北京市朝阳区2026届高三下学期一模试题 数学 含解析

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学试卷2026.3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】因为，，所以，故.2.复数的实部与虚部的和是（）A. B. C.0 D.2【答案】C【解析】【详解】因为复数的实部为1，虚部为，所以实部与虚部的和是.3.已知等差数列的前项和为，，则（）A.10 B.15 C.20 D.25【答案】B【解析】【详解】在等差数列中，，所以.4.已知向量，，.若，，三点共线，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【详解】，，若，，三点共线，则，解得.5.设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【详解】如图所示，由双曲线方程可知，，则其右焦点的坐标为，渐近线方程为，取其中一条渐近线，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，则右焦点到该渐近线的距离为，且为直角三角形，，所以，因此.6.已知函数（），则的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由，得，而，则，所以的所有零点之和为.7.设，，则“且”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可得到答案．【详解】若且，则，，所以，但不能保证，例如当，时，满足且，但，即充分性不成立；若，则，，所以，，即必要性成立，所以“且”是“”的必要不充分条件．故选：B8.已知函数，，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】A.由时，，的值域判断；BC.由时，令，用导数法判断；D.由时，令，用导数法判断.【详解】当时，，，所以，，故A错误；时，令，则，令，则，所以在上递增，又，，所以，有，即，当时，，递减；当时，，递增；又，则，即，，故C正确；B错误；时，令，则，易知在上递增，则，则在上递增，所以，即恒成立，故D错误.9.某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型（，，，），其中为初始学习率，为衰减率，为衰减步长，为训练步数，为第步时的学习率.现有两种学习率衰减策略和，初始学习率相同，策略的参数为，，策略的参数为，.已知当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的2倍，当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的8倍，则（）（参考数据：）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】写出不同策略对应的学习率公式，当时，分别列出不等式，结合参考数据，计算后，再根据，求得，进而判断两者关系，即可选择.【详解】根据题意，策略的学习率，策略的学习率；当时，由题可知：，即，也即，两边取对数可得：，故，又，故，又，且为策略的学习率首次大于策略的学习率的倍，故；当时，由题可知：，即，也即，两边取对数可得：，故，又，故，又，且为策略的学习率首次大于策略的学习率的倍，故；故，也即.故选：A.10.已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（）A.50 B.51 C.52 D.53【答案】C【解析】【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值.【详解】因为，由选项可知的最大值大于3，若对任意的，，，存在，使得，则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，即或或，若，则，解得，此时的最大值为51；若，则，解得，此时最大值为52；若，则，解得，此时的最大值为52；综上所述：的最大值为52.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在的展开式中，常数项是__________．（用数字作答）【答案】24【解析】【详解】分析：根据展开式的通项公式，令的指数为，即可求得答案.详解：展开式的通项公式为令，即.的展开式中，常数项是故答案为24.点睛：本题考查了二项式定理应用问题，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键.12.已知抛物线，则的准线的方程为______；若圆分别与直线和轴都相切，且圆心在上，则圆的半径为______.【答案】①.②.【解析】【分析】根据抛物线方程求出准线方程，设出圆心坐标，根据题意列方程求出圆心坐标，半径即为圆心到轴的距离.【详解】由抛物线可知的准线的方程为，因为圆心在上，设圆的圆心坐标，又因为圆分别与直线和轴都相切，所以，解得或，所以圆的半径.13.已知点，点（，）为圆：上的动点，若，则的一个取值为______.【答案】(区间内的值都对)【解析】【详解】设，已知点，则，点（，）为圆：上的动点，当时，，此时，由，得.14.已知菱形的边长为1，，将沿折起，得到三棱锥.当平面平面时，______；当平面平面时，三棱锥的体积为______.【答案】①.②.##【解析】【分析】利用面面垂直的性质、线面垂直的性质，结合勾股定理及锥体体积公式计算得解.【详解】在边长为1的菱形中，，则是正三角形，在三棱锥中，取中点，连接，则，由平面平面，平面平面，平面，得平面，又平面，则，而，因此；取中点，连接，由，得，则是二面角的平面角，又平面平面，于是，由，得，，又，所以三棱锥的体积.15.设无穷数列的前项和为，且对于任意，（且），给出下列四个结论：①存在，使得是常数列；②任意，不是递增数列；③存在，使得是周期数列（即存在，对任意，）；④任意，既有最大值，又有最小值.其中正确结论的序号是______.【答案】②③【解析】【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出通项公式，再逐一判断各个结论即可.【详解】在无穷数列中，，，当时，，两式相减得，而，即，当时，数列是首项为，公比为的等比数列，，当时，，当时，，对于①，当时，不是常数列；当时，若是常数列，则，即，解得，此方程无解，因此不是常数列，①错误；对于②，当时，，不是递增数列，当时，，若，则恒成立；若，则随的增大，正负相间变化，即不可能恒大于0，因此数列不是递增数列，②正确；对于③，当时，，数列是周期为的周期数列，③正确；对于④，取，则，正项趋向，负项趋向，数列没有最大值和最小值，④错误.