历年高考数学真题(全国卷)

参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中R表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试选择题复数=A2+IB2—IC1+2iD1-2i2、已知集合A＝｛1。3.}，B＝{1，m}，AB＝A，则m=A0或B0或3C1或D1或33椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为A+=1B+=1C+=1D+=14已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A2BCD1（5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为（A）（B)(C）（D)（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，｜a|=1，|b｜=2，则(A）（B）（C）(D)(7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=,则cos2α=（A)(B）（C)(D)(8）已知F1、F2为双曲线C:x²—y²=2的左、右焦点，点P在C上，｜PF1｜=｜2PF2｜，则cos∠F1PF2=(A）（B）（C）(D）(9）已知x=lnπ，y=log52，，则(A)x＜y＜z（B)z＜x＜y(C）z＜y＜x(D)y＜z＜x（10）已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c＝（A）—2或2（B)-9或3（C)—1或1（D）-3或1(11)将字母a，a,b，b,c，c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B)18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝。动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)10二。填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。（注意：在试题卷上作答无效）（13)若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。（14）当函数取得最大值时，x=___________。（15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为_________。（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=50°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。三。解答题：(17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c,求c.（18）（本小题满分12分）(注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2,PA=2，E是PC上的一点,PE=2EC。（Ⅰ)证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A—PB—C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.19。（本小题满分12分）(注意：在试题卷上作答无效）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次,依次轮换。每次发球,胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0。6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中,甲先发球。（Ⅰ)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率;（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。（20）设函数f(x）=ax+cosx，x∈[0，π]。（Ⅰ)讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.21。（本小题满分12分）（注意:在试卷上作答无效）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x—1）2+()2=r2（r＞0）有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l。(Ⅰ）求r；（Ⅱ)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D,求D到l的距离.22（本小题满分12分）（注意:在试卷上作答无效)函数f(x)=x2—2x-3,定义数列｛xn｝如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.（Ⅰ)证明：2xn＜xn+1＜3；（Ⅱ）求数列{xn｝的通项公式.高考数学(全国卷)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。1。复数，为z的共轭复数，则（A）-2i(B）-i（C）i(D）2i2.函数的反函数为（A）(B）(C)(D)3。下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是(A)（B）(C）（D)4.设为等差数列的前n项和,若，公差，则k=（A)8（B）7（C)6(D）55。设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A）（B）3（C)6(D)96.已知直二面角，点为垂足，为垂足，若,则D到平面ABC的距离等于(A）(B)（C）(D)17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4为朋友,每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（A)4种(B)10种（C)18种(D）20种8。曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（A）(B）（C）(D)19。设是周期为2的奇函数，当时，，则(A)（B)（C）(D)10.已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A、B两点，则（A)(B）（C）(D)11。已知平面截一球面得圆M,过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N，脱该球面的半径为4。圆M的面积为，则圆N的面积为（A)(B)（C）(D)12.设向量满足，则的最大值对于(A）2(B）(C)（D）1二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写。13.的二项展开式中,的系数与的系数之差为。14.已知，，则。15.已知分别为双曲线的左、右焦点，点，点M的坐标为，AM为的角平分线,则.16.已知点E、F分别在正方体的棱上,且,,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17。（本小题满分10分）的内角A、B、C的对边分别为。已知，求C18.（本小题满分12分)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0。3,设各车主购买保险相互独立.（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(Ⅱ)X表示该地的100为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。19。(本小题满分12分)如图，四棱锥S-ABCD中，,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2，CD=SD=1。(Ⅰ）证明：;（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。20。(本小题满分12分）设数列满足（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：。21。