2025-2026学年北京市西城区德胜中学九年级下学期数学3月考月考试题（含答案）

/北京市西城区德胜中学2025-2026学年九年级下学期数学3月考月考试题一、单选题1．下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为（

）A． B．C． D．2．据报道，2025年春节假期北京接待游客约1758万人次，其中北京中轴线日均接待游客42.4万人次．将17580000用科学记数法表示应为（）A． B． C． D．3．直尺和三角板如图摆放，若，则的大小为（

）A． B． C． D．4．每一个外角都是的正多边形是（

）A．正四边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形5．已知，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．6．现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为，则两次抽取的牌花色相同的概率为（

）A． B． C． D．7．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．且8．如图，是的弦，与的半径交于点，过点作的切线交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③设的半径为，则的长是关于的方程的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题9．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．10．分解因式：2a3﹣8a=________．11．方程的解为___________．12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为___________．13．如图，在中，点在边上，，的延长线交于点．若，，则___________．14．如图，在的内接四边形中，点A是的中点，连接，若，则_______．15．如图，在正方形中，点，，分别在边，，上．若，，，则的度数为______（用含的式子表示）．16．桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母）___________．三、解答题17．计算：．18．解不等式组:

19．已知，求代数式的值．20．如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接．（1）求证:四边形是菱形；（2）若求菱形的面积．21．我国首台千万亿次超级计算机“天河一号”现在安装的是由我国自行设计制造的“飞腾”计算机中央处理器芯片、据了解，安装“飞腾”芯片后，“天河一号”的运算速度将在原来的基础上提速20%，达到每秒1200万亿次．已知一项复杂的运算任务在安装“飞腾”芯片后比安装前使用其他芯片快10分钟，请算出“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需多长时间．22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，且与轴交于点．（1）求该函数的解析式及点的坐标；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．23．商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息：．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：，；．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；．甲、乙两种商品成本与售价信息如下：甲商品的成本与售价信息表第一周第二周第三周第四周第五周成本售价mnp乙商品的成本与售价统计图根据以上信息，回答下列问题：（1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________；（2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高；（3）记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）．24．如图，为的直径，为的弦，于点．的切线与的延长线交于点为上一点，，连接．（1）求证：；（2）若的半径为3，，求的长．25．某校为促进学生的体能发展，培养学生的运动习惯，特开展“运动悦生活”主题活动．同学们可以选择不同的体育运动进行每日打卡，当运动量累计达到一定标准，同学们可领取相应的奖励．下面是针对跳绳运动的两种打卡方式：方式一：每天跳绳100个；方式二：第一天跳绳10个，之后每天跳前一天的2倍．表一每天跳绳个数天数1234．．．方式一100100100100．．．100方式二10．．．表二累计跳绳个数天数1234．．．方式一100200300400．．．___________方式二．．．___________（1）根据上述两种打卡方式补全表二；（2）根据表二，以天数为横坐标，该天累计跳绳个数为纵坐标，绘制相应的点，并连线表达变化趋势．其中表示方式二变化趋势的图象是___________（填或），根据趋势判断，从第___________天完成打卡时开始，选择方式二累计跳绳的个数超过方式一；（3）李华想通过打卡领取一份累计跳绳1000个以上对应的奖励，已知选择方式一比选择方式二所需的打卡天数多5天，李华需要累计的跳绳个数（单位：个）的取值范围是___________．26．已知抛物线．（1）若，求抛物线与轴的两个交点之间的距离．（2）已知点和点是抛物线上的两点．①直接写出的值；②若对于任意的，直线与抛物线有两个交点和，且当时，总有．结合图象，求的取值范围．27．在等腰直角中，．是线段上一点（不与点重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接线段，过点作的垂线，垂足为点，交射线于点．（1）当时，如图1，点在线段上，，求证：．（2）当时，线段与交于点，依题意补全图2，判断线段与的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系中，点是正方形边上的点，且满足．点是正方形外一点，若存在线段，使得点关于线段中点的对称点在正方形内，且满足，则称点为正方形的“对称直角点”．已知点．（1）已知．①在点中，点___________是正方形的“对称直角点”；②记正方形的“对称直角点”到原点的距离为，则的取值范围是___________；（2）已知点在直线上，位于第一象限．若点是正方形的“对称直角点”，且点到线段的距离不大于1，则的取值范围是___________．

