2025-2026学年河北省保定市爱和城学校下学期九年级第一次月考数学试卷（含答案）

/河北省保定市爱和城学校2025-2026学年下学期九年级第一次月考数学试卷一、单选题1．一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最差的是（

）A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个2．下列各式，计算正确的是（

）A． B．C． D．3．如图几何体的左视图是（

）A． B． C． D．4．若正比例函数图象过点，则下列说法正确的是（

）A．函数图象过一、三象限B．函数图象过点C．函数值随自变量的增大而增大D．函数图象向右平移1个单位后的函数的解析式是5．计算(m个9）=（）A．81 B．9m C． D．6．若，，估计的值在（

）A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间7．如图，以点为圆心，适当的长为半径圆弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则（

）A． B． C． D．8．点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为（

）A． B． C． D．9．矩形的面积是，长与宽之间的函数关系大致为（

）A． B．C． D．10．试卷上一个正确的式子被小明同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分⋆处的代数式为（

）A． B． C． D．11．小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示形状，并测得，接着活动学具成为图2形状所示，并测得，若图2中对角线，则图1中对角线的长为（

）A． B． C． D．12．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第2025个图案中菱形的个数是（

）A．6071 B．6072 C．6073 D．6074二、填空题13．因式分解：________．14．某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据的中位数是_____．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形是位似图形且点与点C是一对对应点，点的坐标为（1，1），点的坐标为（4，2），则它们的位似中心的坐标是______．

16．定义新运算：①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向或负方向．平移个单位长度，再沿着轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作．②加法运算法则：，其中，，，为实数．若，则_____．三、解答题17．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合；（2）若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题：①1表示的点与哪个数表示的点重合；②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？18．某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费400元，当研学人数超过100人时，旅行社给出两种优惠方案：方案一：研学团队先交2000元后，每人收费300元；方案二：4人免费，其余每人收费打8折．（1）用代数式表示，当参加研学的总人数是人时，方案一和方案二各是多少钱？（2）当参加旅游的总人数是多少人时，采用方案一省钱？19．某校为了解学生身体健康状况，从全校1000名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表）．并绘制出不完整的条形统计图（如图）．学生体质健康统计表成绩频数百分比不及格3及格20%良好45优秀3232%（1）分别求出表中、、的值；（2）请补全图中的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数；（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”和1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率．20．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行10海里后到达港，再沿北偏东万向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）（1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．21．如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．

（1）求这个反比例函数的表达式；（2）画出反比例函数的图象；（3）将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？22．【情景导入】在物理学中，自由落体下落的距离与下落时间的平方成正比．若忽略空气阻力，则与满足函数关系，表示重力加速度，看作一个定值．如表是一次试验的记录，根据如表，求的值，并求出与的关系式．52045123【尝试探索】如图所示，一个重力为的物体在理想环境下做自由落体运动，后落地．求下落点到地面的距离．【实际应用】若某人从20楼失足落下，忽略一切影响因素，假设他做自由落体运动，每层楼高，在他开始运动的同时，消防员恰好赶到，则消防员铺设气垫至少需要10秒，通过计算说明此人能否得以生存？23．在矩形中，，，点是边上一点，且．点是直线上一点且在点的右侧，，点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为秒，以为圆心，为半径作半圆；交直线分别于点，（点在的左侧）．

（1）当秒时，求的长；（2）当点与点重合时，求半圆被矩形的对角线所截得的弦长；（3）直接写出当为何值时，半圆与四边形的边相切．24．如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为、，点是抛物线的顶点．

（1）求二次函数的关系式；（2）点为线段上一个动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为．①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围；②求的最大值．

答案1．【正确答案】B【分析】本题考查了正数和负数的应用，绝对值，根据绝对值最大的是质量最差的可得答案．【详解】解：∵，∴的误差最大，∴这四个零件中质量最差的是第二个．故选B．2．【正确答案】C【分析】本题主要考查了同底数幂相乘（除），幂的乘方，合并同类项，根据同底数相乘，底数不变，指数相加判断A，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，解答判断B，然后根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，解答判断C，最后根据是否是同类项判断D即可．【详解】解：因为，所以A不符合题意；因为，所以B不符合题意；因为，所以C符合题意；因为不是同类项，不能合并，所以D不符合题意．故选C．3．【正确答案】B【分析】本题考查了判断小正方体堆砌图形的三视图，关键是掌握几何体的三视图及空间想象能力．细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【详解】解：从左边看有1列，上下各一个正方形，如图．故选B．4．【正确答案】D【分析】设正比例函数为，待定系数法求得解析式，根据解析式以及正比例函数的性质即可判断各选项即可求解．【详解】解：正比例函数图象过点，设正比例函数为，则解得正比例函数的解析式为，函数图象经过二、四象限，故A选项不正确，当时，，则函数图象经过点，故B选项不正确，，则函数值随自变量的增大而减小，故C选项不正确，函数图象向右平移1个单位后的函数的解析式是，即，故D选项正确，故选D．5．【正确答案】D【分析】根据9+9+9+…+9=9m，，代入化简计算即可．【详解】∵==，故选D．6．【正确答案】A【分析】本题考查估算无理数的大小，涉及不等式性质，先计算，再估算，从而确定即可得到答案，正确估算出是解决问题的关键．【详解】解：，，，，，则，即估计的值在0和1之间，故选A．7．【正确答案】B【分析】本题考查的知识点是菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握菱形的判定．先由作图得到，再由菱形的判定与性质求解即可．【详解】解：依题得：，四边形是菱形，．故选．8．【正确答案】A【分析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答．【详解】解：连接，，

