电子技术基础 课件 第7章 逻辑代数基础

第7章逻辑代数基础7.1数制与码制7.2逻辑代数运算7.3逻辑代数的数学描述7.4逻辑代数的化简7.5逻辑代数的描述方法及转换数字电路的基础知识电子电路中的信号模拟信号数字信号幅度随时间连续变化的信号例：正弦波信号。幅度不随时间连续变化,而是跳跃变化计算机中,时间和幅度都不连续,称为离散变量。tutu101010对应：

数字电路中的波形都是这类不连续的波形，通常将这类波形又统称为脉冲。数字逻辑和逻辑电平:我们所研究的数字信号是一种二值信号，我们用逻辑0和逻辑1来表示。例如：开关打开用逻辑1表示，而开关闭合用逻辑0表示。在数字电路中，我们用逻辑0和逻辑1来表示高电平和低电平。有两种逻辑体制：

正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。

负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。如果采用正逻辑，数字电压信号就成为下图所示逻辑信号

数码：由数字符号构成且表示物理量大小的数字和数字组合。

计数制（简称数制）：多位数码中每一位的构成方法，以及从低位到高位的进制规则。§7.1数制与码制一、数制几种常用的计数体制1.十进制（Decimal）2.二进制（Binary）3.十六进制(Hexadecimal)与八进制（Octal）数码为：0～9；基数是10。运算规律：逢十进一，即：9＋1＝10。十进制数的权展开式：1）十进制５５５５５×１０３＝５０００５×１０２＝５００５×１０１＝５０５×１００＝５＝５５５５103、102、101、100称为十进制的权。各数位的权是10的幂。同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。＋任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。即：(5555)10＝5×103

＋5×102＋5×101＋5×100又如：(209.04)10＝2×102

＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4×10－22）二进制数码为：0、1；基数是2。运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。二进制数的权展开式：如：(101.01)2＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝(5.25)10加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法规则：0·0=0，0·1=0，1·0=0，1·1=1运算规则各数位的权是２的幂二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。数码为：0～7；基数是8。运算规律：逢八进一，即：7＋1＝10。八进制数的权展开式：如：(207.04)8＝2×82

＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4×8－2＝(135.0625)103）八进制4）十六进制数码为：0～9、A～F；基数是16。运算规律：逢十六进一，即：F＋1＝10。十六进制数的权展开式：如：(D8.A)16＝13×161

＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10各数位的权是8的幂各数位的权是16的幂结论①一般地，N进制需要用到N个数码，基数是N；运算规律为逢N进一。②如果一个N进制数M包含ｎ位整数和ｍ位小数，即(an-1an-2…a1a0·a－1a－2…a－m)N则该数的权展开式为：(M)N

＝an-1×Nn-1

＋

an-2×Nn-2

＋…＋a1×N1＋

a0×N0＋a－1×N-1＋a－2×N-2＋…＋a－m×N-m表1几种计数进制数的对照表十进制二进制八进制十六进制00000001000111200102230011334010044501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F二、不同数制间转换：1、二进制、八进制、十六进制数转换为十进制数：按权相加法2、十进制数转换为二进制数：（1）整数：除基取余倒记法（2）小数：乘基取整正记法（3）一般十进制数：分解为整数和小数两部分，分别转换后，再合并整数部分采用除基取余法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。小数部分采用乘基取整法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。所以：(44.375)10＝(101100.011)2采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N进制数。225

余1122

余062

余032

余112

余10例1：整数(25)D=(11001)B0.8125

取整1例2：小数(0.8125)D=(0.1101)B21.6250.6252221.250.250.50.51

取整1

取整0

取整1注意：不是任何有限位的十进制小数都能化为有限位的二进制小数。例3：一般十进制数：(25.8125)D=(25)D+(0.8125)D=(11001)B+(0.1101)B=(11001.1101)Ba.二进制数转换为八进制数：将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。3.二进制数与八进制数的相互转换1101010.01000＝(152.2)8b.八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位二进制数表示。 =011111100.010110(374.26)8(10011100101101001000)B从末位开始三位一组=(10011

100101

101

001

000)B

=()O01554=(2345510)O324.二进制数与十六进制数的相互转换111010100.0110000＝(1D4.6)16=101011110100.01110110(AF4.76)16

二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。=(010111001011.01001000)B从小数点开始四位一组=(0101

1100

1011.

