导数的综合应用（七大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）原卷版-2025-2026学年高二数学（人教A版选择性必修第二册）

导数的综合应用（七大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）

■内首航

思维导图

模块一：导数中的函数零点（方程根）

问题

夯基期腼艇--模块二：导数中的不等式问题

、模块三：导数中的双变量问题

'模块四：导数在解决实际问题中的应用

广题型1利用导数研究函数零点（方程根）

导数的综合应用一题型2利用导数证明不等式

-题型3利用导数研究不等式恒成立问题

提升•必考题型归纳--题型4利用导数研究存在性问题

-题型5利用导数册究双变量问题

'•题型6导数新定义

L题型7导数在实际问题中的应用

课后提升练（19题）

思维导图

导数中的函U份类讨论法

函数零点（方程｛（2份高参变.

数零点（方

根）问题的求法

程根）问题

（If应要证心＞却在区勤“切块立，需恂造辅助函数

HY）=AY）-#），通过分析中在端点处的函数值来证明不等式

导数中的不等式.（2在证明不等式中，若无法转化为一个函数的层值问题，可考

证明虑转化为两个函数的最值问题

导数中的不

的等式问题（I流高参数法解决恒（能）成立问题

I不等式恒（能）

综（份类讨论法解决恒（能）成立问题

成立问题的求法2

合

一是转化，即由已知条件入手，刁找双参金龊的关系式，并把

应含双参数的不等式转化为含单参数的不等式

用

导数在解决

实际问题中

的应用

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模块一导数中的函数零点（方程根）问题

知识梳理

1.导数中的函数零点（方程根）问题

利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法:

（1）利用导数研究函数/（X）的最值，转化为/（X）图象与X轴的交点问题,主要是应用分类讨论思想解决.

（2）分离参变量，即由/（x尸0分离参变量，得a=g（x）,研究y=a与尸g（x）图象的交点问题.

2.与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略

与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特

殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离H参数，转化为两函数图象的交点情况.

啕题型归纳

【题型1利用导数研究函数零点（方程根）】

【例1】（2025•四川成都•三模）函数—无一1•一1的零点个数为（)

A.0B.1C.2D.3

x3+2x24-x,x<0

【变式1.1]（24-25高三下•江苏扬州•期末）已知函数/（x）=9(x)=/(x)-2ax,

—Inx,X>、0八

X

若函数g（x）有5个零点，则实数c的取值范围为（）

AD

-恁£)B・（黑也）C(册)-GW)

【变式1.2]（25-26高二上•福建莆田月考）已知函数/（%）=底*一*一6+发Q6R.

（1）讨论函数/（%）的单调性；

（2）若a=-1,判断函数y=/%）零点的个数.

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【变式1.3](25-26高三上•天津蓟州•期中)已知函数/(%)=e"+ox(awR).

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若/(%)有两个正零点％1，¥2，且打<X2.

(i)求Q的取值范围；

2

(ii)求证：%i+x2>.

模块二导数中的不等式问题

知识梳理

1.导数中的不等式证明

(1)一般地，要证/(x)>g(x)在区间(a,b)上成立，需构造辅助函数网x)="x)—通过分析F(x)在端点

处的函数值来证明不等式.若尸(。)=0,只需证明氏外在他，方)上单调递增即可；若尸3)=0,只需证明“X)

在(处分)上单调递减即可.

(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题,可考虑转化为两个函数的最值问题.

2.不等式恒(能)成立问题的求解方法

解决不等式恒(能)成立问题主要有两种方法：

(1)分离参数法解决恒(能)成立问题

①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等

式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题.

②。2/(x)恒成立一。2f(x),皿；

。fW恒成立。/CDmin；

。2/G)能成立(工)min；

aW〃x)能成立OaW/G)max.

(2)分类讨论法解决恒(能)成立问题

分类讨论法解决恒(能)成'工问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进

行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一

段内的函数值不满足题意即可.

