2024人教版八年级数学下册第20章《勾股定理》每课时导学案汇编（含五个导学案）

20.1勾股定理及其应用（第1课时）导学案

一、学习目标

1.经历勾股定理的探究过程，体会数形结合思想，发展几何史观和推理能力。

2.能用勾股定理解决一些简单问题，发展应用意识。

3.了解关于勾股定理的文化历史背景和我国古代研究勾股定理的成就，培养学生的民族自豪感。

学习重点：探索并证明勾股定理。

学习难点：探索并证明勾股定理。

二、学习过程

（一）情境引入

通过对三角形边的特殊化，我们得到了等腰三角形，并研究了等腰三角形的定义，性质，判定和应用。

对二角形的角特殊化，可以得到直角二角形，类似的，我们也来研究直角二角形的定义，性质，判定和应

用。

直角三角形的定义：.

直角三角形的性质：.

从边的角度，直角三角形有哪些性质呢？

（二）合作探究

探究如图，每个小方格的面积均为1,图中正方形4,Bi，。的面积之间有什么关系？A?,明,C?呢？

B3,呢？

正方形4的面枳是,,正方形以的面枳是,正方形G的面积是.

正方形4的面积是,,正方形约的面积是，正方形C2的面积是,

正方形小的面积是,正方形&的面积是,,正方形C3的面积是,

结论

追问1以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的

面积有什么关系？

结论

追问2你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？

猜想如果直角三角形的两条直角边长分别为斜边长为C,那么

勾股定理的证明

赵爽指出:符号表达

按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四.

以勾股之差自相乘为中黄实.

加差实，亦成弦实.

简单推埋:

勾股定理（西方人称毕达哥拉斯定理）

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么

变形C=4=

（三）典例分析

例1如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.

（四）巩固练习

1.设直角三角形的两条直角边长分别为“和从斜边长为c

(1)已知a=6,c=10,求R

(2)已知。=5,^=12,求c：

(3)已知b=15,c=25,求a

2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A.B.C,D的边长分别

是12,16,9,12,求最大正方形E的面积.

3.如图，在平面直角坐标系中有两点45,（））和4（0,4）.求这两点间的距离.

（五）归纳总结

（六）感受中考

1.（2023年湖南长沙）如图，AB=AC,CDDAB,BELAC,垂足分别为。，E.

(1)求证：LABEULACD,

(2)若/石=6,8=8,求4。的长.

2.（2024年四川眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦

图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图I中大正方形的面现为24,小止方形的面积为4,现将这四个

直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为（）

A.24B.36C.40D.44

3.（2024年四川甘孜）如图，Rt□44C中，DC=90°,4C=8,BC=4,折叠口4BC,使点A与点8重合,

折痕OE与48交于点/）,与力以于点E,则CE的长为.

（七）布置作业

1.必做题：习题20.1第1,7,8题.

2.探究性作业：习题20.1第10,13题.

20.1勾股定理及其应用（第2课时）导学案

一、学习目标

1.能运用勾股定理求线段长度，并解决一些简单的实际问题，发展应用意识。

2.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股

定理建M己知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长，发展抽象能力和模型观念。

学习重点：运用勾股定理计算线段长度，解决实际问题。

学习难点：能从实际问题中抽象出直角三角形模型。

二、学习过程

（一）复习引入

1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为4,b,斜边长为C,那么.

ChA

2.勾股定理的证明:

勾股定理有广泛的应用，下而我们用它解决两个问题。

（二）合作探究

例2一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?

例3如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点4处，底端

位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m,那么梯子顶端

也沿墙AO下滑0.8m吗？

总结归纳

（三）典例分析

1.如图，A,3是池塘边上的两点，点C是与44方向成直角的方向上一点，测得4c=60in,AC=20m.

求A,8两点间的距离（结果取整数）.

2.如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.

如果把这根芦苇拉向水池•边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多

少?此题源自《九章算术》，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、

葭长各几何.（丈、尺是长度单位，1丈=10尺.）

（四）巩固练习

1.如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度.位于地面上点A史的激光测距仪先将激光射向楼底端的点B,

仪器显示48=23.1m；再将激光射向楼顶端的点。，仪器显示4031.9m；最后仪器自动显示出楼高8022

m.你能说出其中的数学道理吗？

竽zBB

2.电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸=2.54cm）为单位.王芳测得自家电视

机的屏幕宽为71cm,高为40cm,这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸（结果取整数）?