01001000)B

=()H84B.C5=(5CB.48)H(10111001011.01001)B

用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码。

用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位数的二进制数称为代码。

数字系统只能识别0和1，怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢？用编码可以解决此问题。

二-十进制代码：用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的0~9十个数码。简称BCD码。

用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码，因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421BCD码。三、编码常用BCD码十进制数8421码余3码5421码2421码01234567890000000100100011010001010110011110001001001101000101011001111000100110101011110000000001001000110100100010011010101111000000000100100011010010111100110111101111权842154212421

每一位十进制数都用四位二进制数示。

四位二进制数中的每一位都有固定的权值。（1）8421BCD码每一位的权值从高位到低位分别为：

BCD码具有十进制数的特点、二进制数的形式。是人-机对话的中间表示。23

,22

,21,20

即：8,4,2,1BCD码分为有权BCD码和无权BCD码1、有权BCD码：特点：1、每个十进制数用四位二进制数表示。3、8421码和十进制数之间直接按位转换。2、四位二进制数有16种状态组合，8421码只用了前十种，1010～1111六种没有使用，是禁用码。位权值00000100012001030011401005010160110701118100091001十进制数8421

例1:(37.86)10=(?)8421BCD=(00110111.10000110)8421BCD一位十进制数，用四位二进制数表示。例2:(011000101000.10010101)8421BCD=(?)10四位二进制数,可以表示一位十进制数。=(0110，0010，1000.1001，0101)8421BCD=(628.95)10十进制数位权值300114010051000610017101081011911000000010001200105421特点：1、每一位的权值从高位到低位分别为：5，4,2,1

2、前五位与8421码相同3、直接按权展开求十进制。（1011)5421BCD=1X5+0X4+1X2+1X1=(8)104、5421BCD码和十进制之间可直接按位转换。（645.89)10=(?)5421BCD

=(100101001000.10111100)5421BCD（2）5421BCD码特点：1、每一位的权值从高位到低位分别为：2，4，2，1

。2、前五位与8421码相同。3、直接按权展开求十进制。4、2421BCD码和十进制之间可直接按位转换。5、2421BCD码具有对9的自补特性。000011110001111000101101按位求反（3）2421BCD码特点：1、无权BCD码，没有确定的位权值。2、不能按位权展开求十进制。3、有自身特点，根据使用条件，按需选用。2、无权BCD码：特点：1、比8421BCD码多出0011所以称为余3码。余3码=8421码+00112、余3码，没有确定的位权值只能理解记忆和十进制之间的关系。3、余3码也是一种对9的自补代码。0011110001001011（1）、余三码7.2逻辑代数运算数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即0和1。一、基本逻辑运算设1表示开关闭合或灯亮；0表示开关不闭合或灯不亮，则得真值表。

与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。1．与运算若用逻辑表达式来描述，则可写为

真值表

ABF000010100111与逻辑符号:ABF&或运算——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。2．或运算

真值表

ABF000011101111或逻辑表达式：

或逻辑符号:ABF≥13．非运算“非”逻辑：决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。真值表0110AF非逻辑表达式：

非逻辑符号:1FA

二、其他常用逻辑运算2．或非

——由或运算和非运算组合而成。1．与非

——由与运算和非运算组合而成。FFFF3．与或非——由与运算、或运算和非运算组合而成。与或非逻辑的逻辑符号4．异或

逻辑关系：当两个变量取值相同时，输出为0；当两个变量取值不同时，输出为1。

异或的逻辑表达式为：Y5．同或

逻辑关系：当两个变量取值相同时，输出为1；当两个变量取值不同时，输出为0。

异或的逻辑表达式为：Y=A⊙B=17.3逻辑代数的数学描述1、18个基本公式0－1律重叠律互补律交换律结合律分配律反演律非非律分配律:

A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)求证:（分配律第2条）A+BC=(A+B)(A+C)证明:右边

=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;重叠律,AA=A=A(1+B+C)+BC;结合律=A•1+BC;1+B+C=1=A+BC;A•1=1=左边反演定理（德摩根定理）A•B=A+B

A+B=A•B用真值表证明ABA•BA+B1110000110111110证明:2、5个常用公式A⊙B()吸收律反变量吸收原变量吸收混合变量吸收吸收规则：原变量吸收规则:反变量吸收规则:A+AB=A+BA+AB=A+B注:红色变量被吸收掉！A+AB=A+AB+AB=A+(A+A)B=A+1•B;A+A=1=A+BA+AB=A证明:推广混合变量吸收规则:AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+ACAB+AB=AAB+AC+BC=AB+AC证明:

