九师联盟 2026 届高三3月30联考数学+答案

考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足,则z=A.—2+2iB.—2—2iC.-2+i3.已知集合A={x|(x-a)(x+1)≤0}(a>0),B={x∈N|tx=6,t∈N·〉,若BA,则实数a的取值范围是A.(6,十∞)B.(6,十∞)C.(3,十∞)D.(3,十∞)4.已知等差数列{an}的前n项和为S,若a₃+ag=20,S₇=28,则a₁=A.19B.255.已知直线l:mx+y-m=0(m∈R)与圆C:x²+(y-1)²=4交于A,B两点，则|AB|的最小值为A.√2C.2√2A.a>0,b≤0,c<0B.a>0,b≥0,c<0C.b+c>0D.1【3月30日·数学第1页(共4页)】DDCC8.已知函数f(x)=cos2x,存在x₁,x₂,满足设m=|x₁—x₂|min,函数g(x)=A.若M的极差为9,则a=10B.若M的80%分位数是6,则a=4C.若M的平均数为3,则a=2D.若M的方差为6.8,则a=110.已知函数,则A.y=f(x+1)+4为奇函数D.若a>-1,则f(x)在(一2,a)上存在最【3月30日·数学第2页(共4页)】D₁E⊥平面ABCD,且D₁E=DE.已知函数f(x)=ax+1—1n(2x+【3月30日·数学第3页(共4页)】18.(本小题满分17分)线交C于A,B两点.(2)若D(0,2)为C的上顶点，斜率为k的直线l与C交于M,N两点(异于C的上、下顶点),记直线(i)若k₁=1,k₂=-2,求l的方程；19.(本小题满分17分)某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点.初始时有2个节点在线(假设在线的不再宕机),3个为宕机(停摆，不能正常工作).每个月系统随机等概率地巡查1个节点：若该节点为宕机，则修(2)证明(3)已知每个宕机节点每个月会造成2万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第1个月开始的n个月内的经济损失的总期望.【3月30日·数学第4页(共4页)】高三数学参考答案、提示及评分细则a≥6.故选A.4.B法1:设{an}的公差为d,由a₃+ag=20,得2a₆=20,即a₆=10.由Sa₄=4,所以,所以a=a₆+5d=10+15=25.故选B.解得d=3,a₁=-5.所以a1=a₁+10d=-5+10×3=25.故选B.6.D由题意知0<a<1,c<0,b的符号不确定，故A,B错误；若b0,因为c<0,由f(x)在(-∞,0)上单调递减，满足1,即3+3<2,又3+3°>2√34+,所以2√3+<2,所3c>3“—1,即3“+3<2,故D正确.故选D.PF⊥平面ABC,PA=PC,可得AF=CF,又BO是线段AC的中垂线，所以F在,所以三棱锥P-ABC的体积.故选A.,则当且仅当f(x)=1,f(x₂)=-1时等号成立，所以2x₁=2k解得x₁=k₁π(k₁∈Z),十k2π(k₂∈Z),所以3cosx,cos3x=cos(2x+x)=cos2axcosx-sin2xsinx=(2eosx←1)cosx-2s【3月30日·数学参考答案第1页(共6页)】9.AB对于A,因为a∈N,其极差为9,所以a-1=9,所以a=10,故A正确；对于B,M中共5个数，5×80%=4,则80%分位数是从小到大排列后第4个数和第5个数的平均数，因为80%分位数是6,则必有一数小于6,一数大于6,故=6,解得a=4,故B正确；对于C,由解得a=1,故C错误；对于D,M的平均数为,所以,化简得a²-7a+6=0,解得a=1,或a=6,故D错误.故选AB.10.AC显然y=f(x+1)+4是奇函数，所以A正确；f'(x)=x²-2x-3=(x+1)(x-3),易得f(x)在(-∞,-1),(3,十∞)上单调递增，在(-1,3)上单调递减，所以f(x)在x=3处取得极小值，故B错误；f(4)=5,f(4)=-7,故曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程为y—(一7)=5(x—4),即5x-y-27=0,故C正确；由上知f(x)在x=-1处取得极大值11.ACD由题意知,解得p=2,故C的方程为y²=4x,F(1,0);设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).