3.河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条

“路”，他们仅仅少走了米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！

4.如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60。和南偏东30。方向出发，他们的速度分别是3m/s和

4m；s,则20s后他们之间的距离为（)

A.70mB.80mC.90mD.100m

第6题图

5.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意

思是：一根竹子，原高一丈（一丈二十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺

远，则折断处离地面的高度为（）

A.3尺B.3.2尺C.3.6尺D.4尺

6.将•根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面

长为hcmt则h的最小值为.，一的最大值为

（五）归纳总结

利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:

（六）感受中考

1.（2025年江苏连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为L8m,则梯

子顶端的高度h为.m.

2.（2023年四川绵阳）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度8c=10m,匚8=30。，则中柱力。（D

为底边中点）的长为

第1题图

3.（2025年山东东营）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置力处摆绳与地面垂直，摆绳长2m,

向前荡起到最高点3处时距地面高度1.3m,摆动水平距离8。为1.6m,然后向后摆到最高点。处.若前后摆

动过程中绳始终拉直，且。〃与OC成90。角，则小丽在。处时距离地面的高度是（）

A.0.9inB.1.3mC.1.6mD.2m

（七）布置作业

1.必做题：习题20.1第2,3,5题.

2.探究性作业：习题20.1第4,9题.

20.1勾股定理及其应用（第2课时）导学案

一、学习目标

।.能用勾股定理证明直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理，发展推理能力。

2.能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，发展几何直观。

3.体会勾股定理在数学中的地位和作用。

学习重点：应用勾股定理作由长度为无理数的线段。

学习难点：能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点。

二、学习过程

（一）复习引入

利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：

勾股定理不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以带助我们解决数学问题。

（二）合作探究

思考在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全

等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？

探究我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在数轴上画出表示g的点吗?

追问1如果直角边长为1,那么斜边长为多少？

追问2如果直角边长分别为1和2,那么斜边长为多少？

追问3如果直角边长分别为2和3,那么斜边长为多少？

由勾股定理可知，两条直角边的长分别为的直角三角形，其斜边长为.

请你完成作图：

0123

（三）典例分析

例如图，等边三角形A8c的边长为6.求：

（1）高月。的长；（2）等边二角形A3C'的面枳.

（四）巩固练习

1.如图，在数轴上点A表示的实数是（）

2:\\

-2-10123"

A.V5B.gC.-1+3V2D.I+V3

2.在数轴上画出表示g的点.

012345

3.如图，是△ABC的边BC上的高.分别以线段AB,AC,BD,CD为边

向外作正方形，正方形的面积分别为S，S2,S3,S4.请写出关于$,S2,S3,S4的等式.

4.如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长

为1.记这个图形的周长（实线部分）为/,则下列整数与,最接近的是（）

A.14B.13C.12D.II

第4题图第5题图

5.如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,

恰好能够组合得到如图2所示的四边形0力4c.若OC=v5,BC=l,匚408=3（）。，则0/4的值为（）

A.V5B.gC.V2D.1

（六）归纳总结

（六）感受中考

1.（2025年广西）如图，点儿。在EC同侧，AB=BC=CA=2,BD=CD=^,^AD=.

2.（2024年西藏）如图，在RtIZUBC中,DC=90°,以点5为圆心,适当长为半径作弧,分别交8C,4/于

点、D,E,再分别以点E为圆心，大于:。石的长为半径作弧，两弧在4BC的内部相交于点P,作射线8P交

4c于点足已知CP=3,AF=5,则的长为.

第1题图第2题图第3题图

3.（2025年四川绵阳）如图,在平面直角坐标系中,等边L46C的顶点2v5）,将□48c向左

平移1个单位长度，则平移后点5的坐标为（）

A.（-3,73）B.（-V3,3）C.（-V3,2）D.（-2,73）

（七）布置作业

1.必做题：习题20.1第6,11,12题.

2.探究性作业：习题20.1第14题.

20.2勾股定理的逆定理及其应用（第1课时）导学案

一、学习目标

1.理解勾股定理的逆定理，经历“观察一测量一猜想一论证”的定理探究的过程，体会“构造法”证明

数学命题的基本思想，发展推理能力。

2.了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。

学习重点：探索并证明勾股定理的逆定理。

学习难点：证明勾股定理的逆定理。

二、学习过程

（一）复习引入

1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为mb,斜边长为c,那么.

2.除了定义，直角三角形的判定方法还有哪些？

3.勾股定理的逆命题是什么？它是真命题吗？它是直角三角形的判定方法吗？

（二）合作探究

思考如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角

三角形呢？

观察如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm,它们满足关系“2H+62=6.52”，画出的三角形

是直角三角形吗？换成三边长分别为4cm,7.5cm,8.5cm,再试一试.

