5.2.2 复数的乘法与除法 教学课件 2025-2026学年北师大版2019 高中数学必修第二册

第五章复数5.2.2复数的乘法与除法1.理解并掌握复数的乘法与除法法则，熟练进行复数的乘、除法运算.2.理解复数乘法的运算律和复数正整数指数幂的运算性质，并能熟练应用.问题1：设

a，b，c，d∈R，则

(a＋b)(c＋d)

怎样展开？(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd问题2：类比多项式的乘法运算，想一想两个复数如何进行乘法运算？设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2，∵i2＝－1，∴z1·z2＝ac＋adi＋bci－bd＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.复数的乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.注意：在进行复数乘法运算时，实际上不直接使用乘法法则，而使用多项式乘法法则.问题3：复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法满足分配律吗？对任意三个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z3＝e＋fi(a，b，c，d，e，f∈R)，有z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，z2·z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ca－db)＋(cb＋da)i，∵ac－bd＝ca－db，ad＋bc＝cb＋da，∴z1·z2＝z2·z1(交换律).同理(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)，z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3(分配律).复数乘法的交换律、结合律、分配律

对任意

z1，z2，z3∈C，

交换律：z1·z2＝z2·z1；

结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；

分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对复数

z，z1，z2和正整数

m，n，有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z1n·z2n.对于复数

z，定义它的乘法zn＝

z·z·…·z.n个在复数的乘方运算中，经常要计算i的乘方，i的乘方有如下规律：i0＝1，i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，…一般地，对任意自然数n，有i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.解：(1)(2+3i)(2-3i)=22-(3i)=4-(-9)=13；例1：计算

(1)(2+3i)(2-3i)；(2)(1+i)2.(2)

(1+i)2=

1+2i+i2

=

1+2i-1=2i.思考：若

z1，z2是共轭复数，则

z1z2是一个怎样的数？互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方，即若

z=a+bi(a，b∈R)，则练一练：证明：对任意的两个复数

z1，z2，若

z1·z2=0，则

z1，z2至少有一个为0.证明：设

z1≠0，则|z1|≠0，z1的共轭复数

，将

z1·z2=0的左右两边同时乘

，得∵|z1|2≠0，∴z2＝

0.问题4：类比实数的除法是乘法的逆运算.

复数的除法应该满足怎样的运算法则？

我们把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或利用(c+di)(c-di)=c2+d2.于是将的分母实数化得：复数的除法法则：两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数根式除法:分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.复数除法:分子分母都乘以分母的共轭复数，从而使得分母“实数化”.类比例2：计算

(1+2i)

÷

(3-4i).解：进行复数除法运算的方法：①

先把(a+bi)÷(c+di)写成

的形式；②

把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di；③

再化简即可.例3：在复数范围内解下列方程：（1）x2

+

2=0；（2）ax2

+

bx+

c=

0.

其中

a，b，c∈R，且

a≠

0.

(∆=

b2

-

4ac<

0)解：（1）因为所以方程

x2

+

2=0的根为（2）将方程

ax2

+

bx+

c=

0

的二次项系数化为

1

得配方，得即类似（1）可得：由

∆<

0

知所以原方程的根为

在复数范围内，实系数一元二次方程

ax2

+

bx+

c=

0

(a≠

0)的求根公式为：①

当

∆≥0

时，②

当

∆<

0

时，

对于实系数一元二次