河北省衡水中学2026年高三下学期综合素质评价三数学试卷

PAGEPAGE1页/52025-2026考试时间：120分钟；试卷满分：150分第I卷（共58分， 一、单选题(共8个小题，每题5， Mxx23x Nxy 已知集

x M∩N0,

0,

已知向量a(1,4)，b(2,3)，则向量a在向量b上的投影向量为 1015

10,15

20,30

203013131313

13

13 已知zz2，z为虚数，则zz的值可能为 B. C. D.一个圆台的母线长 ，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（A. B. C. D.已知0απcosα

5cos2α1”的（ A.充分不必要条 B.必要不充分条 C.充要条 D.既不充分也不必要条设双曲线C:

a0b的焦距为2ca2、b2、c2方程为 y

y2y

y 3y

f(xfx1

f(1x),f(x2)

fx2x[0,1

fxexf2023的值为 2 e2

e2

2

2已知抛物线Cy22px（p0）FMx12y216与CABAMBM的斜率之积为3AF（B.

C. D.二、多选题(每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分下列说法正确的是（r1，2，4，5，6，12，18，20XDX20EX6EX230904，2085650已知Cx2y21ab0的FF，长轴长为6M6,1在椭圆 外，点N在椭圆C上，则下列说法中正确的有 椭圆C的离心率的取值范围是6 椭圆C上存在点Q使得QF1QF23E02，椭圆C的22NE3定义：若函数f(x)在区间a,b的值域为a,b，则称区间a,b是函数f(x)的“完美区间”.另外，定义区间a,b的“复区间长度”为2(ba).已知函数f(x)=x21，则下列说法中正确的是:( 0,1f(x1515f(x f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3f(x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3II卷（共92分三、填空题(每题5分，共15分已知4a ，则log2a 的排法 种x，y满足2x

y24x2y2

2y，则x2ey的最小值 四、解答题(共5题，满分77分 已知数列a满足a2,ana anN* 设b ，求数列b的前n项和为S a2 AIAI技术的手AIAI技术的手99%AIAIAI200元、100

和，其余情况不中奖.每位顾客允连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.XX的数学期望nad在VABCABC所对的abc，sin2

cosBcosC求cosADBCADDC2BDc1，求VABC的周长fx

4xa2x12，g(

=ç÷èa1fxx1x21,0fx1gx22a的取值范围如图（1Ex22yF，准线为lF的动直线mEA，B（A在第一象限AB为直径的圆与准线lC，DAB上任意一点，现将（2．当ACBABABABCDBCD上，求圆柱PAGEPAGE1页/192025-2026考试时间：120分钟；试卷满分：150分第I卷（共58分， 一、单选题(共8个小题，每题5， Mxx23x Nxy 已知集

x M∩N0,

0,

【答案】x23x0xx30，解得0x3M03，x10x1N1，已知向量a(1,4)，b(2,3)，则向量a在向量b上的投影向量为 1015

10,15

20,30

203013131313

13

13 44

→→→ →→bababb102,320,30a在向量b

→

→

13bb 已知zz2，z为虚数，则zz的值可能为 B. C. D.【答案】zabi且b0z

z2a1zz1b21，即可求解zabi且b0z

z2

a1a2a22z1bi,z1bizz1bi1bi1b2a2a22一个圆台的母线长 ，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（A. B. C. D.【答案】【分析】先根据圆台的结构特征求出圆台的高，然后利用圆台的体积公式求出其体积即可【详解】取上下底面的圆心，则OO即为圆台的高h在VACBAB13BC52313根据勾股定理可得ACOOh 13 所以圆台的体积为V1πhR2Rrr21π22541026π 已知0απcosα

5cos2α1”的（ A.充分不必要条 B.必要不充分条 C.充要条 D.既不充分也不必要条【答案】【详解】由cos2α1，得2cos2α11，解得cosα 充分不必要条件PAGE3PAGE3页/19设双曲线C:

a0b的焦距为2ca2、b2、c2方程为 y

y2y

y 3【答案】abc的关系和等差数列可求答案a2、b2、c2成等差数列，所以2b2a2c2，又c2a2b2，所以2b2a2a2b2，即b22a2，所以a 2 该双曲线的yax