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，.（1）求；（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得满足条件的有两个，求这两个三角形的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）满足条件①的三角形有且只有1个；满足条件②或③的三角形有两个，这两个三角形的面积分别为和.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角及二倍角的正弦求解.（2）选条件①，由两边及夹角确定三角形，不符合题意；选条件②，利用正弦定理求出，再利用和角的正弦公式及三角形面积公式求解；选条件③，利用余弦定理及三角形面积公式求解.【小问1详解】在中，由及正弦定理，得，即，而，则，又，所以.【小问2详解】选择条件①，，而，，则唯一确定，不符合题意.选择条件②，，由正弦定理得，，则，，，当时，，因此的面积；当时，，因此的面积，所以这两个三角形的面积分别为和.选择条件③，，由余弦定理，得，即，解得或，当时，的面积；当时，的面积，所以这两个三角形的面积分别为和.17.如图，在四棱锥中，底面是梯形，，点是的中点，平面与交于点.（1）求证：；（2）若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明平面，得证；（2）由余弦定理和勾股定理证明，建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】，平面，平面，则有平面，平面，平面平面，所以.【小问2详解】，，则为等边三角形，连接，则，又，有，中，由余弦定理，得，有，得，所以，又平面，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量，有，设，则，即，设直线与平面所成角为，则.18.某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分100分）与其使用场景密切相关.该团队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类，为了调研用户对人工智能助手的满意度评分情况，现从这两类用户中各随机抽取100人，记录他们的满意度评分，将数据分成6组：，，，，，，并分别整理得到如下两个频率分布直方图：现规定满意度评分在80分及以上的满意度评级为，在区间的满意度评级为，在60分以下的满意度评级为.用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立.（1）求的值；（2）从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取2人，从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取1人，设为抽出的3人中满意度评级为A的人数，估计的分布列和数学期望；（3）该研究团队又对另外两款人工智能助手，进行了同样的调研，估计出其学习场景用户的满意度评级为A的概率分别为0.3，0.35.现分别从使用，，这三款人工智能助手的学习场景用户中各随机抽取1人，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为或.设，，判断，的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）；（2）01230.450.41250.1250.0125；（3）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1求解.（2）分别求出学习、工作场景用户评级为的概率，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.（3）求出分别取的概率，再利用分布的方差公式求出方差，进而比较大小.【小问1详解】依题意，，所以.【小问2详解】依题意，学习场景用户评级为的概率为，工作场景用户评级为的概率为，的所有可能值为，，，，，所以的分布列为：01230.450.41250.1250.0125数学期望【小问3详解】由（2）及已知，得，，，显然服从分布，因此，，所以.19.已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合离心率公式求出即可.（2）设点，求出直线的方程及点的坐标，再设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量共线的坐标表示推理得证.【小问1详解】由椭圆：的下顶点为，得，由的离心率为，得，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】设直线的方程为，点，则点，直线的方程为，直线的方程为，联立解得点，由消去得，则，，而点，则，，即，又有公共点，则点三点共线，所以直线经过点.20.已知函数，，其中.（1）求的最大值；（2）若在区间上有且只有一个零点，证明：在区间上有且只有一个零点，且；（3）对于（2）中的，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的最大值.（2）利用导数确定函数的单调性，再利用零点存在性定理推理得证.（3）结合（2）的结论，等价变形所证不等式，构造函数，再利用导数证得即可.【小问1详解】函数定义域为，求导得，当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，所以当时，函数取得最大值.【小问2详解】当时，由，求导得，函数在上递增，而，又在区间上有且只有一个零点，则，因此，且，由（1）知，函数在上递减，，因此函数在区间上有且只有一个零点，且，又函数，且，因此，又当时，，，所以，即.【小问3详解】由（2）得，即，不等式，令函数，求导得，令函数，求导得，函数在上递增，则，即，函数在上递增，因此，即，所以.21.若数列：，，…，（）满足如下两个性质，则称数列：①，，…，是1，2，…，的一个排列；②，，…，是1，2，…，的一个排列.（1）判断数列：1，4，3，2和数列：5，1，4，2，3是否为数列？说明理由；（2）若数列：，，…，满足，，求证：数列：，，…，不是数列；（3）若数列：，，…，（）为数列，求的最小值.【答案】（1）数列不是数列，是数列．（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据数列的定义判断即可；（