(本小题满分12分）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q,证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。22。（本小题满分12分)（Ⅰ)设函数，证明：当时,(Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为,证明:普通高等学校招生全国统一考试一．选择题(1)复数（A）(B)(C）12—13（D)12+13(2)记,那么A.B.-C.D.-（3）若变量满足约束条件则的最大值为（A）4（B)3(C)2(D)1（4）已知各项均为正数的等比数列｛｝，=5,=10，则=（A)（B）7（C)6（D)(5)的展开式中x的系数是(A)—4（B)-2（C）2（D）4(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有（A)30种(B）35种(C）42种（D)48种(7）正方体ABCD—中，B与平面AC所成角的余弦值为ABCD(8)设a=2,b=In2,c=,则Aa〈b〈cBb<c<aCc〈a〈bDc〈b<a（9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点p在C上，∠p=，则P到x轴的距离为(A)(B)(C）（D）（10）已知函数F（x）=|lgx｜,若0〈a〈b，且f（a)=f(b),则a+2b的取值范围是（A)（B）（C)(D）（11）已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么的最小值为（A)(B）（C)（D)(12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（A)(B)（C）(D)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(注意：在试题卷上作答无效）(13）不等式的解集是。（14）已知为第三象限的角，,则。（15）直线与曲线有四个交点，则的取值范围是。(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点,线段的延长线交于点,且，则的离心率为。三．解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）已知的内角，及其对边，满足,求内角．（18)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审,则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用,否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．（I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数,求的分布列及期望．（19）(本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图,四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC,ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.（Ⅰ)证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE—C的大小.(20）（本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知函数。(Ⅰ）若，求的取值范围;（Ⅱ）证明:。（21)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.（Ⅰ）证明:点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程.（22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知数列中，.（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围.普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1）设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7,8，9｝，全集U=AB，则集合(AB）中的元素共有（A）3个（B）4个（C)5个（D）6个（2）已知=2+I,则复数z=(A)—1+3i（B)1-3i(C）3+I（D)3-i（3）不等式＜1的解集为(A）｛x（B）(C）(D)(4）设双曲线(a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（A）(B）2（C）（D)(5)甲组有5名同学,3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(A）150种（B）180种（C）300种（D）345种（6）设、、是单位向量，且·＝0,则的最小值为(A)(B）（C）（D)(7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（A）（B）（C）(D)（8）如果函数的图像关于点中心对称,那么的最小值为（A）（B)（C）(D）(9）已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为(A)1（B）2(C）—1（D）-2(10）已知二面角α—l-β为600，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为(A)(B）2(C）(D)4(11)函数的定义域为R,若与都是奇函数，则(A)是偶函数(B)是奇函数(C）（D）是奇函数（12）已知椭圆C:的又焦点为F，右准线为L，点,线段AF交C与点B。若，则=(A）（B）2（C）(D）3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）（13)的展开式中，的系数与的系数之和等于.（14)设等差数列的前n项和为.若=72,则=.(15）直三棱柱-各顶点都在同一球面上。若∠=,则此球的表面积等于.(16)若，则函数的最大值为。三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知,且，求b。18．(本小题满分12分)（注意:在试题卷上作答无效）如图,四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2.点M在侧棱SC上，∠ABM=60。(Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点;(Ⅱ）求二面角S—AM-B的大小。(19)（本小题满分12分）(注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。（1）求甲获得这次比赛胜利的概率;（2）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求的分布列及数学期望。（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）在数列中,.设，求数列的通项公式；求数列的前项和.21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效)如图，已知抛物线与圆相交于四个点。（I）求的取值范围:(II）当四边形的面积最大时,求对角线的交点的坐标。22．（本小题满分12分）（注意:在试题卷上作答无效）设函数有两个极值点（Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b,c）和区域;（Ⅱ）证明：普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1．函数的定义域为（）A． B．C． D．2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（）sstOA．stOstOstOB．C．D．3．在中，，．若点满足，则（)A． B． C． D．4．设,且为正实数，则（）A．2 B．1 C．0 D．5．已知等差数列满足,，则它的前10项的和()A．138 B．135 C．95 D．236．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（)A． B． C． D．