河北承德市滦平县第一中学2025-2026学年高二年级第一次月考数学检测试卷 附答案

/高二年级第一次月考数学试卷时间120分钟总分150分一、单选题（每小题5分，共40分）1.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（）A. B. C.1 D.【正确答案】C【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1.2.设，则（）A.1 B.2 C.31 D.32【正确答案】C【分析】利用赋值法即可求解系数和.【详解】令得：，令得：，所以.3.在的展开式中，的系数为（）A.15 B.45 C.60 D.90【正确答案】B【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解.【详解】的展开式为，所以二项式展开式中含项为，二项式展开式中含项的系数为45.故选：B4.设事件为两个随机事件，已知，且，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据条件概率公式及对立事件概率公式计算求解即可.【详解】，因，故．故选:A．5.7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为（）A.960 B.980 C.1060 D.1260【正确答案】A【分析】先把甲乙相邻的总数算出来，然后把其中丙站两端算出来，最后相减.【详解】甲、乙相邻，有种不同排法，其中丙站两端的站法有种，故甲、乙必须相邻，丙不能站两端的站法有种.故选：A.6.用数字1，2，3组成一个四位数，数字最多用次（其中），则满足条件四位数的个数是（）A.14 B.26 C.38 D.48【正确答案】C【分析】就3的使用次数分类讨论后可求【详解】因为数字最多用次（其中），故至少出现1次.若出现次，则不同的四位数的个数为，若出现次，则1和2各出现1次，或2出现2次，则不同的四位数的个数为，若出现次，则必然1出现1次，2出现2次，则不同的四位数的个数为，故满足条件四位数的个数为，故选：C.7.我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件“相邻区域颜色不同”，事件“区域1和3颜色相同”，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由计数原理结合古典概型概率计算公式即可求解.【详解】事件“相邻区域颜色不同”，先对区域1涂色，有4种涂色方法，对区域2涂色，有3种涂色方法，对区域5涂色，有2种涂色方法，对区域4涂色，若区域4、区域2颜色不同，则区域3只有1种涂色方法，若区域4、区域2颜色相同，则区域3只有2种涂色方法，所以相邻区域颜色不同包含的基本事件有：；事件“区域1和3颜色相同”，先对区域1、区域3涂色有4种涂色方法，对区域2涂色，有3种涂色方法，对区域5涂色，有2种涂色方法，对区域4涂色，有2种涂色方法，区域1和3颜色相同所包含的基本事件有：；故所求概率为.故选：C.8.如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则甲、乙两人相遇的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】计算出甲、乙两人相遇的走法种数，利用古典概型的概率公式运算求解即可.【详解】甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达N处的方法有种；同理，乙从N到达M处的方法有种；甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种；若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有1步向右走，后三步只有2步向右走，乙到处，前三步有1步向下走，后三步只有2步向下走，所以，两人在处相遇的走法种数为种；若甲、乙两人在处相遇，由对称性可得，走法种数为种；若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种；故甲、乙两人相遇的概率.故选：B.二、多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，有选错的不得分，部分选对得部分分.）9.下面命题中不正确的是（）A.两个共轭复数的差是纯虚数． B.若，则．C.若，，且，则． D.若，则．【正确答案】ABCD【分析】对于A，可得或，当时，，即可判断；对于B，可以举反例：设，计算即可判断；对于C，可以举反例：设，，计算即可判断；对于D，根据虚数不能比较大小即可判断.【详解】对于A，设互为共轭复数的两个复数分别为及，则或，当时，，是纯虚数，当时，，；故A不正确;对于B，可以举反例：设，则，故B不正确；对于C，可以举反例：设，，则，但，不能比较大小,故C不正确；对于D，，，，故，都是虚数，不能比较大小，D不正确；故选：ABCD10.箱中共有包装相同的件正品和件赝品，从中不放回地依次抽取件，用表示“第一次取到正品”，用表示“第二次取到正品”，则（）A. B.C. D.【正确答案】ACD【分析】根据题意分别求得，，再根据概率的公式逐个判断即可【详解】对A，，，，

