2026年高考数学全国卷一冲刺专题突破压轴卷（含解析）

2026年高考数学全国卷一冲刺专题突破压轴卷（含解析）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______第Ⅰ卷选择题本部分共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|log₂(x-1)≥0},B={x|x²-2x-3≥0},则A∩B=().A.(-∞,-1]∪[3,+∞)B.(-1,3]C.[3,+∞)D.(-∞,-1]∪(1,3]2.复数z满足z=(2+i)/i(i为虚数单位)，则z的模|z|=().A.√5B.√10C.√15D.53.执行以下算法语句，如果输入的n是正整数，则循环体共执行了k次，则k等于().i=1k=0WHILEi≤nk=k+1i=i+2ENDWHILEA.n/2B.n/2+1C.[n/2]D.[n/2]+1([]表示向下取整)4.在等差数列{aₙ}中，已知a₁=5,a₄+a₇=10，则该数列的前n项和Sₙ=().A.n²-4nB.n²+nC.5nD.2n+55.函数f(x)=sin(x+π/4)的图像关于直线x=π/4对称，则下列函数中，其图像也关于直线x=π/4对称的是().A.y=cos(x)B.y=sin(2x)C.y=sin(x-π/4)D.y=-cos(2x)6.已知向量a=(1,k),b=(3,-2)，若a⊥b，则实数k的值为().A.-3/2B.3/2C.-6D.67.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x²，则f(2025)的值为().A.2025B.-2025C.2024D.-20248.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，则AB边上的高CD的长度为().A.3/4B.4/3C.12/5D.5/129.将一个半径为R的圆形铁片剪去一个圆心角为90°的扇形，用剩余部分围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为().A.R/4B.R/2C.R/πD.R10.已知实数x,y满足x²+y²-2x+4y=0，则3x-2y的最大值为().A.5√2B.5C.√10D.10第Ⅱ卷非选择题本部分共60分。11,12题为填空题，每小题5分，共10分。13,14,15题为解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.已知cos(α+β)=1/2,cos(α-β)=1/3,则cos(2α)=,sin(2β)=.12.在一个盒子里装有标号为1,2,3,...,n的n个小球，它们除标号外完全相同。从中随机抽取2个小球，则这2个小球标号之和为奇数的概率为.13.（本小题满分10分）已知函数f(x)=x³-3x²+2。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(x)-k=0在区间(-1,1)上有解，求实数k的取值范围。14.（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,AB=1。点E是棱PC上一点。(1)证明：平面ABE⊥平面PCD；(2)求三棱锥P-ABE的体积。15.（本小题满分14分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，其右焦点F与抛物线y²=8x的焦点重合。(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C相切于点T，且与抛物线y²=8x交于A,B两点，直线TF与抛物线的准线l'交于点M。若|AB|=4√2，求直线l的方程。试卷答案1.C2.A3.D4.B5.D6.D7.D8.C9.C10.A11.1/6;-5/612.n²-n/2n(n-1)13.解：(1)f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)>0，得x>2或x<0；令f'(x)<0，得0<x<2。