答案1．【正确答案】A【分析】本题考查三视图中的俯视图．根据题意逐项判断即可．【详解】解：A.俯视图是圆，此选项符合题意；B.俯视图是长方形，此选项不符合题意；C.俯视图是三角形，此选项不符合题意；D.俯视图是正方形，此选项不符合题意．故选A．2．【正确答案】C【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键．【详解】解：依题意，17580000用科学记数法表示应为，故选C．3．【正确答案】D【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到，再由邻补角互补即可得出结果．【详解】解：如图所示：，∵，∴，由题意得，直尺的两边平行，∴，∴，故选D．4．【正确答案】D【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得多边形的边数．【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于，∴这个多边形的边数是，故选D．5．【正确答案】A【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由，可得，然后判断作答即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选A．6．【正确答案】B【分析】本题考查了列表法求概率．正确列表并不重复不遗漏的列出所有可能的结果数以及满足题意的结果数成为解题的关键．根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数和满足题意的情况数，然后根据概率公式即可解答．【详解】解：三张扑克牌分别用A、B、B表示，列表如下：ABBA（B，A）（B，A）B（A，B）（B，B）B（A，B）（B，B）共有6种等可能的情况数，其中抽取的两张牌花色相同的有2种情况，则抽取的两张牌花色相同的概率为．故选B．7．【正确答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可．【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，∴，∴且，故选C．8．【正确答案】B【分析】连接，，，由切线得到，再由垂径定理结合得到垂直平分，推出，，，，然后利用勾股定理和相似三角形的性质逐个判断即可．【详解】解：连接，，，∵过点作的切线交延长线于点，∴，∵是的弦，，∴垂直平分，∴，，，∴，，∴，①中，，中，，∴，故①说法正确；②∵，∴，∴，∴，∴，∴，故②错误；③设的半径为，则，∵中，，∴，整理得，∴的长是关于的方程的一个实数根，故③正确；综上所述，所有正确结论的序号是①③，故选B．9．【正确答案】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴x-1≥0，解得x≥1．10．【正确答案】2a（a+2）（a﹣2）【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】．11．【正确答案】【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意先去分母，再解整式方程，最后检验即可．【详解】解：去分母，得，解得，检验：经检验是原分式方程的解，故答案为．12．【正确答案】0【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，将点和代入之中得，，由此可得的值．【详解】解：∵函数的图象经过点和，∴，，∴，，∴．13．【正确答案】2【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．利用平行四边形的性质，证明，得到，即可求解．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，.14．【正确答案】25【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出的性质，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵的内接四边形中，，∴，∵点A是的中点，∴，∴.15．【正确答案】【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，取的中点，连接，可得，进而利用正方形的性质证明，得到，即得，得到，即可得，再根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键【详解】解：如图，取的中点，连接，则，．∵，∴，∵四边形是正方形，∴，，，，∵，，∴四边形四平行四边形，又∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴.16．【正确答案】或【分析】本题考查推理与论证，认真分析题干描述的过程得勺子在最左边或最右边，然后再分类讨论，即可作答．【详解】解：根据题意，若完成上述三个步骤后，勺子的位置未发生改变，则勺子在最左边或最右边，当勺子在最左边时，则筷子在勺子的右边，杯子在最右边；当勺子在最右边时，则杯子在勺子的左边，筷子在最左边；∴三样物品的初始摆放位置从左到右依次是或.17．【正确答案】【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算绝对值，负整数指数幂，代入三角函数值，化简二次根式，再合并即可．【详解】解∶

