综合与实践 音乐与数学 课件(共33张) 数学人教版八年级下册

综合与实践

音乐与数学1.探究音乐律制数学原理，理解数学对音乐发展的支撑作用.2.学会用函数、坐标系分析乐谱，提升数学建模与应用能力.3.体会数学与音乐融合，增强跨学科探究及团队协作素养.大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语.嘈嘈切切错杂弹，大珠小珠落玉盘.间关莺语花底滑，幽咽泉流冰下难.冰泉冷涩弦凝绝，凝绝不通声暂歇.别有幽愁暗恨生，此时无声胜有声.银瓶乍破水浆迸，铁骑突出刀枪鸣.曲终收拨当心画，四弦一声如裂帛.如何用数学描述音乐呢？

我们常说，丝竹之声，天籁之音，是指音乐能给人听觉上的享受，唐代诗人白居易在千古名篇《琵琶行》中，对琵琶女弹奏琵琶有过精彩的描述：活动准备1.查阅资料，了解乐音的四个基本要素—音强、音高、音值、音色.2.乐音的音高与声波的振动频率有关，查阅资料，了解这两者之间的关系.3.了解弦的振动频率与弦长的关系.乐音的四个基本要素：(1)音高是指声音的高低，由声波的振幅决定.振幅越大，音强越强；人耳感受到的音量也越大.(2)音强是指声音的强弱，由声波的振动频率决定.频率越高，音高越高；反之则越低.(3)音值是声音持续时间的长短.(4)音色又称“音质”.由声波的波形决定，不同乐器或人声的波形不同，因此音色也不同.2.弦的振动频率与弦长的关系：弦长越短，振动频率越高，音高也越高.弦长越长，振动频率越低，音高也越低.如：若一根弦长为

L

时频率为

f，当弦长缩短为

时，频率将变为

2f，恰好升高一个八度.探究1：探究音乐律制中蕴含的数学原理任务1

我们知道，有些声音混合在一起，听上去十分悦耳，也有些声音混合在一起听着非常刺耳，查阅资料回答什么样的声音合奏起来比较和谐，你能从数学角度解释吗？当两个或多个声音的频率比为简单整数比时，听起来会比较和谐.原理：简单整数比的声波叠加后，波形的周期更短、规律更强，人耳会感知到稳定、悦耳的效果.典型和谐音程：纯八度：频率比为2:1；纯五度：频率比为3:2；纯四度：频率比为4:3；刺耳的声音：频率比为复杂无理数(如

1:2​)时，声波叠加后的波形无明显周期，人耳会感知到混乱、不和谐的效果.任务2

古代音律学家很早就知道声音悦耳的秘密，由此，音乐家发明了各种制定音乐律制的方法，著名的有中国古代的三分损益法，利用这种方法可以生成“宫、商、角、微、羽”五声音阶，而西方的五度相生律可以生成被命名为“毕达哥拉斯音阶”的七声音阶，查阅资料了解这两种音乐律制的制谱方法，它们有什么共通之处吗？

2.五度相生律（西方）制音逻辑：以纯五度（频率比3:2）为基础，从基准音出发，连续向上相生11次生成12个音，最终得到七声音阶（毕达哥拉斯音阶）.生成步骤：从C音出发，每次向上纯五度得到G、D、A、E、B等音，再通过向下纯五度得到F等音，形成完整音阶.

答：共通之处:核心音程一致：两者均以纯五度(频率比3:2)为核心相生音程，本质是基于相同的整数比例关系.数学基础同源：都依赖“弦长与频率成反比”的物理规律，通过弦长的整数比例运算生成新音.局限相同：都存在“十二律无法闭合”的问题，即连续相生12次后无法回到初始音的高八度，导致转调受限.任务3

三分损益法、五度相生律这一类制谱方法有个共同的问题：它们所生成的音阶都不能回归本律，即质得到的音和最初的音不能形成八度关系，这给音乐作品的转调带来了困难以三分损益法为例，你能从数学角度解释为什么存在上述不足吗？

十二次生律后的结果:当按“损一、益一”交替的方式生律12次后，最终得到的频率是初始基音频率的：

这个值不等于

2n

(n为整数，代表八度倍数)，说明最终音高与初始基音无法构成精确的八度关系.根本原因:

