高考数学填空题的解题策略

高考数学填空题的解题策略

数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三

种常考题型之一，根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：

一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的

定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比，缺少选

择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。

二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：

给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。近几年出现了定性型的具有多重选择性的填

空题。

在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，所以对正确性的要求比解答题更高、更严

格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”。为此在解填空题时

要做到：快一一运算要快，力戒小题大作；稳一一变形要稳，不可操之过急；全一一答案要全，

力避残缺不齐；活一一解题要活，不要生搬硬套；细一一审题要细，不能粗心大意。

数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质）判断型的试题，应答时必

须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧工

“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。

一、直接法

这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识,

通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

例1设。=（〃2+l）i—3。。=，+（俏—1），其中i,j为互相垂直的单位向量，又

（a+b）l（a-b）f则实数m二。

例2已知函数/（工）=矍?在区间（-2,+8）上为增函数，则实数a的取值范围是

例3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、

平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等

奖的概率为0

二、特殊化法

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不

定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

例4在4ABC中，角A.B.C所对的边分别为a.b、c。若a,b,c成等差数列，则

cosA+cosC

=_____________O

1+cosAcosC

例5过抛物线丁=ad(a>0)的焦点F作一直线交抛物线交于p、Q两点，若线段PF、FQ

的长分别为p、q,则1—=©

pq

例6求值cos2a+cos2(a+120)4-cos2(a+240')="

三、数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，

得出正确的结果。

例7如果不等式74Ax2>（a—l）x的解集为A,且Au{x|0vxv2）,那么实数

的取值范围是

例8求值sin(——f-arctan—)=

例9己知实数x、y满足（x—3）2+V=3,则上的最大值是_________

x-1

四、等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正

确的结果。

3

例10不等式6>"+二的解集为（4,b）,则a=__________,b=0

2

例11不论k为何实数，直线y=%x+l与曲线/+y2-2ax+a2-2。-4二0恒有交点,

则实数a的取值范围是o

例16、如右图，在直四棱柱ABC。—AgCQ中，当底面四边形满足条件

时，有&CJ_片。（填上你认为正确的一个条件

即可，不必考虑所有可能性的喑形）。

定量型填空题的常用检验方法

一、代入检验

若题目求的是方程的解、参数值等有限的、具体的数据时，可逐代入进行检验，以避免因

扩大自变量的允许值范围而产生增解致误。

例1.方程10g2（X—1）=2—log2（x+l）的解为

错解：由条件得（X—1）（X+1）=4,解得：x=±V5

二、赋值检验

若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误。

例2.已知数列｛斯｝,满足。尸1,On沟+己2+3的+…则｛斯｝的通项

1,n=l,

an=,n22.

错解：由所=。1+2〃2+343+…+（〃—1）斯i（〃22）与

%=a}+2%+3%+,・・+(〃-2)〃“2+(〃-1)%一1…①

得明=>—=2=3,­==

qa2/j

故——=2x3x…x〃得Q〃=〃！

a\a2%%

例3.对正整数〃，设曲线y=x"(17)在尸2处的切线与y轴交点的纵坐标为明,则数列

岛)的前〃项和的公式是

三、作图检验

当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些主观意想的错误。

冽4.求过点P(3,2),且与圆0-4)2+()，-1)2=1相切的直线方程。

误解：设所求切线方程为y一2二左。-3),即Lx—y十2-34=0则圆心(4,1)到此切线的

距离等于半径1,所以*-1+2-3%|=],伏+1)2=公+1解得攵=。

VF+1

故所求的切线方程为y=2

四、极端检验

当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误。

例5.已知关于x的不等式的解集是空集，求实数a的取值范围.

错解：由A=（々+2）2+4（/-4）<0,解得-2<a<9.

五、多解检验

一种方法解答之后，再用其他方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成

的策略性错误。

例6.从8名男医生和7名女医生中，选出4名医生组成医疗队。其中至少有一名男医生和

一名女医生，共有多少种不同的选法？

错解：先选出1男1女，再从剩下的13人中选出2人（男女不限），选法共有：

=4368（种）

六、回顾检验

由于考试时时间紧张，有些学生做题只顾速度快，不注意题目的条件，错看漏看条件从而导

致解题错误。避免这样的错误要求同学们平时解题时养成良好的审题习惯和解题后再回顾审视题

目反思的习惯。

例7.满足条件cosa=-,且一"Kav万的角a的集合为

2

出32兀147112"44万

错解：vcos——=——,cos——=——，/.a-——或——

323233

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