7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2 B． C． D．8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（)A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位9．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为(）A． B．C． D．10．若直线通过点，则(）A． B． C． D．11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为（）DBCAA．96 B．84 C．60 DBCA第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．13．若满足约束条件则的最大值为．14．已知抛物线的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．在中，,．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．16．等边三角形与正方形有一公共边,二面角的余弦值为,分别是的中点，则所成角的余弦值等于．三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分)设的内角所对的边长分别为，且．（Ⅰ）求的值;（Ⅱ)求的最大值．18．(本小题满分12分)CDEAB四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．CDEAB(Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设与平面所成的角为,求二面角的大小．19．（本小题满分12分）已知函数,．（Ⅰ)讨论函数的单调区间；(Ⅱ）设函数在区间内是减函数,求的取值范围．20．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．(Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．21．（本小题满分12分）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．（Ⅰ)求双曲线的离心率;（Ⅱ)设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．（本小题满分12分)设函数．数列满足，．（Ⅰ)证明：函数在区间是增函数；（Ⅱ）证明：;（Ⅲ）设，整数．证明:．全国普通高考全国卷一（理）一、选择题1．是第四象限角，，则A．B．C．D．2．设a是实数，且是实数，则A．B．1C．D．23．已知向量，，则与A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．已知双曲线的离心率为2，焦点是,，则双曲线方程为A．B．C．D．5．设，集合，则A．1B．C．2D．6．下面给出的四个点中，到直线的距离为，且位于表示的平面区域内的点是A．B．C．D．7．如图,正棱柱中,，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．8．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则A．B．2C．D．49．，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．的展开式中，常数项为15,则n=A．3B．4C．5D．611．抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,，垂足为K，则△AKF的面积是A．4B．C．D．812．函数的一个单调增区间是A．B．C．D．二、填空题13．从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答）14．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则____________。15．等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为______.16．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为__________。三、解答题17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c，（Ⅰ）求B的大小;(Ⅱ)求的取值范围。18．某商场经销某商品，根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40。20.20。10.1商场经销一件该商品,采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元,表示经销一件该商品的利润。(Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（Ⅱ）求的分布列及期望.19．四棱锥中，底面ABCD为平行四边形,侧面底面ABCD，已知,，，。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小。20．设函数(Ⅰ）证明：的导数;（Ⅱ)若对所有都有，求a的取值范围.21．已知椭圆的左右焦点分别为、,过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：;（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。22．已知数列中，，，（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列中,，，,证明：,

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013大纲全国，理1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()．A．3B．4C．5D．62．(2013大纲全国，理2)＝()．A．－8B．8C．－8iD．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()．A．－4B．－3C．－2D．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()．A．(－1,1)B．C．(－1,0)D．5．(2013大纲全国，理5)函数f(x)＝(x＞0)的反函数f－1(x)＝()．A．(x＞0)B．(x≠0)C．2x－1(x∈R)D．2x－1(x＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝，则{an}的前10项和等于()．A．－6(1－3－10)B．(1－310)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()．A．56B．84C．112D．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()．A．B．C．D．9．(2013大纲全国，理9)若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是()．A．[－1,0]B．[－1，＋∞)C．[0,3]D．[3，＋∞)10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()．A．B．C．D．11．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若，则k＝()．A．B．C．D．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是()．A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B．y＝f(x)的图像关于直线对称C．f(x)的最大值为D．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sinα＝，则cotα＝__________.14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sinAsinC＝，求C19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{an}的通项，证明：a2n－an＋＞ln2.