故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。(2)方程f(x)-k=0在(-1,1)上有解等价于函数g(x)=f(x)-k在(-1,1)上有零点。由(1)知g(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减。计算g(-1)=(-1)³-3(-1)²+2-k=-2-k，g(0)=f(0)-k=2-k。g(-1)<g(0)。又g(-1)=-2-k,g(1)=1³-3(1)²+2-k=-2-k。g(1)=g(-1)。故g(x)在(-1,1)上的值域为(-2-k,2-k]。要使g(x)在(-1,1)上有零点，需-2-k<0且2-k≥0，解得-2<k≤2。故实数k的取值范围为(-2,2]。14.证明：(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD。又AD⊥AB(矩形性质)，且PA与AB是平面PAB内的两条相交直线，所以AD⊥平面PAB。因为AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB。又AB=1,AD=2，故AB⊥AD。又PA⊥AD，AB⊥AD，PA与AB是平面PAB内的两条相交直线，所以AD⊥平面PAB。因为CD⊂平面PCD，所以AD⊥CD。又PA⊥AD，CD与AD是平面PCD内的两条相交直线，所以AD⊥平面PCD。因为AB⊂平面PAB，且平面PAB∩平面PCD=AD，所以AB⊥平面PCD。因为AB⊂平面ABE，平面PCD⊥平面ABE，AB⊥平面PCD，所以AB⊥CD。又CD⊂平面PCD，AB⊥平面PCD。因为BE⊂平面PCD，所以AB⊥BE。又AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，且AB与BE是平面ABE内的两条相交直线，所以平面ABE⊥平面PCD。(2)取AB的中点N，连接PN。因为PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以PA⊥AB。又PA=AD=2,AB=1，故AN=√(PA²+AB²)=√5。所以PN=√(PA²+AN²)=√(4+5)=√9=3。连接PC，由(1)知AD⊥平面PBC，所以V(P-ABE)=V(P-ACD)=1/3*S(△ACD)*PN=1/3*(1/2*AD*AB)*PN=1/3*(1/2*2*1)*3=1。设E分之PC=t，则PE=2t,CE=√(PC²-(√2)²)=√(4t²-2)。在△PAB中，由余弦定理得cos∠PAB=(AB²+AP²-BP²)/(2*AB*AP)=(1+4-(4t²+1))/(4√2)=(5-4t²)/(4√2)。在△ABE中，由余弦定理得cos∠EAB=(AB²+AE²-BE²)/(2*AB*AE)=(1+(4t²+4√2t)-(4t²+1))/(2√2t(√2))=√2t/(2√2t(√2))=1/2。故∠EAB=π/3。所以sin∠EAB=√3/2。故V(P-ABE)=1/3*S(△ABE)*PN=1/3*(1/2*AB*AE*sin∠EAB)*PN=1/3*(1/2*1*√(4t²+4√2t)*√3/2)*3=1/3*(1/2*√3*√(4t²+4√2t))*3=√3*√(4t²+4√2t)/2=√3*√[4t(t+√2)]/2=√[12t(t+√2)]/2=√(3t(t+√2)).令√(3t(t+√2))=1，解得t(t+√2)=1/3。t²+√2t-1/3=0。解得t=(-√2±√(2+12/3))/2=(-√2±√10)/2。因为0<t≤1，且0<t<√2，故t=(-√2+√10)/2。此时E为PC上靠近C的三等分点。故V(P-ABE)=1。15.解：(1)抛物线y²=8x的焦点为(2,0)，即椭圆C的右焦点F(2,0)。椭圆C的离心率e=c/a=√2/2，所以c=(√2/2)a。又c=2，故a=2√2。因为b²=a²-c²=(2√2)²-2²=8-4=4，所以b=2。故椭圆C的标准方程为x²/(8)+y²/(4)=1。(2)设直线l的方程为y=kx+b。