推论

证明：即=A⊙B同理可证A⊙B3、逻辑代数的基本规则1）代入规则

对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。

2）反演规则

将一个逻辑函数Y进行下列变换：

·→＋，＋→·；

0→1，1→0；

原变量→反变量，反变量→原变量。

所得新函数表达式叫做Y的反函数，用表示。利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数

例:

求以下函数的反函数：解：例:

求以下函数的反函数：解：

在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明（2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变

3）对偶规则

将一个逻辑函数Y进行下列变换：

·→＋，＋→·

0→1，1→0

变量保持不变

所得新函数表达式叫做Y的对偶式，用表示。3、逻辑代数的基本规则

对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。求函数+GH的对偶函数。解：第7章逻辑代数基础7.1数制与码制7.2逻辑代数运算7.3逻辑代数的数学描述7.4逻辑代数的化简7.5逻辑代数的描述方法及转换复习：逻辑代数的基本公式和常用公式1、基本公式0－1律重叠律互补律交换律结合律分配律反演律非非律2、5个常用公式A⊙B()吸收律反变量吸收原变量吸收混合变量吸收一、逻辑函数的公式法简法其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。2．逻辑函数的最简“与—或表达式”的标准

（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“·

”号最少。1．逻辑函数式的常见形式

一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如：逻辑函数化简的意义①使逻辑函数表达式变换为所需要的逻辑关系。②将逻辑函数化简为同一种逻辑功能，减少芯片种类

利用基本公式和常用公式，消去逻辑函数表达式中多余的乘积项和多余的变量，就可以得到最简单的“与—或”表达式，这个过程称为逻辑函数的公式法化简。运用公式

消去多余的乘积项。3．用公式法化简逻辑函数（2）吸收法（1）并项法运用公式

，将两项合并为一项，消去一个变量。A+AB=A，例：例：（4）配项法

（3）消去法运用公式，消去乘积项中多余的变量。通过公式，配项或增加多余项，再和其它项合并。例：

可见，在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。

再举几个例子：

解：例1：化简逻辑函数：

（利用

并项法）（利用A+AB=A吸收法）（利用

消去法）例2：反变量吸收提出AB=1提出A解：（利用反演律）例3：将Y化简为最简逻辑代数式。（利用）

（将当成一个变量，利用）

公式化简法的优点是不受变量数目的限制。缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。1、

最小项之和的形式----标准与或式最小项的概念：包含全部变量的乘积项,每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。

n变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。(2变量共有4个最小项)(3变量共有8个最小项)(4变量共有16个最小项)(n变量共有2n

个最小项)……7.4.1、逻辑函数的表达式最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用mi

表示。对应规律：原变量1

反变量0ABCm0m1m2m3m4m5m6m701234567000001010011100101110111

编号对应的十进制数使最小项为1的变量取值

最小项三变量逻辑函数的最小项（1）只有一种输入组合使对应的最小项为1，而其他的组合都使它为0。

最小项的性质：(2)任意两个最小项的乘积为

0

；(3)全体最小项之和为

1

。(4)逻辑相邻两个最小项之和，可以合并成一个乘积项逻辑函数的最小项表达式

任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为最小项表达式。

例：将逻辑函数转换成最小项表达式

＝m7+m6+m3+m1解：写F的表达式是将最小项为1的项相或：写F的表达式是将最小项为0的项相或：

例：写出下列函数的标准与或式：

解：

=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）

一、卡诺图的构成

7.4.3

逻辑函数的卡诺图化简法

将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做n变量的卡诺图。AB00011011

m0

m1

m2

m3AABBABAB1010m0m1m2m3

miABABAB二变量卡诺图

相邻最小项：

如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。

例如，最小项和就是相邻最小项。（2）三变量卡诺图

（1）二变量卡诺图（3）四变量卡诺图

仔细观察发现，卡诺图具有很强的相邻性：（1）位置相邻：只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。（2）首尾相邻：即某行或某列的首尾两个方格也是相邻的。∴卡诺图是上下、左右闭合的图形相邻相邻相邻相邻不相邻