27=128二者的比值约为1.0136，这就是“古代音差”，导致无法回归本律.任务4

为了弥补上迷不足，中国历代音律学家不断探索，直到明代律学家朱载堉(1536一1611)创立了十二平均律，上述问题才得以彻底、完整的解决.(1)查阅资料，了解十二平均律的制谱方法.十二平均律的制谱方法：十二平均律是将一个八度（频率比为2:1）等分为12个半音的律制.从一个基音出发，每相邻两个音的频率比为一个固定的“密率”.无论从哪个音开始，经过12个半音后，都能精确回到高八度的音，完美解决了三分损益法“不能回归本律”的转调难题.(2)由前面的研究可知，十二平均律中相邻两个音的频率之比相等，朱载棛称之为“密率”(见《律吕精义》)，事实上，“密率”是一个无理数，朱载堉通过他自制的一个81档双排位大算盘（图1）成功地算出了“密率”的估计值，将其精确到了25位有效数字，这在当时条件下是难以想象的，他是世界历史上将数学与音乐完美结合的杰出律学家，试列式计算十二平均律中相邻两个音的频率之比的值.设相邻两个音的频率比为

r，一个八度包含

12

个相邻音程，频率比为2，则r12＝2

这个值就是朱载堉所说的“密率”，是一个无理数.例1

以《保卫黄河》片段为例，明确五线谱中“音高对应纵坐标、时间对应横坐标”，分析音符位置与坐标的映射(如高音(do)对应特定坐标)，尝试用函数刻画音高随时间变化(若音高不变，为常函数；若变化，分析规律)，绘制旋律曲线.解：以《保卫黄河》“风在吼”片段为例：设高音谱表横坐标

x为时间(每拍

x＋1)，纵坐标

y为音高(中音do＝2，re＝3，mi＝4，sol＝6)；“风”(中音mi，1拍)：y＝4(常函数)(0≤x≤1)；“在”(中音sol，1拍)：y＝6(常函数)(1≤x≤2).旋律曲线由水平线段衔接，音高变化呈阶梯式跳跃，对应坐标点连线即可呈现.归纳总结：五线谱可转化为平面直角坐标系模型，音高是时间的函数，通过确定横纵轴意义、映射音符坐标，实现乐谱的数学刻画.例2尝试自制水瓶乐器，对比音准，解释数学对乐器制作的作用（如比例、频率计算保障音准）.【知识背景】兴趣小组计划（用同种型号的玻璃瓶）制作一组水瓶乐器.根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，瓶中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同：水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高.探究2：从函数角度分析乐谱【数据记录】兴趣小组成员进行了多次实验，发现频率

f随水位高度

h的变化是均匀的，并记录了水瓶不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如表：水位高度

h(cm)510152025频率

f(Hz)260290320350380通过查阅资料，列出以下音名与频率对照表（部分），一种音名代表一个水瓶.音名A4C4D4E4F4G4频率

f(Hz)440.0261.6293.7329.6349.2392.0探究3：乐器的分析与制作根据以上信息，解答下列问题：（1）求出该种水瓶乐器的频率

f关于水位高度

h

的函数解析式；（不需写出自变量

h的取值范围）（2）已知水瓶乐器中的水量是随水位高度均匀变化的：当水位高度为5cm时，所使用的水量为100mL.若进行演奏音名A4，请求出演奏A4时所使用到瓶子中的水量.解：(1)频率

f与水位高度

h的之间为一次函数关系，可设频率

f关于水位高度

h的函数解析式为

f＝kh＋b.由条件可得解得∴频率

f关于水位高度

h的函数解析式为f＝6h＋230.5k

+b=260，

10k

+b=290，k=6，

b=230.(2)由条件可知当

f＝440.0时，有6h＋230＝440.0，解得

h＝35.即演奏A4所使用到的瓶子的水位高度为35cm.∵水瓶乐器的水量与水位是均匀变化的，当水位高度为5cm时，所使用的水量为100mL，∴演奏A4所使用到的瓶子的水量为35÷5×100＝700（mL）.归纳总结乐器制作依赖数学知识（如长度、频率比例），通过分析、实践，理解数学在乐器设计与音准控制中的关键价值.音乐与教学音乐律制原理:三分损益法、五度相生律问题:转调困难(数学运算特性)突破：十二平均律乐谱分析模型：五线谱→平面直角坐标系方法：音符坐标映射、函数刻画音高变化实践：绘制旋律曲线，理解音乐规律乐器制作依据：数学知识(长度、频率关系)实践：分析一自制一对比1.【问题情境】排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成.如图①，现要利用若干根长为200mm的相同吸管制作简易排箫.【实验操作】将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关仪器测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表：不同长度吸管吹出声音的频率长度x(mm)200150120100806050振动频率y(Hz)4355807258701