辽宁省沈阳市2026年高三下学期教学质量监测(二)数学试题（含答案）

2026年沈阳市高中三年级教学质量监测(二)数学命题：沈阳市第二十七中学李刚、沈阳市第二中学季爱民、沈阳市第二十四中学温琳静主审：沈阳市教育研究院王孝宇1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.答题时请按要求用笔。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。3.请按照题号公众号一刀数学顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.保持卡面清洁。本试卷共4页，考试结束后，将答题卡交回。第I卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1.已知平面向量a=(-1,2),b=(x,-2),若a⊥b,则x的值为()A.-4B.-1C.1D.42.已知全集U=Z,集合A={x∈ZI(x+2)(x-1)≥0},则CvA=()A.(-1,0)B.(-2,1)C.{0}D.{-1,0}3.若以直线2x±3y=0为渐近线的双曲线经过点(3√2,2),则该双曲线的方程为()4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S₅=35,S₁0=120,则a₈=()A.13B.15C.17D.195.“(ax+1)⁶的展开式中x²的系数为60”是“a=2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A.20B.22CO52535455A.0.3B.0.4C.0.58.已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,w>0,0<φ<π)的图象满足以下特征：图象经过点(0,√3),并且在y轴右侧的第一个零点为,第一个最低点为则下列有关函数f(x)及其性质的描述正确的是D.函数f(π)的单调递减区间为(k∈Z)C.z=1+i10.若正四面体的表面积为√3,则()B.若点P是曲线y=f(zx)上的动点，则点P到直线y=x+2距D.若过点A(0,a)可以作曲线y=f(x)的三条切线，则第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。13.在△ABC中，已知A=2B,a=8,b=5。则cosB=014.已知椭圆C:的左、右焦点分别为F,F₂,离心率为若椭圆C上存在不同的两 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本题满分13分)在数列{an}中，a₁=2,an+1=3aπ-2。(2)设bn=an+n,求数列{bn}的前n项和Sn。16.(本题满分15分)某科技公司研发的AI智能体在进行图像分类任务时，单次分类的准确率得分X(单位：分)服从正态分布N(90,32)。(1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率；(2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分。测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查。请问测试人员的判断是否合理?请说明理由。附：若X～N(μ,o²),则P(μ—σ≤X≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2o≤X≤μ+2σ)=0.9545,P(μ-3o≤X≤μ17.(本题满分15分)如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2,且[三棱柱示意图](1)证明：AB⊥A₁C;(2)若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为3,求平面A₁CC₁与平面A₁CB₁所成角的余弦值。18.(本题满分17分)已知抛物线E:z²=2py(p>0),过焦点F的直线与抛物线E相交于A,B两点，与抛物线E的准线相交于点Q。若以线段AF为直径作圆，当此圆经过点时，(3)若点C,D在抛物线E上，且线段CD的中点在直线y=x上，点求△PCD面积的最大值。19.(本题满分17分)由于人类对某种小型濒危动物的长期保护，使得其种群数量偏离平衡值的波动量y=f(z)(单位：千只)与时间x(单位：月)满足函数f(z)=e⁻¹cosx(x>0),其函数图象呈现“往复波动，渐趋平衡”的特征。定义：若函数g(x)在(a,+∞)上满足：1.震荡性：g'(x)在(a,+∞)上无限次正负交替；2.衰减性：任意给定正实数m,存在实数n,使得当x>n时，lg(x)|<m。则称g(x)为震荡衰减函数。(1)求f(x)在(0,2π)内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0(不必证明)?(2)根据定义判断函数f(x)在(0,+∞)上是否为震荡衰减函数。如果是，给出证明；如果不是，说明理由。(3)设h(x)=|f(x)|+|f'(x)|(x>0)。求证：h(x)无最大值。2026年沈阳市高中三年级教学质量监测(二)参考答案及评分标准求的.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.若λ>0,则,即,所以若λ<0,由于椭圆的对称性，可得λ=-1.综.(1)因为a+=3a„-2→a+-1=3(an-1),……3分所以a,-1=3”-¹.(2)由(1)知aₙ=3”⁻¹+1,又因为bn=aₙ+n=3”⁻¹+(n+1),……9分(1)准确率得分X～N(90,3²),即μ=90,σ=3.由于99=90+3×3,……2分可知P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.9973.即P(81≤X≤99)=0.9973,(2)测试人员的判断是合理的.(1)证明：因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2.取AB中点为0,连接CO、A₁O.所以AB⊥平面A₁OC.……5分(2)设A₁到平面ABC的距离为h.三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=SAʙch=√3h=3,所以h=√3.所以A₁O⊥平面ABC.……7分 以0为坐标原点，OB,OC,OA方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,√3,0),A₁(0,0,√3).所以CA₁=(0,-√3,√3),CC₁=AA₁=(1,0,√3),AB₁=AB=(2,0,0).……8分设平面A₁CC₁的一个法向量为n=(x₁,y1,z),取z₁=1,则n=(-√3,1,1).……10分设平面A₁CB的一个法向量为n₂=(x₂,y₂,z₂),……14分所以平面A₁CC₁与平面A₁CB₁所成角的余弦值为……15分(1)解法1:抛物线E:x²=2py的焦点为,准线为由抛物线定,故设,代入抛物线方程得x²=p(1-p).解法2:抛物线E:x²=2py的焦点为,准线为解法2:设过焦点的直线方程为,与抛物线x²=y联立得直线与准线的交点Q的坐标(k≠0).由抛物线定由三角形相似，计代入.得到(3)设CD的中点为(t,t),C(x₃,y₃),D(x₄,y₄),则x₃+x₄=2t,y₃+y₄=2t.………………11分结合y₃=x₃²,y₄=x₄²,得x₃²+x₄²=2t,进而x₃x₄=2t²-t.直线CD的方程为2tx-y-2t²+t=0,面积S=√t(1-t)(2r²-2t+1)(无范围11分)………………12分………………13分…14分……15分求导得S'(u)=-6u²+1,令S'(u)=0,解得,并且S(u)上单调递增，上单调递减.……16分此时…17分当时，f'(x)<0;当时，f'(x)>0,答：在这些极值点处，波动量的增长速率为0.……6分(2)由第1问知，因是周期为2π的周期函数.当x>0时，