两角和与差的正弦、正切公式及其应用课件2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第4章三角恒等变换4.2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用学

习

目

标12掌握两角和与差的正弦、正切公式的推导过程，熟记公式并能灵活运用；能利用公式进行三角函数值的计算、化简与简单证明，解决与三角恒等变换相关的基础问题。通过两角和与差的余弦公式推导正弦、正切公式，体会“转化与化归”的数学思想，提升逻辑推理、运算求解和数学抽象素养。新课引入

带着这个问题，今天我们就来学习《4.2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用》，通过已有知识推导新的公式，解决这类三角运算问题，进一步完善三角恒等变换的知识体系。互动探究两角和的正弦公式两角和与差的正弦、正切公式及其应用

=sinαcosβ+cosαsinβ互动探究两角差的正弦公式两角和与差的正弦、正切公式及其应用提问2：结合两角和的正弦公式，大家能否将sin(α-β)转化为sin[α+(-β)]，推导得出两角差的正弦公式？利用sin(-β)=-sinβ、cos(-β)=cosβ的奇偶性，代入和角公式化简用-β替换β，推导两角差的正弦公式sin(α-β)=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ汇总推导结果，明确两角差的正弦公式，对比和角公式，总结“和差符号一致”的规律。互动探究两角和与差的正切公式两角和与差的正弦、正切公式及其应用

提示：分子分母同时除以cosαcosβ（需满足cosα≠0、cosβ≠0、cos(α±β)≠0），化简后得到正切和差公式。

互动探究两角和与差的正切公式两角和与差的正弦、正切公式及其应用公式分子分母符号记忆口诀：“分子同，分母反”——分子符号与前面一致，分母符号与前面相反互动探究公式结构特征分析两角和与差的正弦、正切公式及其应用

公式结构特征记忆口诀余余正正，符号反同名积，符号反正余余正，符号同异名积，符号同分式结构，分子同分母反分子同，分母反统一规律：余弦：同名函数相乘（余·余+正·正）正弦：异名函数相乘（正·余+余·正）正切：由正弦/余弦导出，体现”弦化切”思想讲解知识公式体系网络两角和与差的正弦、正切公式及其应用

两角和与差的三角函数公式

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余弦公式

正弦公式

正切公式

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cos(α+β)cos(α-β)sin(α+β)sin(α-β)tan(α+β)tan(α-β)

联系：诱导公式

联系：诱导公式

联系：tan=sin/cos

特征：同名积，符号反

特征：异名积，符号同

特征：分子同，分母反讲解知识公式成立条件两角和与差的正弦、正切公式及其应用公式成立条件注意事项对任意实数都成立对任意实数都成立正切有定义，且分母不为零

讲解知识常用变形公式两角和与差的正弦、正切公式及其应用

典例分析题型1求具体角的值例1.求下列各式的值：(1)sin75°(2)tan15°(3)sin17°cos13°+cos17°sin13°

(1)(2)具体而不特殊的角，分解为特殊角，再用相应的公式求值;(3)逆用公式，把非特殊角拼成特殊角。典例分析题型2给值求值

典例分析题型2给值求值

第一步：求其他三角函数值

(1)求sin(α+β)

(2)求tan(α-β)

典例分析题型3角的变换技巧

步骤1：展开已知条件

步骤2：解方程组

步骤3：求比值

典例分析题型4化简与证明

技巧总结：当角度中含有变量x时，注意观察变量是否能消去，从而得到特殊角。典例分析题型4化简与证明

证明：左边展开两角和的正弦、余弦公式：分子：sinαcosβ+cosαsinβ-2sinαcosβ=cosαsinβ-sinαcosβ=sin(β-α)；分母：2sinαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(β-α)；

规律总结：三角恒等式证明的关键是利用两角和差公式展开化简，将复杂表达式转化为简单的三角函数式，注意公式的正用、逆用和变形用。典例分析题型5求角

求值

求角

先选择适当的三角，求角的值在一定范围内，求角。范围要小，以防增根当堂练习

当堂练习

当堂练习

当堂练习

当堂练习

学海拾贝知识小结类别核心内容公式体系1.推导源头：两角和与差的正弦、正切公式均由余弦和角公式推导2.核心公式：共3类（正弦、余弦、正切），牢记符号规律公式应用1.求非特殊角的三角函数值2.已知单角三角函数值，求两角和/差的三角函数值3.三角式化简与三角恒等式证明关键技巧1.公式正用、逆用、变形灵活使用2.先判断角的范围，确定三角函数值符号3.正切公式注意定义域等适用条件学海拾贝易错点提醒混淆正弦和差公式的符号，牢记“和差一致”；混淆正切和差公式的分子分母符号，牢记“和差相反”；应用正切公式时，忽略适用条件（tanα、tanβ、tan(α±β)有意义）；已知角的三角函数值求未知值时，忽略角的范围对三角函数值符号的影响，导致计算错误；忽略公式的逆用和变形用，导致运算繁琐。学海拾贝学习感悟本节课我们通过转化与化归