2025~2026学年专题12余弦定理、正弦定理应用举例题型分类归纳高一数学同步人教A版

2025~2026学年专题12余弦定理、正弦定理应用举例题型分类归纳高一数学同步(人教A版）一、单选题1.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（）

A．B．C．D．2.一艘渔船在海上由南向北航行（航线视为一条直线），当船航行到点A时，测得远处一座灯塔T在其北偏东45°的方向上．渔船继续向北航行10km到达点B，此时测得灯塔T在其北偏东75°的方向上，则此时渔船与灯塔T的距离为（）

A．kmB．kmC．kmD．km二、填空题3.某政府准备在三个村之间修建一个物流中转站，若把村庄所在地视为点，已知，，.通过前期的勘测，中转站D选在B，C两村的连线上，且D到A，B两村之间的距离相等，则之间的距离为__________.4.如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m.三、单选题5.如图，在倾斜角为的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆，当太阳光线的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长度是，则旗杆的高为（）

A．B．C．D．6.一同学到东方神话主题乐园游玩时，想用所学数学知识测量乐园内某游乐设施的高度，选择点和勇闯玄甲城项目的顶部点C为测量观测点，从点测得M点的仰角，C点的俯角以及，从C点测得，点A，B，N共水平面，若勇闯玄甲城项目的高，则（）

A．B．C．D．四、填空题7.中卫一中数韵社某同学为了测量学校天文台的高度，选择附近宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设和点在同一平面内，则该同学可算得学校天文台的高度为__________m．8.真武阁是我国古代建筑史上罕见的一颗明珠，它位于广西容县城东的容州古城内，是一座没有经过重建而原貌原址保存下来的纯木结构建筑，如图所示，真武阁呈方塔状，分三层三檐，为了测量真武阁的高度，选取了与真武阁底部在同一水平而上的，两点，测得米，，，，则真武阁的高的长度是______米.五、单选题9.如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（）

A．B．C．D．10.公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（）

A．B．3C．D．六、填空题11.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为__________小时，角的正弦值为__________．12.某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则__________．七、单选题13.如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪，经测量得，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路（其中点在边上，点在边上），若恰好将该草坪的面积平分，则两点间的最小距离为（）.

A．B．C．D．八、填空题14.如图所示，某公园计划用鹅卵石铺成两条交叉的“健康石道”（线段和），并在这两条“健康石道”两端之间建设“花卉长廊”（线段和），以供市民休闲健身.已铺设好的部分，，（为锐角三角形）由于设计要求，未铺设好的部分和的总长只能为，则剩余的“花卉长廊”（线段）最短是_____.15.在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是______分钟．（注：）九、解答题16.某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．(1)若米，求角的余弦值；(2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？(3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？十、单选题17.甲船在湖中岛的正南处，，甲船以的速度向正北方向航行，同时乙船自岛出发，以的速度向北偏东方向驶去，则行驶分钟时，两船的距离是（）

A．B．C．D．十一、填空题18.如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________.19.德国数学家克雷尔于1816年发现了三角形的布洛卡点，法国军官布洛卡于1875年将此特殊点重新发现，并以他的名字命名至今．已知任意的内部必存在点，使得（或），则称为的布洛卡点，（或）称为布洛卡角．一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及两个布洛卡角，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合．已知点为的一个布洛卡点，且．则__________；当，且时，的面积的最大值为__________．十二、解答题20.如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，．(1)求的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？十三、单选题21.某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动时，需要测量某河流同侧的，两点之间的距离，该班学生在这条河流另一侧的点处测得点在点的北偏东30°方向上，点在点的北偏东60°方向上，从点出发，沿正东方向走2千米，到达点，在点处测得点在点的北偏西15°方向上，点在点的北偏东15°方向上，则，两点之间的距离（）

A．千米B．千米C．千米D．千米22.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（）

A．B．C．D．23.当太阳光与水平面的倾斜角为时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（）

A．B．C．D．十四、填空题24.如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为________.（塔顶大小和游客身高忽略不计）十五、解答题25.如图，A、B是某海域位于南北方向