，故A选项对；

对B，，故B选项错；

对C，，故C选项正确；

对D，，故D选项正确．故选：ACD11.设函数，且记，则（）A.数列的首项为1 B.数列的前10项和为512C.数列的前10项和为 D.数列的前10项和为0【正确答案】BD【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数.令，则，故A错；数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和，令，则，故B正确；数列的前10项和等于，令，则，而，则数列的前10项和为，故C错误；数列的前10项和等于，令，则，因为，故D正确.三、填空题（每空5分共15分）12.的展开式中常数项为__________．【正确答案】29【分析】先求出展开式的通项公式，分别令和，求出k值，代入求解，分析计算，即可得答案.【详解】展开式的通项公式为，令，解得，则；令，解得，则，所以的展开式中常数项为.13.设随机事件、，已知，，，则_____________．【正确答案】【分析】根据条件概率的公式即可求解.【详解】，，由条件概率公式得：；，所以，故答案为.14.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项展开式的系数构成的三角形数阵（部分行如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于______．（用一个组合数作答）杨辉三角展示内容：－第0行：1－第1行：11－第2行：121－第3行：1331－第4行：14641－第5行：15101051【正确答案】【分析】，再利用二项式定理求出项的系数作答.【详解】依题意，在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于，可视为按升幂展开与按降幂展开的两个多项式乘积展开式的含项的系数，即展开式含项的系数，而，展开式中含项的系数为，所以.四、解答题（5道题共77分）15.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球．（1）求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率；（2）求乙罐中取出红球的概率．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）设事件，由条件概率的公式求得对应概率；（2）设事件，由全概率的公式求得对应概率.小问1详解】设“甲罐中取出黑球”为事件，乙罐中取出红球为事件，∴由题意得，∴在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率为.【小问2详解】设“甲罐中取出红球”为事件，“甲罐中取出白球”为事件，由题意可知事件两两互质，∴.∴乙罐中取出红球的概率.16.已知的展开式中所有项的系数之和为729.（1）求；（2）求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示）（3）求的展开式中的系数.（结果用数字表示）【正确答案】（1）（2）240（3）140【分析】（1）赋值得到关于的等式，进而求出结果.（2）先根据二项式定理求出通项，然后列出不等式，求解即可.（3）根据二项式定理求出所求项的系数.【小问1详解】令，得，得.【小问2详解】的展开式的通项.设第项的系数最大，则整理得解得，则，所以展开式中各项系数的最大值为.【小问3详解】中没有项，的展开式中的系数为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，所以的系数为.17.为营造文明健康，平安和谐的教育环境，助理青少年健康成长，学校制定2025“护苗行动”方案，开展寒假“家访”活动．某班安排语文、数学、外语、物理、化学5名老师到A、B、C、D四个住宅小区进行家访．（1）每个老师都只安排到一个住宅小区，有多少种不同的方案？（2）如果A住宅小区不安排，其余三个小区至少安排一名老师，则这5名老师全部被安排的不同方案有多少？（3）若每位老师都安排到一个小区，每个社区至少有一位老师，其中语文、外语不去A小区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案有多少种？【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）按照分步乘法计数原理计算可得；（2）先分组，再分配，部分平均分组，需要除以组（平均组）数的全排列；（3）分小区安排一位老师与两位老师两种情况讨论，按照先分组、再分配的做法计算可得.【小问1详解】每位老师都只安排到一个住宅小区，则每位老师都有种安排方法，所以不同的安排方法有种；【小问2详解】先将人分成人数为或的三组，再将分好的三组安排到三个小区，则不同的安排方法有种；【小问3详解】分两种情况，第一种情况：先从数学、物理、化学老师中选一人去A小区，再将其余四人分成人数为的三组安排到B，C，D三个小区，则不同的安排方法为种；第二种情况：先从数学、物理、化学老师中选两人去A小区，再将其余三人安排到B，C，D三个小区，不同的安排方法为种，所以不同的安排方法种数为种.18.甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为．（1）求第2局比赛甲胜的概率；（2）在的条件下，求甲胜的概率；（3）求比赛结束时甲胜的概率．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先把第１局作为互斥事件，再利用全概率公式计算求解；（2）先分别计算比赛进行3局时甲胜和乙胜的概率，求和得到，再利用条件概率公式计算求解；（3）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和．小问1详解】设表示第1局甲胜，表示第2局甲胜，由全概率公式得．【小问2详解】表示比赛在第3局结束，即前2局无连续两胜，第3局形成连续连胜：乙胜：序列为“甲、乙、乙”，概率为，甲胜：序列为“乙、甲、甲”，概率为，，甲胜的概率为．【小问3详解】时，甲胜的概率为；时，甲胜的概率为；时，甲胜序列为“甲、乙、甲、甲”的概率为；时，甲胜序列为“乙、甲、乙、甲、甲”或“甲、乙、甲、乙、甲”，概率为，甲胜的概率为．19.某电商平台销售一款智能手表，已知该手表分为“标准版”和“旗舰版”两个型号，平台销售数量中标准版占比，旗舰版占比．根据历史数据：一是标准版手表的好评率为（好评定义为评分4星及以上），且好评用户中后续申请售后维权的概率为；非好评用户中申请售后维权的概率为．二是旗舰版手表的好评率为，且好评用户中后续申请售后维权的概率为；非好评用户中申请售后维权的概率为．（1）随机抽取一位购买该手表的用户，求其给出好评的概率；（2）随机抽取一位购买该手表的用户，若其申请了售后维权，求该用户购买的是标准版手表的概率；（结果用分数表示）（3）平台计划对“无售后维权的好评用户”发放优惠券，求随机抽取一位用户，其符合优惠券发放条件的概率．【正确答案】（1）084（2）（3）0.774【分析】（1）定义事