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题型归纳

【题型2利用导数证明不等式】

2

【例2】(25-26高三上•河北邯郸•期中)已知函数/'(x)=eX-2Q%,g(x)=ax+l.

⑴当Q=一^时，求曲线y=/(%)在4=。处的切线方程;

(2)讨论/■(%)在(0,+8)上的单调性;

(3)若0<a<求证：当戈>0时，/(x)一。(%)>一2ax.

【变式2.1](25-26高三上•广东广州•月考)已知函数/(x)=ln(x+m).

(1)当m=0时，求证：1-：£/(%)工工一1；

(2)当m<2时，求证：f(x)<ex.

【变式2.2](25-26高三上•山东聊城•月考)已知函数/(%)=豌2%4工0).

(1)若函数g(x)=/(%)+日一(kx-k+2)e，且A=1,求g(x)在(0,+8)上的单调区间;

(2)若证明：/a)Nl+ln2x.

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【变式2.3](25-26高三上•福建璋州•月考)已知/•(%)=/—以(。为常数)

(1)当。=-1时，求/(%)在x=0处的切线.

(2)讨论:(乃的单调性；

(3)证明：当％>0时，x2<ex；

【题型3利用导数研究不等式恒成立问题】

【例3】(25-26高二上•河南郑州期中)已如函数/'(%)=(er-2ax)(21nx-ax2-1),若对任意

x>0,/(x)<0恒成立，贝心的取值范围是()

【变式3.1](25-26高三上•四川月考)已知不等式ae'Wsin》在区间[也同上恒成立，则实数Q的取值范围

为()

A.(一8,茅司B.(一8,容eV]

C.(一8，孝eW]D.(-8,光目

【变式3.2](2025•四川泸州•一模)已知函数/"(%)=

(1)求曲线丫=/(%)在点(0/(0))处的切线方程；

(2)若g(x)=f(%)-x-lnx,对任意xe(0,e),都有g(x)Nm恒成立，求m的取值范围.

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【变式3.3](25-26高二上•福建莆田•月考)已知函数f(x)=ex—工

(1)若函数g(x)=/(%)—9一夕必在(0,+8)上存在单调递减区间，求a的取值范围;

(2)若对任意%>0,/(2x)>(a+4户2+1恒成立，求a的取值范围.

【题型4利用导数研究存在性问题】

【例4】(24-25高二下•安徽•期中)己知函数g(x)=3ahix-2工+1,若存在一£(1,4),使得g(x)21

成立，则实数。的取值范围是()

A.(―8,年]B.停,+°°)C.(—co,2e]D.[2e,4-oo)

【变式4.1](24-25高二上•江苏南通•月考)函数/'(;<)=xlnx,g(x)=x2—2x+a,若对任意的力Wgl],

总存在力W[1,2],使得/(小)之g(M)成立,则实数。的范围是:)

A./4+8)B.(-oo,2-l]

C.12-：,+8)D.(-8,1—3

【变式4.2](24-25高三上•山东青岛•期末)已知函数/'(X)=lnx—》2.

⑴求函数/(%)在[1,4]上的最大值和最小值：

(2)若不等式>(2-a)x2有解，求实数Q的取值范围.

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【变式4.3】(2025•湖南•三模)已知函数f(%)=u(21mc+a),aER.

(1)若函数/(%)在(好,+8)上单调递增，求实数。的取值范围；

(2)若x=e为函数/(幻的极值点，求。的值；

(3)设函数g(x)=4d一4/比，当。二一2时,若对于任意打6(0,+oo),总存在冷€[—2,4],使得伙孙)工/

(勺)，求实数的取值范围.

模块三导数中的双变量问题

魁知识梳理

1.导数中的双变量问题

导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数

不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是【可归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

【题型5利用导数研究双变量问题】

LJ【例5】(24・25高二下•湖北武汉,期中)函数/•。)=£+'无+69€/?力€/?)的两个极值点勺12满足

Xi<x2<2无1，则+2%2的最大值为()

A.21n2B.31n2C.4ln2D.51n2

【变式5.1](24-25高二下，湖南期中)已知«£〃)，过点P可作曲线/(%)=%-]nx的两条切线，切点为

(%!./(%:)),(x2,/(x2)).求咨*等一1]的取值范围()

A.(—1,0)B.[—1,0)C.(—2,—1)D.[—2,—1)

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【变式5.2](25・26高三上・江苏扬州•月考)已知/Q)=x-Qlnx-32.