对于A,因为|FA|=3,由抛物线的定义，得1+x₁=3,解得x₁=2,又y₁>0,y²=8,所以y₁=2√2,此时l的斜率为,所以不存在直线l,使得,故B错,由上知△ABD的面积为,所以|AB|,解得|A'F|·|B′F|=8√3,故D正确.故选ACD.x-⁵,T₃=40x⁻²,T₅=80x,其系数和为1+40+80=121.13.法1:双曲线(的右顶点A(a,0),不妨取渐近线方程为.设—4ma+3a²=0,由题意知该关于m的方程有解，所以·3a²≥0,可得a²≥3b²=3(c²—a²),即3c²≤4a²,所以,又e>1,所以,即C的离心率的取值范围是所以D到C的渐近线bx±ay=0的距离满足,即2b≤c,所以4(c²—a²)≤c²,所以3c²≤4a,又e>1,所以,即C的离心率的取值范围为2【3月30日·数学参考答案第2页(共6页)】所以D到C的渐近线bx±ay=0的距离满足即2b≤c,所以4(c²-a²)≤c²,所以3c²≤4a²,所以e≤,又e>1,所以,即C的离心率的取值范围为(2【3月30日·数学参考答案第2页(共6页)】2(1)若b-1=1,则由amk=b,得3+(m-1)b=b·2"-¹,所以所以a+c=ac……………由余弦定理，得²=a²+c2²-2accosB,即4一(ac所以(a+c)²-3(a+c)=4,解得afe=4:1………………………11分所以a=c=2,又b=2,所以△4BC为等边三角形，又∠ABM=∠CBM,所以BMA………因为AD//BC,所以AD⊥DE.【3月30日·数学参考答案第3页(共6页)】x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,-√3,0),D(o,—√3,0),D₁(0,0√3),C(-1,0,0),B(1,0,0),设平面ADD₁的一个法向量m=(x,y,z),则令y=1,解得x=0,z=-1,因为AD//BC,所以AD⊥DE.因为D₁E⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以AD⊥D₁E………又ADC平面ADD₁,所以平面ADD₁⊥平面DD₁E.因为ED=ED₁,H为DD₁的中点，所【3月30日·数学参考答案第3页(共6页)】又BGC平面ABD₁,所以平面ABD₁⊥平面ADD₁…………7分(2)解：由(1)知EB,ED,ED₁两两垂直，以E为原点，直线EB,DE,ED₁D(o,一√3,0),D₁(0,0,↓3),C(-1,0,0),B(1,0,0),又C₁=BB₁=DD₁=(0,√3,√3),所以C(-1√3,√3),,……………………9分设平面ADD₁的一个法向量m(x,y,z),则令y=1,解得x=0,z=-1,所以m=(0,1,41)………设平面BD₁F的一个法向量n=(a,b,c),则令b=1,解得a=-√3,c=3,所以n=(-√3,1,3)…………………………13分所以平面ADD₁与平面B₁D₁F的夹角的余弦值为……………17.解：(1)f(x)的定义域),且当a>0时，令f(x)>0,得：令h(x)=g'(x),则所以h(x),即g'(x)在[0,十∞]上单调递增，从而g'(x)≥g'(0)=2-4………………8分当2-a≥0,即a≤2时，g'(x)≥0,则g(x)在[0,+∞]上单调递增，从而gex]g(0)=0,(1,十∞)上单调递增，所以p'(x)>p'(1)=e-2>0,从而p(x)在(1,+∞)上单调递增，所以p(x)>p(1)=e-1>0,故e²>x²(x>1).……由零点存在定理及g'(x)在(0,+∞)上单调递增可知存在唯一的),使得g'(zo)=0………………13分4【3月30日·数学参考答案第4页(共6页)】所以当0<x<xo时，g'(x)<0,则g(x)在(0,xo)上单调递减，从而g(x)<g(0)=0,此时不符合题综上，a的取值范围为(-∞,2).………………………18.解：(1)设F₂的坐标为(c,0),由题意知,所以a=√3c,又a²=b²+c²,所以b=√2c……………由椭圆的对称性知∠AF₁设p(x)=e-x²(x>1),则p'(x)=e—2x,令m(x)=p'(x),则m'(x)=e-2>0,则m(x),即p'(x)在(1,十∞)上单调递增，所以p'(x)>p'(1)=0,故e'>x²(x>1)……………………11分【3月30日·数学参考答案第4页(共6页)】综上，a的取值范围为(-∞,2)………又a²=b²+c²,所以b=√2c……………2分(i)若M=1,k₂=-2,则直线DM,DN的