．18．【正确答案】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出两个不等式的解，再求公共解，即得答案．【详解】原不等式组为解不等式①，得，解不等式②，得，原不等式组的解集为．19．【正确答案】1【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据完全平方公式去括号，然后把分母合并同类项得到，再根据已知条件可得，据此可得答案．【详解】解：，，．原式．20．【正确答案】（1）见详解（2）32【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出，再证和全等，得出，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形是菱形；（2）分别求出、的长，即可得出对角线、的长，根据菱形的面积公式计算即可．【详解】（1）证明：，，，四边形是平行四边形，，，，，在和中，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；（2）解：，，是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，，，即，，四边形是菱形，，，菱形的面积．21．【正确答案】50分钟【分析】本题考查一元一次方程的应用，设以现在的运算速度完成这项任务需x分钟，“天河一号”原来的运算速度为，根据这项任务的总量不变列出方程求解即可．【详解】解：设以现在的运算速度完成这项任务需x分钟，，解得．答：“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需50分钟时间．22．【正确答案】（1）函数的解析式为，点C的坐标为（2）【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，及解不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解．（2）根据题意结合解出不等式，结合这个条件，得，然后再解，结合这个条件，得，即可求解．【详解】（1）解：将，代入函数解析式得，，解得，∴函数的解析式为：，当时，，∴点C的坐标为．（2）解：∵函数的值大于函数的值，由题意得，，即，又，∴，解得：，∵函数的值小于函数的值，∴，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围为．23．【正确答案】（1），（2），四（3）【分析】（1）由题意知，成本从小到大依次排序为；则甲商品这五周成本的平均数为，中位数为第3个位置的数，求解作答即可；（2）由题意知，第二周成本的涨跌幅为，第二周售价的涨跌幅为，可求；同理可求；；根据，作答即可；（3）由，可知改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，即，然后作答即可．【详解】（1）解：由题意知，成本从小到大依次排序为；∴甲商品这五周成本的平均数为，中位数为第3个位置的数即中位数是.（2）解：由题意知，第二周成本的涨跌幅为，∴第二周售价的涨跌幅为，解得，；同理，第四周成本的涨跌幅为，第四周售价的涨跌幅为，解得，；第五周成本的涨跌幅为，第五周售价的涨跌幅为，解得，；∵，∴从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高.（3）解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，∵，∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，∴.24．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】（1）如图所示，连接并延长交于点H，由切线得到，然后得到，由垂径定理得到，，证明出，得到，即可得到；（2）如图所示，过点G作于点M，得到，求出，由全等得到，，然后利用勾股定理和解直角三角形求解即可．【详解】（1）证明：如图所示，连接并延长交于点H，∵是的切线，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴；（2）解：如图所示，过点G作于点M，∵，∴，∴，∴，∵的半径为3，∴，∴，由（1）得，，∴，∴，，∴，∵，即，∴，∴，∴，∴．25．【正确答案】（1），；（2）（3）或【分析】本题考查了列代数式，函数图象，一元一次不等式的应用，找出规律是解题的关键．（1）根据表格数据，总结规律，即可作答．（2）根据表二变化趋势，得出表示方式二变化趋势的图象是，再分析当时和当时，两种方式的跳绳个数，即可作答．（3）先设方式二所需的打卡天数为天，则方式一所需的打卡天数为天，列出不等式，则，再分析当时和当时，两种方式的跳绳个数，即可作答．【详解】（1）解：结合表二数据，方式一：得天数为，则累计跳绳个数为100，天数为2，则累计跳绳个数为200，天数为3，则累计跳绳个数为300，天数为4，则累计跳绳个数为400，……以此类推：天数为，则累计跳绳个数为；方式二：得天数为，则累计跳绳个数为，天数为2，则累计跳绳个数为，天数为3，则累计跳绳个数为，天数为4，则累计跳绳个数为，……以此类推：天数为，则累计跳绳个数为.（2）解：根据表二，以天数为横坐标，该天累计跳绳个数为纵坐标，绘制相应的点，并连线表达变化趋势．∵一开始，方式一的跳绳个数大于方式二，∴其中表示方式二变化趋势的图象是，根据趋势判断，依题意，当时，则，，当时，则，，∵，∴从第6天完成打卡时开始，选择方式二累计跳绳的个数超过方式一.（3）解：依题意，设方式二所需的打卡天数为天，则方式一所需的打卡天数为天，∵李华想通过打卡领取一份累计跳绳1000个以上对应的奖励，则，∴，当时，则，，不符合题意；当时，则，，符合题意；当时，则，，∴李华需要累计的跳绳个数（单位：个）的取值范围是．同理方式二李华需要累计的跳绳个数s（单位：个）的取值范围是．综上，李华需要累计的跳绳个数s（单位：个）的取值范围是或．26．【正确答案】（1）（2）①；②【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，以及函数图象交点与一元二次方程的关系，数形结合是解答本题的关键．（1）把代入，然后令求解即可；（2）①由顶点坐标可知，即可求出的值；②画出函数图象，结合图象求出h的临界值即可．【详解】（1）解：把代入，得，当时，，解得，∴，∴物线与轴的两个交点之间的距离为；（2）解：①∵，∴抛物线顶点坐标为，∵点在抛物线上，∴，∴；②∵抛物线顶点坐标为，∴顶点在直线上移动．如图1，当与抛物线的交点在对称轴的右侧时，当时，不总有，故不符合题意；如图2，当与抛物线的交点在对称轴上及对称轴的左侧，与抛物线相切时，当时，总有，把代入，得，解得，即．由，得，∵与抛物线相切，∴，解得，∴当时，总有，的取值范围是．27．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形；（1）连接，证明，得到，即可得到，根据等角对等边得到．（2）先根据题意画出图形，过作交延长线于，由旋转得到，，则，，推出，，设，，则，，，然后根据，利用不同的三角函数在不同的直角三角