二、用卡诺图表示逻辑函数

1．从真值表到卡诺图例：

某逻辑函数的真值表如表所示，用卡诺图表示该逻辑函数。解：

该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据真值表将8个最小项Y的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可。ABCY00000010010001101000101111011111逻辑相邻：相邻单元输入变量的取值只能有一位不同。0100011110

ABC00000111输入变量输出变量Y的值最小项表达式的填入：将构成函数的那些最小项的方格中填入1.11110000000000002．从逻辑表达式到卡诺图（1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。2．从逻辑表达式到卡诺图（2）如表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入。非标准”与或”表达式的填入方法：将每个与或表达式中的1用原变量表示，0用反变量表示，在卡诺图中找出交叉的方格填入1,其余填0.1111111110000000

①任何一个合并圈(即卡诺圈)所含的方格数为2n个。②必须按照相邻规则画卡诺圈：

（1）位置相邻：只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。（2）首尾相邻：即某行或某列的首尾两个方格也是相邻的。③2n个方格合并，消去n个变量。

三、逻辑函数的卡诺图化简法1．卡诺图化简逻辑函数的原理:在卡诺图中，凡是几何位置相邻的最小项均可以合并。2个相邻的最小项结合，可以消去1个取值不同的变量而合并为一项。A01111BC1000111101100ABC01000111101

1

111100011110000111101111111111

1

ABCD4个相邻的最小项结合，可以消去2个取值不同的变量而合并为一项。00000008个相邻的最小项结合，可以消去3个取值不同的变量而合并为一项。000111100001111011111

1

1

11111ABCD00002．用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）

（1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。（2）圈的个数尽量少。（3）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。（4）在新画的包围圈中至少要含有1个未被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。3．用卡诺图化简逻辑函数的步骤：（1）画出逻辑函数的卡诺图。（2）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。（3）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为1的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。

能大则大；能少则少；重复有新；一个不漏例1：化简卡诺图00011110000111101011111010110110ABCDDACBCY=D+AC+BC01234567121314891110150001111000011110CDABY=(A,B,C,D)=(0,2,3,5,7,8,9,10,11,12,13，14,15)1101111111101011ACDBDBD

例2:用卡诺图化简逻辑函数Y=A+CD+BD+BD例3:

用卡诺图化简逻辑函数：

Y(A,B,C,D)=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）0001111000011110CDAB1011111010111001ADCABD例4:

某逻辑函数的真值表如表所示，用卡诺图化简该逻辑函数。有两种画圈的方法：由真值表画出卡诺图。Y

ABC010001111011011110

ABC010001111011011110

通过这个例子可以看出，一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。

无关项：①任意项：输入变量取值为0或1对输出变量没有影响。②约束项：输入变量的某些取值不可能出现。例1：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。解：设红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为1，灯灭为0。车用F表示，车行F=1，车停F=0。列出该函数的真值表。如本例函数可写成F=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）显而易见，在这个函数中，有5个最小项为无关项。分别为000、011、101、110、111。带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为：F=∑m（）+∑d（）红灯A绿灯B黄灯C车F000Χ00100101011Χ1000101Χ110Χ111Χ交通信号灯真值表5、具有无关项的逻辑函数的化简（2）具有无关项的逻辑函数的化简不考虑无关项时，表达式为：注意:在考虑无关项时，哪些无关项当作1，哪些无关项当作0，要以尽量扩大卡诺圈、减少圈的个数，使逻辑函数更简为原则。考虑无关项时，表达式为:

方法：将函数式中所包含的最小项在卡诺图相应位置处填1，无关项位置处填×，其余位置处填0。

原则：有利于化简的×，当作1处理；不利于化简的×，当作0处理。如上例：ABC01000111100100011110ABC例1：某逻辑函数输入是8421BCD码，其逻辑表达式为：

Y（A,B,C,D）=∑m（1,4,5,6,7,9）

用卡诺图法化简该逻辑函数。解：（1）画出4变量卡诺图。将1、4、5、6、7、9号小方格填入1；

将10、11、12、13、14、15号小方格填入×。（2）合并最小项，如图（a）所示。注意，1方格不能漏。×方格根据需要，可以圈入，也可以放弃。（3）写出逻辑函数的最简与—或表达式:如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为：ABCD0001111000011110110001111000011110ABCD11111任意项为m10+m11+m12+m13+m14+m15=00001111000011110CDAB例2:

试用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数：

(，，，，，，，）=åm0m4m6m