2xyf(xfx1f(1x),fx2fx2x[0,1时，fxexf2023的值为 2 e2【答案】

e2

2

2【分析】根据函数的对称性结合累加法可求函数值f(x1)f(1xx1f(x2)f(x2f2023f35052f35052 2 3 1又f f e22 2PAGEPAGE10页/19 f2023

e21010 已知抛物线Cy22px（p0）FMx12y216与CABAMBM的斜率之积为3AF（B.【答案】

C. D.ABAFMx12y216M(10)，半径为4M和抛物线CxA(x,yB(xy)(x0)kAM

yx

yx

x

3y23x12AM上，又有x12y216，即x123x1216，x0x1y2311212.A又在抛物线C上，则有122p1p6F(30).

p

314二、多选题(每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分下列说法正确的是（r1，2，4，5，6，12，18，20XDX20EX6EX230904，2085650个10.8【答案】【详解】ArAB8个数据，又875%667个数的平均数，即121815BD5039028588 349088226858825410.8D正确5 5 已知Cx2y21ab0FF，长轴长为6M6,1在椭圆C 点N在椭圆C上，则下列说法中正确的有 椭圆C的离心率的取值范围是6 椭圆C上存在点Q使得QF1QF23E02，椭圆C22NE3【答案】A，根据条件得b23B，转化为以c为半径的圆与椭圆CCDNF1NF26，再利用基本不等式求解即可A，由题意可知2a6a3

M

6,1在椭圆C611，解得b23

因为

1，所

e1A BAa3b23，所以c2a2b29b26，所以bcac为半径的圆与椭圆C不妨设其中一个交点为QFQFπ，所以椭圆C上存在点Q使得QFQF0BC，由离心率ecc

2,c2

，所以b1

xxy1 当sinθ1NE36N(3151C , D

2a6

11111

NFNF2NF1 NF2NF1

NF21

1

1

2

2

6

6

3N

定义：若函数f(x)在区间a,b的值域为a,b，则称区间a,b是函数f(x)的“完美区间”.另外，定义区间a,b的“复区间长度”为2(ba).已知函数f(x)=x21，则下列说法中正确的是:( 0,1f(x1515f(x f(x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3f(x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3【答案】【分析】按照0b1和b1两种情况讨论求解，当b1a00a1a1分类讨论求【详解】Qf(x)=x210，f(x的值域为0，f(x)的“完美区间”为ab，则ba0，当0b1时，Qxabf(x)=x21在abf(a)f(xf(bf(xf(a)=a21f(b)=b21

，ab

2(ba)2(10)2当b1a0f(b)=b21b21，Qxa,b0,b，bf(x)=x21在0,1是单调递减函数，在1bf1f(xf(xf(0)f(bf(0)f(b时，Qf(0)=0211，f(b1f(bf(xf(1)121f(b)=b21b

，b ，满足b 此时，2(ba)21501 f(0)

f(b时，Qf(0)=0211，f(b1f(0)f(xf(1)121f(0)=021

，b1，不满足b1②若0a1时，Qxabbf(x)=x21在a,1是单调递减函数，在1bf1f(xf(1)1210=a，这与0a1a1时，Qxabbf(x)=x21在abf(a)f(xf(bf(xf(a)a21=a21f(b)=b21b21

a ，b

，Qab，综上可知，f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2 53 AC正确三、填空题(每题5分，共15分已知4a ，则log2a

II卷（共92分a的值，再计算log2a的值【详解】因为4a ，所以a=

1，所以

a=log1=-2

2 【答案】【分析】先安排特殊元素和特殊位置，再根据计数原理计算即可 又丙与乙相邻，所以丙位置固定，然后让最后一人站两端，有C122所以不同的排法共有A2C1C122x，y满足2x

4x21

2y，则x2ey的最小值 y2y2【分析】化简题目条件得2x

22x2

2ftt112y

t21

x,yy1x2ey，求导分析其最值y2【详解】由2x 4x21 2y,x,yy24x2y2y24x2y2y24整理得2x

y2 y22x22x2

2112yfttt21ft在02 由f2xf可得2x，即y，代入x2ey得x2exy Fxx2exx0Fxex2xFx0x1当0x1Fx0x1Fx0 Fx在01内单调递减，在1