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：B解析：由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素．故选B.2．答案：A解析：.故选A.3．答案：B解析：由(m＋n)⊥(m－n)?|m|2－|n|2＝0?(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0?λ＝－3.故选B.4．答案：B解析：由题意知－1＜2x＋1＜0，则－1＜x＜.故选B.5．答案：A解析：由题意知＝2y?x＝(y＞0)，因此f－1(x)＝(x＞0)．故选A.6．答案：C解析：∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝.∴数列{an}是以为公比的等比数列．∵a2＝，∴a1＝4.∴S10＝＝3(1－3－10)．故选C.7．答案：D解析：因为(1＋x)8的展开式中x2的系数为，(1＋y)4的展开式中y2的系数为，所以x2y2的系数为.故选D.8．答案：B解析：设P点坐标为(x0，y0)，则，，，于是.故.∵∈[－2，－1]，∴.故选B.9．答案：D解析：由条件知f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即在上恒成立．∵函数在上为减函数，∴.∴a≥3.故选D.10．答案：A解析：如下图，连结AC交BD于点O，连结C1O，过C作CH⊥C1O于点H.∵CH⊥平面C1BD，∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2，则，.由等面积法，得C1O·CH＝OC·CC1，即，∴.∴sin∠HDC＝.故选A.11．答案：D解析：由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4.①由∵，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④由①②③④解得k＝2.故选D.12．答案：C解析：由题意知f(x)＝2cos2x·sinx＝2(1－sin2x)sinx.令t＝sinx，t∈[－1,1]，则g(t)＝2(1－t2)t＝2t－2t3.令g′(t)＝2－6t2＝0，得.当t＝±1时，函数值为0；当时，函数值为；当时，函数值为.∴g(t)max＝，即f(x)的最大值为.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：解析：由题意知cosα＝.故cotα＝.14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有(种)．15．答案：解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y＝a(x＋1)过定点C(－1,0)，由图并结合题意可知，kAC＝4，∴要使直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点，则≤a≤4.16．答案：16π解析：如下图，设MN为两圆的公共弦，E为MN的中点，则OE⊥MN，KE⊥MN，结合题意可知∠OEK＝60°.又MN＝R，∴△OMN为正三角形．∴OE＝.又OK⊥EK，∴＝OE·sin60°＝.∴R＝2.∴S＝4πR2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{an}的公差为d.由S3＝得3a2＝，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理得cosB＝，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.19．(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，故CD⊥平面PBD.又PD平面PBD，所以CD⊥PD.取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，则FG∥CD，FG⊥PD.连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．连结AG，EG，则EG∥PB.又PB⊥AE，所以EG⊥AE.设AB＝2，则AE＝，EG＝＝1，故AG＝＝3.在△AFG中，FG＝，，AG＝3，所以cos∠AFG＝.因此二面角A－PD－C的大小为.解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.设||＝2，则A(，0,0)，D(0，，0)，C(，，0)，P(0,0，)．＝(，，)，＝(0，，)．＝(，0，)，＝(，，0)．设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝(x，y，z)·(，，)＝0，n1·＝(x，y，z)·(0，，)＝0，可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.取y＝－1，得x＝0，z＝1，故n1＝(0，－1,1)．设平面PAD的法向量为n2＝(m，p，q)，则n2·＝(m，p，q)·(，0，)＝0，n2·＝(m，p，q)·(，，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．于是cos〈n1，n2〉＝.由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为.20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝，P(X＝2)＝P(·B3)＝P()P(B3)＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.21．(1)解：由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，求得.由题设知，，解得a2＝1.所以a＝1，b＝.(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1·x2＝.于是|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，|BF1|＝＝＝3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝.故，解得k2＝，从而x1·x2＝.由于|AF2|＝＝＝1－3x1，|BF2|＝＝＝3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝，f′(0)＝0.若，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是.(2)证明：令.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即．取，则.于是＝＝ln2n－lnn＝ln2.所以.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则()．A．A∩B＝B．A∪B＝RC．BAD．AB2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()．A．－4B．C．4D．3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为()．A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()．A．[－3,4]B．[－5,2]C．[－4,3]D．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()．A．cm3B．cm3C．cm3D．cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()．A．3B．4C．5D．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝()．A．5B．6C．7D．810．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()．A．B．C．D．11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则()．A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：B解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.∴集合A与B可用图象表示为：由图象可以看出A∪B＝R，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴.故z的虚部为，选D.3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵，∴.∴a2＝4b2，.∴渐近线方程为.5．答案：A解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]．综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，所以球的体积为(cm3)，故选A.7．答案：C解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.∵Sm＝ma1＋×1＝0，∴.又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴.∴m＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×＋4×2×2＝8π＋16.