∵五边形是正五边形，∴，∴，∴，∵点F是的中点，∴是的垂直平分线，∴，∵在正五边形中，，∴，∴．故选A．9．【正确答案】D【分析】考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象．熟练根据题意列出关系式，并掌握反比例函数的图象是解题的关键．根据题意有，得出，故与之间的函数图象为反比例函数，且根据、的实际意义有、应大于即可得到结论．【详解】解：由题意，得，其中，，则，是反比例函数，且函数图象在第一象限，故选D．10．【正确答案】B【分析】本题主要考查了分式的运算，先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的除法计算可得答案．【详解】解：由，得，即，所以．故选B．11．【正确答案】C【分析】根据勾股定理即可求得正方形的边长，根据菱形的性质和勾股定理即可求得图1中BD的长．【详解】解：由题意可知，，∴四边形是菱形（图1），当时，四边形是正方形（图2），∴图2中，，∴在中，，∴，在图1中，连接，交于，如图所示：∵，四边形是菱形，∴，∴，，∴；故选C．12．【正确答案】D【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可．【详解】解：第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有个菱形，第③个图案中有个菱形，第④个图案中有个菱形，，第个图案中有个菱形，第2025个图案中菱形的个数为，故选D．13．【正确答案】【分析】本题考查的是综合公式法与提公因式分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解.14．【正确答案】【分析】本题考查求中位数，将一组数据按照从小到大（从大到小）的顺序排序后，处于中间位置的数就是该组数据的中位数，将题中数据按照从小到大排序：81，82，82，83，85，86，89，92，按要求即可得到答案，熟记中位数的求法是解决问题的关键．【详解】解：将题中数据按照从小到大排序：81，82，82，83，85，86，89，92，这组数据的中位数是.15．【正确答案】（-2，0）【分析】利用待定系数法求出直线CF的解析式，根据位似变换的性质解答即可．【详解】解：∵正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F与点C是一对对应点，∴点B与点E是对应点，∴它们的位似中心在x轴上，且与直线CF相交，交点为H，如图：

设直线CF的解析式为，则，解得：，∴直线CF的解析式为，当y=0时，x=-2，∴它们的位似中心的坐标是（-2，0）.16．【正确答案】【分析】本题考查直角坐标系中点的平移，二元一次方程组，熟练理解题意并根据题意列式是解题的关键．根据题意列出二元一次方程组，求解即可．【详解】解：∵，根据加法运算法则，得，解得：，则.17．【正确答案】（1）3（2）①，②、两点表示的数分别是、．【分析】本题考查了数轴，主要利用了数轴的对称性，读懂题目信息，分别求出对称中心是解题的关键．（1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可；（2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可；②求出的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解．【详解】（1）解：（1）表示的点与表示的点重合，对称中心为0，表示的点与数3表示的点重合；（2）表示的点与2表示的点重合，对称中心为，①，表示的点与数表示的点重合；②，两点之间的距离为5，的一半为，在的左侧，点表示，点表示．、两点表示的数分别是、．18．【正确答案】（1）元；元（2）当参加旅游的总人数超过164人时，采用方案一省钱【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．（1）根据题意，即可求解；（2）根据方案一省钱，列出不等式求解即可．【详解】（1）解：方案一的费用是元，方案二的费用是（元）；（2）解：令，解得，答：当参加旅游的总人数超过164人时，采用方案一省钱．19．【正确答案】（1）3%，20，45%（2）补全条形统计见详解，30人（3）【分析】（1）先根据选取的优秀人数和百分比求出选取的人数，再根据总数、频数、百分比的关系即可求得答案；（2）根据及格的人数，补全条形统计图；再由不及格人数占比估计总体即可得到答案；（3）画树状图列出所有等可能的结果，再找出一名“良好”，一名“优秀”的结果，利用概率公式可得出答案．【详解】（1）解：这次调查的人数为：（人），，，，故3%，20，45%；（2）解：补全条形统计图如下：则（人），估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数为30人；（3）解：设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁，画树状图如图：∵共有12种等可能的结果，其中两人是一名“良好”，一名“优秀”的结果是甲丁、乙丁、丙丁、丁甲、丁乙、丁丙共6种，∴所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率为．20．【正确答案】（1）19.3海里（2）甲货轮先到达港，计算说明见详解【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）根据题意可得：，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算比较即可解答．【详解】（1）解：过点作，垂足为，如图所示：在中，海里，∴（海里），（海里），在中，，∴（海里），∴（海里），∴两港之间的距离约为19.3海里；（2）解：甲货轮先到达港，理由如下：如图所示：由题意得，∴，∴，在中，，∴海里，海里，在中，海里，∴（海里），∴甲货轮航行的路程（海里），乙货轮航行的路程（海里），∵24.1海里＜26.4海里，∴甲货轮先到达港．21．【正确答案】（1）（2）见详解（3）【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．（1）将A点坐标代入即可求解；（2）分别找出三个整数点即可画出函数图象；（3）由，当时，，从而得到平移距离．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，将代入得解析式得，∴，∴这个反比例函数的表达式为；（2）解：三个整数点，如图所示：

（3）解：由题意可知，当时，，将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为．22．【正确答案】【情景导入】；【尝试探索】；【实际应用】不能得以生存【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意确定出二次函数的解析式是解题的关键，注意实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义．[情景导入]依据表格中的数据进行计算，即可得到的值，进而得到与的关系式；[尝试探索]把代入关系式，即可得到的值；[实际应用]根据楼高的值，得到的值，进而得出结论．【