，・・・CG_LOE.

•.,OE,4。u平面BDE,O〃nBD=O,CQ，平面BDE.

CGu平面8CC内,・•・平面4D£_L平面BCC".

(ii)由题意，04。回两两互相垂直，

以。为原点，分别以。人。及。9所在直线为x轴，丁轴，z轴，建立空间直角坐标系，如

图所示，

连接04，则0G=OA=AG=2,：,oo、=6

・•・A(2,o,0)1(020),A(1,0,6),片(0,1,有卜

・•・丽=(-2,2,0),诵=(T0,@,

q«=(i,2,-V3).

ri-AB=-2x-2y=0,

设平面ABB.A的法向量为n=(x,.y,z)，则•

”•AA,=-x+V5z=0,

答案第13页，共17页

取x=则y=6,z=1,石,6,1).

设宜线8G与平面A84A所成的角为0,

・•・直线8c与平面9a所成角的正弦值为年

(2)取BG8C的中点MN,

连接QN,NM,OM,则QN//OM、O,N=叵,OM=@

2

由题意，设球。2为正四楂台ABCD-A^.C.D,的内切球,

则R为。。的中点，且球。2与平面8CGS的切点/在WN上，如图,

可证△0?N0\丝公O?NT,RMOg△QM7',

，NT=0、N=号,MT=OM=五.，NM=NT+TM=当

过N作NH工OM,垂足为“，则HM=OM-ON=当,

吗［田2

/.00；==4,OO；=

22工

・•.00,=2,

.••正四棱台A8CO—A瓦GR的体积为gx2x(2+8+JR)=g.

19.(1)—+^=1

43

答案第14页，共17页

⑵（i）证明见解析；（ii）小卜。，3]

【分析】（I）由题意，根据椭圆的定义知点E的轨迹是以耳，工为焦点的椭圆，确定a,〃即

可求解；

（2）⑴设4:y=A（xT），4（西方），3仁，必），联立椭圆方程，利用韦达定理