山西省吕梁市2026届高三上学期期末调研测试数学试卷（含解析）

山西省吕梁市2026届高三第一学期期末调研测试数学试题一、单选题1．复数的虚部为（

）A． B． C． D．2．双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．3．等差数列中，，则（

）A．28 B．56 C．63 D．674．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，，则（

）A． B． C． D．5．若事件与相互独立，，则（

）A．0.9 B．0.85 C．0.7 D．0.66．已知函数的定义域为，若，则的解析式一定不是（

）A． B．C． D．7．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线及准线从右往左依次交于点，若，则以为直径的圆被轴截得的弦长为（

）A． B． C． D．8．现有一平行四边形纸片如图，已知，将其折成一个三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．数据的第25百分位数为2B．若随机变量，且，则C．变量关于变量的经验回归方程为，则样本点的残差为-1D．在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小10．在2025年乒超联赛总决赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2､3､4､⋯堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球．记第堆第一层的乒乓球数为，第堆乒乓球的总数为，则（

）（参考公式：）A．B．C．D．11．已知中，角的对边分别为，且满足，则（

）A．B．C．面积的最大值为1D．三、填空题12．已知集合，，则__________．13．已知且，则__________．14．已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围为__________．四、解答题15．已知函数的部分图像如图所示．(1)求的解析式；(2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度得到函数的图象，若在上单调递增，求实数的取值范围．16．为深入贯彻落实党的二十大关于“深化全民阅读活动”的重要精神和二十届四中全会关于“激发全民族文化创新活力”的战略部署，推进书香社会建设，某社区随机调查了500名居民每周的阅读时间（单位：小时），将全部样本数据分成九组，得到频率分布直方图，如图所示．

(1)求的值；(2)根据频率分布直方图，估计该社区居民每周阅读时间的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(3)为进一步了解居民阅读偏好，从阅读时长在和的居民中，采用等比例分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行深度访谈．记阅读时长在内的人数为，求的分布列和数学期望．17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面．(1)若，求证：平面；(2)若是等边三角形，求平面与平面夹角的正弦值．18．已知椭圆的离心率为，且过点分别为椭圆的左､右焦点．(1)求椭圆的方程；(2)过作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于点和，弦和的中点分别为．①证明：直线过定点；②求面积的最大值．19．已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；(3)求证：．参考答案1．A【详解】根据复数的基本概念可得复数的虚部为.故选：A．2．D【详解】双曲线方程化为标准方程：，焦点在轴上，故，所以其渐近线方程为.故选：D．3．A【详解】由等差数列的性质，可得，可得，所以.故选：A．4．B【详解】因为三个力作用处于平衡状态，且，，所以，所以.故选：B．5．C【详解】由题，因为事件与相互独立，所以事件与相互独立，所以，故，，所以.故选：C.6．B【详解】这四个函数的定义域都是，，，得为奇函数，对于选项A，，，为奇函数，故选项A可以是；对于选项B，，，是偶函数，故选项B一定不是；对于选项C，，，是奇函数，故选项C可以是；对于选项D，，，是奇函数，故选项D可以是.故选：B．7．C【详解】抛物线的焦点，准线方程为，由对称性不妨令点在第一象限，法一：如图，，过B作准线的垂线，垂足为，由，得，

则，即直线AB的倾斜角为，直线方程为，设，由，得，则，即以为直径的圆的半径为，而中点到轴距离，所以以线段为直径的圆被轴截得的弦长为.故选：C法二：记中点为M，分别过作准线的垂线，垂足分别为，则，即以AB为直径的圆与抛物线准线相切，由，得，则，即直线AB的倾斜角为，，又M到y轴的距离，所以以线段AB为直径的圆被轴截得的弦长为.故选：C

8．B【详解】如图所示，图（1）中，过点作，因为，可得，按虚线折叠即可，可得该三棱锥对棱相等，且三组对棱分别为，将该三棱锥补全到图（2）中的长方体中，此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球，设长方体的棱长分别为，可得，所以，即其外接球半径，故外接球表面积为.故选：B．9．AC【详解】对于A选项，数据共有6个数，则，所以第25百分位数为2，故A正确；对于B选项，由，得，故B错误；对于C选项，当时，，所以样本点的残差为，故C正确；对于D选项，在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，故D错误；故选：AC．10．ACD【详解】对于A选项，由题意可知，当时，，所以当时，故A正确；对于B选项，，所以，因为且，所以，即，故B错误；对于C选项，，故C正确；对于D选项，，，，故D正确．故选：ACD．11．BCD【详解】对于A，由，可得，所以，令，则，所以为减函数，所以，所以，则，又由，可得，所以A错误；对于B，由于，可得，所以B正确；对于C，由于，当且仅当时取等号，所以C正确；对于D，由且，可得，所以，所以D正确．故选：BCD．12．【详解】因为，所以或，即或，由集合的互异性知且且，即且，所以．故答案为：.13．【详解】由得，所以，解得或（舍去），因为，所以，即．故答案为：14．【详解】由函数，可得，（1）当时，，在上单调递增，在上单调递减，所以为的极大值点，不合题意：（2）当时，令，则或，①当时，即时，在和上单调递增，在上单调递减，所以为的极大值点，不合题意；②当时，即时，，所以在上单调递增，不合题意：③当时，即时，在和上单调递增，在上单调递减，故为的极小值点，适合题意，综上可得，，所以实数的取值范围为.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）解：由函数的图像，可得，所以，则，又由，可得，即，可得，可得，因为，所以，所以.（2）解：由（1）知：，可得，令，因为，可得，因为在上单调递增，可得，解得，所以实数的取值范围为.16．(1)(2)小时(3)分布列见解析；期望为2【详解】（1）由题，解得.（2）由频率分布直方图的数据可得阅读时间的平均数为小时.（3）由频率分布直方图可得阅读时长在与的居民分别有人，人，所以抽取的6人中阅读时长在的人数为人，在的人数为人，所以随机变量的可能取值有，，所以随机变量的分布列为X123P故随机变量的数学期望.17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为，所以，又平面平面，且面面，面，所以直线面，又平面，所以，又，所以，，所以，从而，又平面，所以平面.（2）以AB的中点为原点所在直线为轴，所在直线为轴，如图所示：，则，由题知平面，故取向量为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，，令，解得，故，设平面与平面的夹角为，所以平面与平面的夹角的余弦值为：，由图可知平面与平面所成的角为锐角，所以平面与平面的夹角的正弦值为：.18．(1)(2)①证明见解析；②【详解】（1）由题意，得，解得，∴椭圆的方程为．（2）①因为椭圆的方程为，当直线的斜率存在且不为0时，设，直线的方程为，如下图所示：联立直线和椭圆方程并整理得，，，则直线的方程为，同理，用代换可得，∴当时，，∴直线的方程为，由对称性知，若过定点，此定点一定在轴上．当时，，解得，∴直线恒过定点，当时，直线的方程为：，过定点当或不存在时，直线的方程为：，过定点，综上直线过定点，②易知，令，则，由于在上单调递增，故当，即时，.所以面积的最大值为.19．(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）当时，，定义域为，，所以切线斜率为，因为，所以切点坐标为，设切线方程为，代入得，整理得：；（2