由(1)知椭圆C的参数方程为x=2√2cosθ,y=2sinθ(θ为参数)。将椭圆参数方程代入直线l方程，得2sinθ=k(2√2cosθ)+b，即b=2sinθ-2√2kcosθ。设直线l与椭圆C相切于点T(x₀,y₀)，则T点满足椭圆方程和直线方程，且判别式Δ=0。由x₀²/8+y₀²/4=1得x₀²/8+(kx₀+b)²/4=1。将b=2sinθ-2√2kcosθ代入并整理，得(1+2k²)x₀²+4√2kbx₀+2b²-8=0。Δ=(4√2kb)²-4(1+2k²)(2b²-8)=0。即32k²b²-8(1+2k²)(2b²-8)=0。4k²b²-(1+2k²)(2b²-8)=0。4k²b²-(2b²+4k²b²-8-16k²)=0。4k²b²-2b²-4k²b²+8+16k²=0。-2b²+8+16k²=0。b²=4+8k²。将b²=4+8k²代入4k²b²-(1+2k²)(2b²-8)=0，验证成立。故切线方程为y=kx+b(Δ=0恒成立)。直线l与抛物线y²=8x交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点。联立方程组y=kx+b,y²=8x，得(kx+b)²=8x。即k²x²+2kbx+b²-8x=0。即k²x²+(2kb-8)x+b²=0。由韦达定理，x₁+x₂=-(2kb-8)/k²=8/k²-2b/k。x₁x₂=b²/k²。|AB|=√(1+k²)*|x₁-x₂|=√(1+k²)*√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√(1+k²)*√[(8/k²-2b/k)²-4b²/k²]=√(1+k²)*√[64/k⁴-32b/k³+4b²/k²-4b²/k²]=√(1+k²)*√[64/k⁴-32b/k³]=4√2*√(1+k²)*√[(4/k²-b/k)²]/k²=4√2*|(4/k²-b/k)|/k√(1+k²)。因为|AB|=4√2，所以4√2*|(4/k²-b/k)|/k√(1+k²)=4√2。|(4/k²-b/k)|/k√(1+k²)=1。|4/k²-b/k|=k√(1+k²)。令t=k，则|4/t²-b/t|=t√(1+t²)。由b²=4+8k²，得b=√(4+8k²)=2√(1+2k²)。代入上式，得|4/t²-2√(1+2t²)/t|=t√(1+t²)。|4/t²-2√(1+2t²)/t|=t√(1+t²)。|4-2√(1+2t²)|=t³√(1+t²)。平方两边得(4-2√(1+2t²))²=t⁶(1+t²)。16-16√(1+2t²)+4(1+2t²)=t⁶+t⁸。16-16√(1+2t²)+4+8t²=t⁶+t⁸。20+8t²-16√(1+2t²)=t⁶+t⁸。令f(t)=t⁸+t⁶-8t²-20+16√(1+2t²)。需要求f(t)=0的解。令t=1，得f(1)=1+1-8-20+16√3=2-28+16√3=16√3-26。令t=√2，得f(√2)=(√2)⁸+(√2)⁶-8(√2)²-20+16√(1+2(√2)²)=16+8-16-20+16√5=16√5-12。令t=√3，得f(√3)=(√3)⁸+(√3)⁶-8(√3)²-20+16√(1+2(√3)²)=81+27-24-20+16√(1+6)=84+16√7。f(1)<0,f(√2)<0,f(√3)>0。由零点存在性定理，f(t)在(√2,√3)内有零点。设该零点为t₀。则|4/t²-2√(1+2t₀²)/t₀|=t₀√(1+t₀²)。即4/t₀²-2√(1+2t₀²)/t₀=t₀√(1+t₀²)或4/t₀²-2√(1+2t₀²)/t₀=-t₀√(1+t₀²)。前者得4-2√(1+2t₀²)=t₀³√(1+t₀²)，后者得4-2√(1+2t₀²)=-t₀³√(1+t₀²)。前者等价于4-t₀³√(1+t₀²)=2√(1+2t₀²)。令t=t₀，得4-t³√(1+t²)=2√(1+2t²)。平方两边得(4-t³√(1+t²))²=4(1+2t²)。16-8t³√(1+t²)+t⁶(1+t²)=4+8t²。16-8t³√(1+t²)+t⁶+t⁸=4+8t²。12-8t³√(1+t²)+t⁶+t⁸=0。令g(t)=t⁶+t⁸+12-8t³√(1+t²)。