1 1 故当x时，F(x)取得最小值，此

y2，最小值为F

e2 四、解答题(共5题，满分77分

2,

na

anN* 设b ，求数列b的前n项和为S a2 （1）an（2）

2n（1）an1anan2n （2）整理可得

1

，利用裂项相消法运算求解 22n 2n1 1因为annan1ana12，可得n1annan1an1an对任意nN*anan1a12n

n an2n2由（1）an2n则b

1 2n2 2n12n 22n 2n1 可得S1111111 11 2n 2n1 2n1 2n

2nAIAI技术的手AIAI技术的手99%AIAIAIPAGE11PAGE11页/19200元、100

和，其余情况不中奖.每位顾客允连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.XX的数学期望nad

abcdacbd

nabcd（1）有99%AI手机与顾客的性别有关【分析】(1)由卡方公式计算出卡方值，利用临界值进行比较即可(2)X的分布列，再由分布列求出期望值1H0:AI手机与顾客性别无关 20045346556 因为8.995>6.635即我们有99%AI2X每次抽奖不中的奖的概率为1111，中1001，中2001 P

1

PX1002111 P

211115 PX3002111 P X

1PAGEPAGE12页/19EX011001200

3001400

400 在VABCABCabc，sin2

cosBcosC求cosADBCADDC2BDc1，求VABC的周长（1）cosA（1）BCBC2AAcosA（2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可1sinCsinB0，即bcBC

cosBcosC2sinAcosAsinAcosBcosC

2cos2

即sinAsinCsinAsinBcosAcosBcosAcosC，所以cosABcosAC，又πABππACπABACABCABC（舍）BC2AABCπAπ，则cosA1 2BDxADDC2xBC3xAD2BD2 ABD中，由余弦定理可得cosADB

5x2在VACD中，由余弦定理可得cosADC

AD2DC2AC2AD

8x2由cosADBcosADC，可得18x2b22在VABCBC2AB2AC22ABACcosBAC，即9x21b2b，x

3，b2所以VABC的周长为ABACBC3 BDxADDC2xBC3x，即CD2DB

2

1

AB

AC 2

所以ADABAC

，可得36x24b22b 在VABCBC2AB2AC22ABACcosBAC，即9x21b2b，x

3，b2，所以VABC的周长为ABACBC3 fx

4xa2x12，g(

=ç÷èa1fx（1）0和

（2） 2 （3）5 （1）fxx，化简得到4x32x20fxx，化简得到2a12x

根据题意，将不等式化为2g fx2g ，利用指数函数的单调性，得0fx3，分类参数转化为2x

2a2x

求解1a1fxx，即为log4x2x12x，即4x2x122x，可得4x32x22x1)(2x2)0，解得2x1或2x2x0x1，fx的不动点为0和2fxx，可得log4xa2x12x

4x 即4xa2x122x，可得(2a1

42，即为2a1

2 令t2xx1,1时，可得t12 可得关于t的方程2a1t2在12 htt2ht在1,2单调递减，在22 PAGE15页/PAGE15页/19h19h222h239 则满足

2a13

1a1，

的取值范围为 3

fx12gx2( ( 由函数gx=ç÷è

x1x21,0fx1gx22

，即0

可得0log4xa2x123，即为14x2a2x28所以2x

2a2x

令u2xx10时，可得u1,1 由题意得，对任意u1,1，不等式u62au1 m(uu6在1,1

n(uu1在1,1

所以52a2，解得5a1a的取值范围为5,1 如图（1Ex22yF，准线为lF的动直线mEA，B（A在第一象限AB为直径的圆与准线lC，DAB上任意一点，现将PAGEPAGE16页/19（2．当ACBABABABCDBCD上，求圆柱（1）

；②642【分析（1）AOBC，BCAE（2）①AB2AB2BCACABk0k0两种情况，结合基本不等式分析求解；②设相应量，可得h12 2r，可得圆柱的体Vπr22 2r3，构建函数frr22 2r3,0r2 2，利用导数求最值 1AAOCD，垂足为O，过O作OEBCEACDABCACDABCCDAOACD，AOABC，PAGE17页PAGE17页/19BCABCAOBC且OEIAOOOEAOAOEBCAOEAEAOEBCAE则cosACBCEcosACDOCcosBCDCE 所以cosACBcosACDcos2AB为直径的圆与准线lCACBC则ACDACDπBCD sinBCDco