猜想如果三角形的三边长a,b,c满足/十〃=/,那么

已知:如图,△A6C的三边长分别为小已c,满足H+代/

求证:

勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长4,b,C满足.,那么这个三角形是

它是判定直角三角形的一个依据.

（三）典例分析

例1判断由线段4,〃，C组成的三角形是不是直角三角形:

(1)〃=8»Z?=15»c=17；(2)4=14,h=\3,c=15.

（四）巩固练习

1.判断由线段a,b,C组成的三角形是不是直角三角形:

(1)〃=4,6=5,c=6；(2)6r=2.5,b=0.7,c=2.4；

(3)4*,b=-,c=j；(4)a=1>b=y/2,c=V3.

2.满足下列条件的不是直角三角形的是（）

A.A^+B^AB1B.AC\BC.AB=yA5

C.匚GCL4+匚8D.匚/:口4:匚0=9:12:15

3.勾股数乂名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，我们称之为勾股数.下

列各组数据为勾股数的是（）

A.9,40,41B.9,16,20C.1,2,V5D.\\!

345

4.若一个三角形的三条边长之比为5:12:13,周长为60cm,则它的面积为（）

A.60cm2B.80cm2C.100cm2D.120cm2

5.已知口48。的三边长分别为Q,b,c,且满足Q15）2+|b-17|+（c-8）2=0,则□力8c是（）

A.以°为斜边的直角三角形B.以人为斜边的直角三角形

C.以c为斜边的直角三角形D.非直角三角形

6.如图，以△4BC的三边为直径，分别作三个半圆，三个半圆的面积分别为与，52,S3.若$+52=53，

判断是不是直角三角形，并说明理由.

（七）归纳总结

勾股定理及其逆定理

勾股定理

勾股定理

的逆定理

（六）感受中考

1.（江苏南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.2,3,4C.4,6,7D.5,11,12

2.（2023年山东荷泽）口儿?。的三边长”，h,c满足（4-6y+怎反J+|c-3或|=0,则□48c是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形

3.（2025年江苏扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法

则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写

出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；……根据上述规律，写出

第⑤组勾股数为.

4.（2021年浙江杭州）如图，在直角坐标系中，以点力⑶1）为端点的四条射线力氏AC,AD,力E分别

过点点点。3,4）,点、E&,2）,贝W84C-DAE（填，中的一个）.

（七）布置作业

1.必做题：习题20.2第I,2题.

2.探究性作业：习题20.1第6题.

20.2勾股定理的逆定理及其应用（第2课时）导学案

一、学习目标

1.应用勾股定理的逆定理解决实际问题，发展应用意识。

2.进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识，发展推理能力。

学习重点：应用勾股定理及其逆定理解决数学问题和实际问题。

学习难点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决问题。

二、学习过程

（一）复习引入

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为。，b,斜边长为c,那么

勾股定埋的逆定埋：如果二角形的二边长b,。满足/+。2=/,那么

利用勾股定理的逆定理，可以解决•些实际问题.

（二）合作探究

例2如图，港口P位于东西方向的海岸线.匕“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿•固定方

向航行，“远航”号每小时航行16nmile,嗨天”号每小时航行12nmile.它们离开港口1.5h后分别位于点。,

R处，且相距30nmile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行?

例3如图，在四边形ABC。中，AB=5,BC=3,AD=QC=，.如果ACLBC,判断4c与A。是否也

垂直，并说明理由.

（三）典例分析

LA,B,C三地的两两距离如图所示，4地在8地的正东方向，C地在3地的什么方向?

c

2.如图，在四边形ABC。中，AB=3,BC=4,CD=\2,AD=\3,N8=90。.求四边形ABC。的面积.

（四）巩固练习

1.如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图,按标准，四边形48CQ四个角都应是直角，他在挖完后测

量发现Z8=CZ)=6m,AD=BC=Sm,AC=BD=\Om,则他挖的地基（填“合格”或“不合格”）

AD

第1题图第2题图

2.如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长30m,40m和50m,已知40m长的边线为南北向，则30m

长的边线方向为（）

A.东西向B.东北向C.东南向D.西北向

3.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是400m/min,甲客轮用30min到达4处，乙客轮用40min到

达8处.若力，分两处的直线距离为20000m,甲客轮沿着北偏东3。。的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是

（）

A.北偏西30。B.南偏西30。C.南偏东60。D.南偏西60。

4.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其

中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5

里，12里，13里，问这块沙田的面积为（）

A.30平方里B.32.5平方里C.60平方里D.65平方里

5.高师傅有5根长度（单位:dm）分别为a=6,b=S,c=10,d=24,e=26的钢条,准备选3根焊接•个直

用三角形钢架.请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合.

6.如图，在四边形48co中，已知力4=20m,