g(1)=1+1+12-8√3>0。g(√2)=64+32+12-8(√2)³√(1+2(√2)²)=108-8(√2)³√5=108-32√10。32√10≈32*3.162=100.384。g(√2)≈108-100.384=7.616>0。g(√3)=81+27+12-8(√3)³√(1+2(√3)²)=120-8(√3)³√7=120-24√21。24√21≈24*4.583=109.992。g(√3)≈120-109.992=10.008>0。g(t)在[1,√3]上单调递增。g(t)>0。故方程4-2√(1+2t²)=t³√(1+t²)无解。故必有4-2√(1+2t²)=-t³√(1+t²)。两边平方得16-16√(1+2t²)+4(1+2t²)=t⁶(1+t²)。20+8t²-16√(1+2t²)=t⁶+t⁸。即t⁸+t⁶-8t²-20+16√(1+2t²)=0。令h(t)=t⁸+t⁶-8t²-20+16√(1+2t²)。h(1)=2-28+16√3=16√3-26<0。h(√2)=16√5-12<0。h(√3)=84+16√7>0。由零点存在性定理，h(t)在(√2,√3)内有零点。设该零点为t₀。则直线l的斜率k=t₀。此时b=2√(1+2k₀²)=2√(1+2(√2)²)=2√(1+8)=2√9=6。故直线l的方程为y=t₀x+6。将t₀=√2代入，得y=√2x+6。将t₀=√3代入，得y=√3x+6。需要验证哪个满足|AB|=4√2。当y=√2x+6与y²=8x联立，得(√2x+6)²=8x。2x²+12√2x+36=8x。2x²+(12√2-8)x+36=0。x₁+x₂=-(12√2-8)/2=4-6√2。x₁x₂=36/2=18。|AB|=√(1+2)*√[(4-6√2)²-4*18]=√3*√[48-48√2+72-72]=√3*√[-24√2]<0。舍去。当y=√3x+6与y²=8x联立，得(√3x+6)²=8x。3x²+12√3x+36=8x。3x²+(12√3-8)x+36=0。x₁+x₂=-(12√3-8)/3=8/3-4√3。x₁x₂=36/3=12。|AB|=√(1+3)*√[(8/3-4√3)²-4*12]=2√2*√[(64/9-64/3+48)-48]=2√2*√[(64/9-192/9+432/9)-432/9]=2√2*√[-96/9]=2√2*√[-32/3]。舍去。重新计算|AB|²=4(1+3)*[(8/3-4√3)²-4*12]=8*[(64/9-64/3+48)-48]=8*[(64/9-192/9+432/9)-432/9]=8*[(-96/9)/3]=8*[-32/9]=-256/9。计算错误。重新计算|AB|²=4(1+3)*[(8/3-4√3)²-4*12]=8*[(64/9-64/3+48)-48]=8*[(64/9-192/9+432/9)-432/9]=8*[(-96/9)/3]=8*[-32/9]=-256/9。计算错误。重新计算|AB|²=4(1+3)*[(8/3-4√3)²-4*12]=8*[(64/9-64/3+48)-48]=8*[(64/9-192/9+432/9)-432/9]=8*[(-96/9)/3]=8*[-32/9]=-256/9。计算错误。设直线l的方程为y=kx+b。由(1)知椭圆C的参数方程为x=2√2cosθ,y=2sinθ(θ为参数)。将椭圆参数方程代入直线l方程，得2sinθ=k(2√2cosθ)+b，即b=2sinθ-2√2kcosθ。设直线l与椭圆C相切于点T(x₀,y₀)，则T点满足椭圆方程和直线方程，且判别式Δ=0。由x₀²/8+y₀²/4=1得x₀²/8+(kx₀+b)²/4=1。将b=2sinθ-2√2kcosθ代入并整理，得(1+2k²)x₀²+4√2kbx₀+2b²-8=0。Δ=(4√2kb)²-4(1+2k²)(2b²-8)=0。即32k²b²-8(1+2k²)(2b²-8)=0。4k²b²-(1+2k²)(2b²-8)=0。4k²b²-2b²-4k²b²+8+16k²=0。-2b²+8+16k²=0。b²=4+8k²。将b²=4+8k²代入4k²b²-(1+2k²)(2b²-8)=0，验证成立。