故选A.9．答案：B解析：由题意可知，a＝，b＝，又∵13a＝7b，∴，即.解得m＝6.故选B.10．答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，∴①－②，得，即，∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而＝kAB＝，∴.又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.∴椭圆E的方程为.故选D.11．答案：D解析：由y＝|f(x)|的图象知：①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.当x＝0时，不等式为0≥0成立．当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2＜－2，∴a≥－2.综上可知：a∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，∴0＝t|a||b|cos60°＋(1－t)，0＝＋1－t.∴t＝2.14．答案：(－2)n－1解析：∵，①∴当n≥2时，.②①－②，得，即＝－2.∵a1＝S1＝，∴a1＝1.∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.15．答案：解析：f(x)＝sinx－2cosx＝，令cosα＝，sinα＝，则f(x)＝sin(α＋x)，当x＝2kπ＋－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值，即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，所以cosθ＝＝＝sinα＝.16．答案：16解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称，∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，即解得∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，得x1＝－2－，x2＝－2，x3＝－2＋.易知，f(x)在(－∞，－2－)上为增函数，在(－2－，－2)上为减函数，在(－2，－2＋)上为增函数，在(－2＋，＋∞)上为减函数．∴f(－2－)＝[1－(－2－)2][(－2－)2＋8(－2－)＋15]＝(－8－)(8－)＝80－64＝16.f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f(－2＋)＝[1－(－2＋)2][(－2＋)2＋8(－2＋)＋15]＝(－8＋)(8＋)＝80－64＝16.故f(x)的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，化简得cosα＝4sinα.所以tanα＝，即tan∠PBA＝.18．(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，，)．设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即可取n＝(，1，－1)．故cos〈n，〉＝＝.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝.(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝.所以X的分布列为X400500800PEX＝＝506.25.20．解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝.若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得，解得k＝.当k＝时，将代入，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝.所以|AB|＝.当时，由图形的对称性可知|AB|＝.综上，|AB|＝或|AB|＝.21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.23．解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈都成立．故≥a－2，即.从而a的取值范围是.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝()．A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()．A．－1＋iB．－1－IC．1＋iD．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()．A．B．C．D．4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()．A．－4B．－3C．－2D．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝()．A．B．C．D．7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()．A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()．A．B．C．1D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()．A．x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()．A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()．A．(0,1)B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝__________.14．(2013课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝__________.15．(2013课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若，则sinθ＋cosθ＝__________.16．(2013课标全国Ⅱ，理16)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．18．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．19．(2013课标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．20．(2013课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a＞b＞0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．21．(2013课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(2013课标全国Ⅱ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．(2013课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2).

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A.2．答案：A解析：＝＝－1＋i.3．答案：C解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，∴＝q＋10，整理得q2＝9.∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.4．答案：D解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.5．答案：D解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为(0≤r≤5，r∈Z)，则含x2的项为＋ax·＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.6．答案：B解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1；当k＝2时，，；当k＝3时，，；当k＝4时，，；…；当k＝10时，，，k增加1变为11，满足k＞N，输出S，所以B正确．7．答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：则它在平面zOx上的投影即正视图为，故选A.8．答案：D解析：根据公式变形，，，，因为lg7＞lg5＞lg3，所以，即c＜b＜a.故选D.9．答案：B解析：由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得，所以.10．答案：C解析：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．11．答案：C解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)＋(y－y0)y＝0.将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由＝2px0，得，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直