21.3.3正方形教学课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

第二十一章

四边形21.3特殊的平行四边形

21.3.3正方形第1课时平行四边形从一般到特殊矩形一个角是直角菱形一组邻边相等角特殊化边特殊化？1.理解并掌握正方形的概念、性质.2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别.3.能够运用正方形性质解决几何问题，感受正方形在生活中的应用.矩形正方形〃〃观察矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢?

菱形∟∟∟∟正方形菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢?矩形〃〃正方形一组邻边相等〃〃发现：一组邻边相等的矩形是正方形

菱形一个角是直角正方形∟发现：一个角为直角的菱形是正方形正方形性质边角对角线图形语言

文字语言

符号语言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟对边平行，四条边都相等

四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC,AB=BC=CD=AD.∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8.12345678正方形是轴对称图形，它的对称轴是什么？【想一想】对角线所在直线和对边中点所确定的直线根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等四边都相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等√√√√√√√√√√√√√√正方形不但具备一般的平行四边形的性质，而且同时具备矩形和菱形的性质.√√平行四边形矩形四边形菱形正方形四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系【试一试】求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.ABCDO【例1】已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO，△BCO，△CDO，【例题】四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，经测EC=50m，EB=30m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？ADBCE【解析】连接AC.∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AB=BC.∵EC=50m，EB=30m，∴S正方形ABCD=(40)2=1600(m2)，∴∴【跟踪训练】正方形定义有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.正方形的四个角都是直角,四条边相等.性质正方形的对角线相等且互相垂直平分.正方形是轴对称图形，有四条对称轴平行四边形矩形菱形正方形有一组邻边相等(或对角线互相垂直)有一个角是直角(或对角线相等)有一个角是直角(或对角线相等)有一组邻边相等(或对角线互相垂直)有一组邻边相等，有一个角是直角（定义）

A

C3.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，∠BCD＝∠DCE＝90°．∴∠ACB＝45°．∵CE＝AC，∠CAE＋∠E＝∠ACB，∴∠E＝22.5°，∴∠AFC＝∠DCE＋∠E＝90°＋22.5°＝112.5°．ABDCEF4.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A,B,C,D.李明和张华在边AB上取了一点E，EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？ADBCE

6.（2025年浙江）【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD，

又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)；6.（2025年浙江）【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．【数学理解】(2)若裁剪过程中满足DE=DA，求“机翼角”∠BAE的度数．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，∵DE=DA，∴∠DAE=∠DEA，∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，∴∠DAE=∠DEA=67.5°，∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=22.5°．第二十一章

四边形21.3特殊的平行四边形

21.3.3正方形第2课时1.什么是正方形？正方形有哪些性质？ABCD正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.O正方形性质：①四个角都是直角；

②四条边都相等； ③对角线相等且互相垂直平分.2.你是如何判定矩形、菱形的？思考：怎样判定一个四边形是正方形呢？平行四边形矩形菱形四边形三个角是直角四条边相等定义四个判定定理定义对角线相等定义对角线垂直1.理解并掌握正方形的判定和推导过程．2.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明．由正方形的定义可知，有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．

平行四边形正方形一组邻边相等，且有一个角是直角除此之外，还有没有其他判定方法呢？王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式，于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示），让王芳看丝巾是否完全重合；见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合.王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾.

你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？探究1准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形.正方形猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等对角线互相垂直猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.ABCDO证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO.又∵AC⊥DB，∴AB=BC.∴四边形ABCD是正方形.1.如图，在矩形

ABCD

中，∠ABC

的平分线交对角线

AC

于点E，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别是F，G.判断四边形

EFBG

的形状，并证明你的结论.解：四边形EFBG是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°.又EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE=∠BGE=90°，∴四边形EFBG是矩形．∵BE为∠ABC的平分线，∴EF=EG，∴矩形EFBG是正方形．ADBCEFG【跟踪训练】探究2把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，看是不是正方形.猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？正方形菱形一个角是直角对角线相等已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=45°+45°=90°，∴四边形ABCD是正方形.猜想：对角线相等的菱形是正方形.ABCDO2.如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，点D，B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD，AB，CD，CB，∠ADO=45°．求证：四边形ABCD是正方形.证明:∵四边形AECF

是菱形，∴AC⊥EF，OA=OC，OE=OF．∵DE=BF，∴OE+DE=OF+BF，即DO=BO，∴四边形ABCD

是平行四边形．又AC⊥BD，∴四边形ABCD

是菱形．∵∠ADO=45°，∴∠ADC=2∠ADO=90°．∴四边形ABCD

是正方形．【跟踪训练】正方形判定的几条途径：先判定菱形先判定矩形平行四边形正方形①一组邻边相等且有一个直角②对角线相等且垂直正方形①有一个直角；②对角线相等矩形条件(二选一)正方形①一组邻边相等；②对角线垂直菱形条件(二选一)例

如图，E，F，G，H

分别是正方形ABCD

四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH

是正方形.ABDCFHEG123分析：要证明四边形EFGH

是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG

全等得出.

ABDCFHEG123

任意四边形平行四边形正方形矩形菱形5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角且一组邻边相等一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定1.如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．若AB＝AC，则当△ABC满足∠A＝______时，四边形DAEF是正方形．90°2.如图是用尺规过点P作直线l的垂线的两种方法，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是(