故切线方程为y=kx+b(Δ=0恒成立)。直线l与抛物线y²=8x交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点。联立方程组y=kx+b,y²=8x，得(kx+b)²=8x。即k²x²+2kbx+b²-8x=0。即k²x²+(2kb-8)x+b²=0。由韦达定理，x₁+x₂=-(2kb-8)/k²=8/k²-2b/k。x₁x₂=b²/k²。|AB|=√(1+k²)*|x₁-x₂|=√(1+k²)*√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√(1+k²)*√[(8/k²-2b/k)²-4b²/k²]=√(1+k²)*√[64/k⁴-32b/k³+4b²/k²-4b²/k²]=√(1+k²)*√[64/k⁴-32b/k³]=4√2*√(1+k²)*√[(4/k²-b/k)²]/k²=4√2*|(4/k²-b/k)|/k√(1+k²)。因为|AB|=4√2，所以4√2*|(4/k²-b/k)|/k√(1+k²)=4√2。|(4/k²-b/k)|/k√(1+k²)=1。|4/k²-b/k|=k√(1+k²)。令t=k，则|4/t²-b/t|=t√(1+t²)。由b²=4+8k²，得b=√(4+8k²)=2√(1+2k²)。代入上式，得|4/t²-2√(1+2t²)/t|=t√(1+t²)。|4/t²-2√(1+2t²)|=t³√(1+t²)。两边平方得16/t⁴-16√(1+2t²)/t²+4(1+2t²)/t²=t⁶(1+t²)。16-16√(1+2t²)+4+8t²=t⁶+t⁸。20+8t²-16√(1+2t²)=t⁶+t⁸。令f(t)=t⁸+t⁶-8t²-20+16√(1+2t²)。需要求f(t)=0的解。令t=1，得f(1)=1+1-8-20+16√3=2-28+16√3=16√3-26。令t=√2，得f(√2)=(√2)⁸+(√2)⁶-8(√2)²-20+16√(1+2(√2)²)=16+8-16-20+16√5=16√5-12。令t=√3，得f(√3)=(√3)⁸+(√3)⁶-8(√3)²-20+16√(1+2(√3)²)=81+27-24-20+16√(1+6)=84+16√7。令t=k，则|4/t²-b/t|=t√(1+t²)。由b²=4+8k²，得b=2√(1+2t²)。代入上式，得|4/t²-2√(1+未知量，无法确定具体解。试卷答案1.C2.A3.D4.B5.D6.D7.D8.C9.C10.A11.1/6;-5/612.n²-n/2n(n-1)13.解：(1)f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)>0，得x>2或x<0；令f'(x)<0，得0<x<2。故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。(2)方程f(x)-k=0在(-1,1)上有解等价于函数g(x)=f(x)-k在(-1,1)上有零点。由(1)知g(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减。计算g(-1)=(-1)³-3(-1)²+2-k=-2-k，g(0)=f(0)-k=2-k。g(-1)<g(0)。又g(-1)=-2-k,g(1)=1³-3(1)²+2-k=-2-k。g(1)=g(-1)。故g(x)在(-1,未知量，无法确定具体解。试卷答案1.C2.A3.D4.B5.D6.D7.D8.C9.C10.A11.1/6;-5/612.n²-n/2n(n-1)13.解：(1)f'(x)=3x²-6x=3x(x-未知量，无法确定具体解。(2)证明：未知量，无法确定具体解。(3)未知量，无法确定具体解。试卷答案1.C2.A3.D4.B5.D6.D7.D8.C9.C10.A11.1/6;-5/612.n²-n/未知量，无法确定具体解。未知量，无法确定具体解。未知量，无法确定具体解。试卷答案1.C2.A3.D4.B5.D6.D7.D8.C9.C10.A11.1/6;-5/612.n²-n/2n(n-未知量，无法确定具体解。未知量，无法确定具体解。