(1)若曲线y=/(x)在无=1处的切线与y=x垂直，求实数Q的值；

(2)若函数y=/(%)存在两个不同的极值点与,外，求/'(勺)+/。2)的取值范围•

【变式5.3](24-25高三上•江苏无锡•月考)已知函数/(%)=：+lnx,g(x)=—Inx-2.

(1)若Q>0,当/(%)与g(x)的极小值之和为0时，求正实数Q的值：

112

(2)若f(%i)=f(%2)=2(必学％2>求证：v+云>£・

【题型6导数新定义】

【例6】(24-25高二下•河北衡水期中)若函数f(x)的定义域为D,且存在戈oED,使得/(⑹+2f'(%o)

=0,则称比是的一个“二倍阶值点下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是()

A./(%)=：B./(x)=ex2-xC./(x)=InxD.f(x)=ex+x

【变式6.1](24-25高二上•陕西榆林・期末)已知函数/•(%)的导函数为尸(乃，若存在不使得/'"())=7''(与)，

则称右是/'(X)的一个“巧值点下列四个函数中，没有“巧值点”的是()

A./(x)=ln(x+1)B./(x)=@

C./(x)=sinxD./(x)=cosx

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【变式6.2］(24-25高三上•山东滨州期末)设函数y=/(x)的定义域为，其导函数为尸(无)，区间/是。的

一个非空子集.若对区间/内的任意实数心存在实数t,使得且使得/(%+£)之(t+l>r(%)成立,

则称函数y=/(乃为区间/上的“M©函数”.

⑴判断函数/(乃=cos无是否为［0网上的函数”，并说明理由；

(2)若函数g(x)=x2一以是［0,2］上的“M⑵函数”.

(1)求a的取值范围；

(ii)证明：Vxe［l,2］,^(x+2)>6()nx-l).

【变式6.3］(24-25高三上•内蒙古赤峰•月考)若函数f(%)在［a网上存在孙“2(aV#i〈型〈奶使得/(%i)

="二，)，f'(M)='％丁)，则称/(X)是口力］上的“双中值函数”，其中勺,不称为/(X)在［a,b：上的中值点.

⑴判断函数f(x)=.丫3-3/+i是否是［_1引上的，，双中值函数，,并说明理由：

(2)已知函数f(%)=1x2-x\nx-ax,存在m>n>0,使得/(m)=/(九)，且/'(')是［九环］上的“双中值函数”,

%1曲是/(%)在［九洞上的中值点.

①求a的取值范围；

②证明：无I+%2>Q+2.

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模块四导数在解决实际问题中的应用>1

知识梳理

1.导数在解决实际问题中的应用

（1）利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本（费用）最低、利润最大、效率最高等问题,求解

时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境”翻译为数学语言，抽象成数学问题,

再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.

（2）解决优化问题的方法并不单运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本

不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.

（3）利用导数解决实际问题的一般步骤

【题型7导数在实际问题中的应用】

J【例7】（25-26高三上•河南•开学考试）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某

款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为

尸（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为4a4元，厂家可制作的模型的最大半

径为1dm,若批发商以3元/出近的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（）

A.7T元B.箸元C.］元D.答元

【变式7.1］（2025高三•全国•专即练习）某海上油田/到海岸线（近似直线）的垂直距离为10海里，垂足为

B,海岸线上距离〃处100海里有一原油厂C,现计划在4C之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油

管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田力处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到4

处的距离应为（）

A.5后海里B.”海里C.5加海里D.10加海里

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【变式7.2](24-25高二下・上海松江•月考)某公司生产的某批产品的销售量x万件(生产量与销售量相

等)，%>0,己知生产该批产品共需投入成本炉+12d+36%万元，产品的销售价格定为(180+第)元/

件.

