河北省秦皇岛市实验中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学检测试卷 附答案

/河北省秦皇岛市实验中学2025−2026学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（

）A． B．C． D．2．直线和的交点坐标为（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若，则（

）A．3 B． C．5 D．4．若方程表示圆，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（

）A． B． C． D．6．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（

）A． B． C．或 D．或7．已知，直线，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．168．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知空间向量，，，则（

）A． B．C． D．可以为空间的一组基底10．下列说法正确的是（

）A．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面B．若向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围为C．直线，恒过定点D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为11．在长方体中，，，E、F分别是、的中点，则下列结论中成立的是（

）A．平面 B．平面C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为三、填空题12．直线与直线间的距离为________．13．已知圆，以圆心和为直径的圆的标准方程是______．14．如图，在大小为45°的二面角中，四边形，都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是________四、解答题15．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为．（1）若直线经过点、，求的斜截式方程，并判断与是否平行；（2）若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直．16．如图，正方体的棱长为2，E是的中点．（1）求证：⊥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，．（1）用为基底表示向量，并求的长；（2）求的值．18．在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆．（1）求圆的标准方程；（2）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点是线段的中点，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．19．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，为中点．（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．

答案1．【正确答案】D【详解】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面对称，则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数，故点关于平面的对称点坐标为.故选D.2．【正确答案】C【详解】由方程组，得，即交点为．故选C．3．【正确答案】A【详解】向量，，若，则，所以，，故.故选A．4．【正确答案】C【详解】因为方程可变形为，由题知，得到，故选C.5．【正确答案】C【详解】设的倾斜角为，则，且，如图，由正切函数的性质知.故选C.6．【正确答案】C【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等，所以，即，化简得，解得或；法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故；若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则．经检验，或均符合题意.故选C7．【正确答案】C【详解】因为，所以，即，因为，，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．故选C.8．【正确答案】A【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则，可得，设，所以可得；因此，因此点到直线的距离为.当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为.故选A.9．【正确答案】AB【详解】对于A选项，，故，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，则，C错；对于D选项，设，即，所以，解得，故，故、、共面，即不能为空间的一组基底，D错.故选AB.10．【正确答案】AC【详解】对于A，，因为，所以P，A，B，C四点共面；对于B，当时，，故B错误；对于C，直线恒过点，故C正确；对于D，直线过点且在x轴，y轴上的截距相等，故D错误.故选AC11．【正确答案】ABD【详解】，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，如图：则，，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，得，因为，又平面，所以平面，故A正确；所以直线到平面的距离为点到平面的距离，又，所以点到平面的距离为，所以直线到平面的距离为，故D正确；设平面的一个法向量为，又，则，令，得，又，所以，所以平面，故B正确；设平面的一个法向量为，又，则，令，得，则点到平面的距离为，故C错误.故选ABD12．【正确答案】/【详解】直线的方程可化为，所以这两条直线平行，且这两条直线间的距离为.13．【正确答案】【详解】由题得，故以和为直径的圆的圆心为，半径为，所以以圆心和为直径的圆的标准方程是.14．【正确答案】【详解】，，.15．【正确答案】（1）的斜截式方程为，（2）在轴上的截距；【详解】（1）直线的斜率，直线过点，直线的点斜式方程为，故直线的斜截式方程为.直线的斜率,，显然点不在直线上，故.（2）在直线的方程中令，得，故直线在轴上的截距为，直线的斜率为，所以，故.16．【正确答案】（1）见详解（2）【详解】（1）连接，在正方体中有平面，又平面，所以，又因为四边形是正方形，E是的中点，所以，又,平面，所以平面；（2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，由棱长为2，则，所以，设平面的法向量为，所以，令得，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.17．【正确答案】（1），（2）【详解】（1）记，，，则，，∴，，，∴，即的长为；（2），故，故，由（1）知，，故，∴．18．【正确答案】（1）；（2）；轨迹是以为圆心，半径为的圆.【详解】（1）设圆的方程为（其中），因为圆过点，，，可得，解得，满足，所以圆的方程为，所以圆的标准方程为.（2）设点的坐标为，点的坐标为，因为点的坐标是，点是线段的中点，所以，所以，，又因为点是圆上的一个动点，所以点的坐标满足圆的方程，代入得，整理得，所以点的轨迹方程为，轨迹是以为圆心，半径为的圆.19．【正确答案】（1）见详解（2）存在；为的中点【详解】（1）证明：取中点记为，连接，，如图所示，则，且，，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）存在点满足要求，理由如下：取的中点为，连接，，如图所示，则四边形为正方形，且根据勾股定理得，所以，所以为等腰直角三角形，所以.又，所以，而平面，且相交于点,所以平面，则，又因为，，得