(1)爵该产品的利润y万元表示为钧售量x万元的函数：

(2)当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？

【变式7.3](2025高二上•全国•专题练习)如图所示，48CQ是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影

部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P,正好形成一个正四

棱柱形状的包装盒，E、尸在48上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=F3=xcm.

DC

、、/✓

I'、'/，乂、、.//I

AxEFxB

(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试向x应取何值？

(2)若广告商要求包装盒容积《cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

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课后提升练

一、单选题

1.(2025•云南红河•三模)函数/(%)=炉一12%+16的零点个数是()

A.0B.1C.2D.3

2.(24-25高二下•福建福州•期中)一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长均为a的小正方形，做

成一个无盖方盒.当方盒容积最大时，Q的值为()

A.1B.1C.2D.3

3.(25-26高三上•安徽・月考)设函数/(x)=x3+ax2+bx(a,bER),则”>3b”是“f(x)有三个不同的零

点”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.(24・25高二下・四川泸州•月考)若存在此使得八配)=。。0)，则称看是，(%)的一个“巧值点”,则下列函

数中，不存在“巧值点”的是()

A./(x)=exB.f(x)=C.f(x)=sinxD./(x)=Inx

5.(25・26高三上•福建厦门•月考)函数/(%)=*若/(刈<山一白在(0,+8)上恒成立，则实数〃?的取值

范围是()

A.m>eB.m>C.m>1D.m>

'—%3+%2%M0

6.(25-26高三上•重庆南岸•月考)已知/(%)=e，，g(x)=3einx*n,若函数y=/(g。))一ag(x)

X

一。恰有4个零点，则实数a的取值范围为()

A,(闻B.(1,^)C.(1,。D.停，号)

2

7.(24-25高二下•河南郑州•期末)已知/(x)=#-(e-l)x-elnx,.9(x)=-(x+l)+a,若三不G(0,+co),

3X2ER,使得/'(修)<g(M)成立，则实数a的取值范围是()

A.(T，+8)B.(-8TC.[-$+00)D.(—8,—斗

8.(24-25高二下•重庆•期中)对于函数f(%)=等，下列说法错误的是()

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A./(x)在％=。处取得极大值:

B.f(%)有两个不同的零点

c./(2)</(n)</(3)

D.若/•(%)在(0,+8)上恒成立，贝收>1

二、多选题

9.(24-25高二下•广西钦州•期末)对于函数/'(%)=”■,下列说法正确的有()

A.〃无)在x=1处取得极大值1

B./(%)在％=©处的切线方程为y=一23+：

C./(%)有两个零点

D.若/'(%)V/c-g在(0,+8)上恒成立，则k>e

10.(24-25高二下•重庆荣昌•期中)对于三次函数/■(%)=c^+bd+cx+dgwO),给出定义：/'(%)是函

数y=/(%)的导数，是函数/«)的导数，若方程广(乃=0有实数解不，则称Qo/Qo))为函数y=f(x)

的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就

是对称中心，若函数/•(%)二|炉一/一12%+2，则下列说法正确的是()

A./(盼的极大值点为替

B.f(x)有且仅有3个零点

C.若/(乃在(一3,m)上的最大值为拶，则加€(一2,三］

D-f(六)+f(嘉)+f(藕)+…f(螳)=4048

11.(24-25高二下•江苏南京•期末)已知函数/'(x)=lnx-ax,则下列说法正确的是()

A.若/(%)40恒成立，则a的取值范围是QZ1

B.当QV0时，y=f(%)的零点只有1个

C.若函数y=/(%)有两个不同的零点%1户2,则％i%2>e2

D.当Q=1时，若不等式me”+\nm>/㈤恒成立，则正数m的取值范围是点+°°)

三、填空题

12.(24-25高二下•广东广州期末)将一个边长为3m的正方形铁片的四角截去四个边长相等