2025-2026学年天津市南开区翔宇弘德学校八年级下学期第一次月考数学试卷（含答案）

/天津市南开区翔宇弘德学校2025−2026学年八年级下学期第一次月考数学试卷一、单选题1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且2．下列各式中，为最简二次根式的是（

）A． B． C． D．3．下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．4．下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（

）A．1，5，6 B．2，3，4 C．3，4，5 D．，，5．如图是一个长方体，其中棱，，，点是的中点．一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面按如图所示的路径到点处觅食，那么它爬行的最短路程为（

）A． B． C．5 D．66．下面四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等，其中逆命题是真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（

）A． B． C． D．8．如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（

）．A． B． C． D．9．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别是90，85，90，80，95，则这组数据的中位数是（

）A．95 B．90 C．85 D．8010．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（

）A．6 B．12 C．10 D．811．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．1012．如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个二、填空题13．计算：_______．14．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点坐标为，则线段_____．15．将一支长为的圆珠笔，放在底面内径为，高为的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为，则的取值范围是______．16．如图，边长为1的正方形的边落在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数为______．17．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，点C在格线上，M点为线段上一动点．（1）线段的长度为____；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，找出一点N，使得与平行，并说明点N是如何找到的（不要求证明）____________．三、解答题19．计算：（1）；（2）．20．为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：（1）填空：a的值为________，图①中的值为________；（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．21．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且．（1）试说明：；（2）该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？22．如图，平行四边形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形．23．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．【知识运用】（2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）；（3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长．（4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值___________．24．将一个含角的直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，，点B．D是边上一点（不与点A，B重合），沿折叠该纸片，得点B的对应点C．（1）如图①，当点C落在边上时，___________．（2）如图②，当y轴时，求点C的坐标；（3）若折叠过程中，若与重叠部分是直角三角形时，求重叠部分面积．

答案1．【正确答案】B【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：式子在实数范围内有意义，且，解得：且，故选B．2．【正确答案】B【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是关键．最简二次根式的条件是：被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，据此求解即可．【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、，不是最简二次根式，不符合题意；D、被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意；故选B．3．【正确答案】D【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加法、减法、除法分别进行进行计算即可得到答案．【详解】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；

B.，故选项错误，不符合题意；C.，故选项错误，不符合题意；

D.，故选项正确，符合题意；故选D4．【正确答案】C【分析】本题考查了能否构成直角三角形．熟练掌握三角形三边关系，勾股定理的逆定理，是解题的关键．三角形三边关系，三角形任意三边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据三角形三边关系和勾股定理的逆定理逐一判定即可．【详解】解：A、，不能构成三角形，故A选项不符合题意；B、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故B选项不符合题意；C、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故C选项符合题意；D、，不能构成三角形，故D选项不符合题意．故选C．5．【正确答案】A【分析】本题考查了勾股定理的应用-最短距离问题，根据题意画出展开图是解题的关键．先根据题意画出平面展开图，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：将蚂蚁爬行的两个面展开，如图所示：则，∵，，，点是的中点，∴，∴，∴它爬行的最短路程为，故选A．6．【正确答案】A【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质，属于基础知识，比较简单．利用平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；②同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，正确，为真命题，符合题意；③全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意；④如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等的逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误，为假命题，，不符合题意；真命题有1个，故选A．7．【正确答案】A【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质可得结论．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故选A．8．【正确答案】A【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，，，∵将沿折叠至处，，，故选A．9．【正确答案】B【分析】将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．依此即可求解．【详解】把数据按从小到大的顺序排列为：80，85，90，90，95，则中位数是90．10．【正确答案】A【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出，即，再根据可得出的值，即可求解．【详解】解：由勾股定理得：，即，，，由图形可知，阴影部分的面积为，故选A．11．【正确答案】D【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，利用平移思想，求出的值，进而求出的值即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴点是由点先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，∴点先向左平移1个单位，再向下平移2个单位即为点的坐标，即：，∴，∴，∴；故选D．12．【正确答案】D【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，即可判断①，证明，利用三角形的中位线性质可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判断④．【详解】解：四边形为平行四边形，，，，，∵平分，，，∴为等边三角形故①正确；∴，∵，∴∴，∵，∴故②正确；∵，，∴，∴，∵∴∴∴，∴，故③正确；∵，∴∵，∴∴，故④正确；综上成立的个数是个，故选．13．【正确答案】6【分析】本题考查了平方差公式和二次根式的性质，根据平方差公式和二次根式的性质计算即可．【详解】解：14．【正确答案】【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答的关键．由题意可知，，再由勾股定理列式计算即可．【详解】解：设在平面直角坐标系中，坐标原点为，∵点的坐标为，点坐标为，∴，，，∴.15．【正确答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用，分当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长两种情况求解即可．【详解】解：如图，当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，如图所示，此时，，∴最短为；如图，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长，最长为，故的取值范围是，故．16．【正确答案】/−1+5【分析】本题考查了实数与数轴上的点，勾股定理；由勾股定理得，由线段和差得，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．【详解】解：由题意得，，，，，；故答案：．17．【正确答案】或【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动，∴运动时间为（秒）∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，到达的时间为（秒），∴当在点以及点的左边时，即时，则，当在的右边时，即时，则，以点为顶点的四边形是平行四边形时，①当四边形为平行四边形时，，，∴，解得：；②当四边形为平行四边形时，，，∴，解得，综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形．18．【正确答案】；见详解【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．（1）利用勾股定理求解即可；（2）连接，取的中点O，连接，延长交网格线于点E，连接，取的中点H，作直线，连接交直线于点F，连接，延长交于点N，连接即可．【详解】解：（1）由图，可知．（2）如图，点N即为所求．方法：连接，取的中点O，连接，延长交网格线于点E，连接，取的中点H，作直线，连接交直线于点F，连接，延长交于点N，连接即可（根据，推出四边形是平行四边形，利用全等三角形的性质证明可得结论）．19．【正确答案】（1）（2）6【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键：（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．【详解】（1）解：；（2）．20．【正确答案】（1），；（2）平均数是，众数是，中位数是．【分析】（1）根据条形图求出各组数据总和可得到，再根据百分比的定义求m即可；（2）根据平均数，众数，中位数的定义求解即可；【详解】（1）解：由题意，，岁学生所占百分比为.（2）观察条形统计图，∵，∴这组数据的平均数是．∵在这组数据中，出现了次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是．∵将这组数据按由小到大的顺序排列，处于中间的两个数都是，有，∴这组数据的中位数是．21．【正确答案】（1）见详解（2）7200元【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．（1）由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，即可说明；（2）过A作于点E，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后求出阴影部分的面积，即可解决问题．【详解】（1）解：，，，，是直角三角形，其中是斜边，；（2）解：如图，过A作于点E，，，，，，，，，（元），此块空地全部种植花卉共需花费7200元．22．【正确答案】见详解【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形对应边平行且相等得到且即可得到证明．【详解】证明：∵四边形和四边形都是平行四边形，∴且，且，∴且，∴四边形是平行四边形．23．【正确答案】（1）见详解；（2）25；（3）千米；（4）【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、矩形的判定与性质、二次根式的应用等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．（1）先根据直角梯形的面积公式可得，再求出，由此即可得证；（2）过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得千米，千米，再在中，利用勾股定理求解即可得；（3）作的线段垂直平分线，交于点，连接，设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理可得和的值，再根据建立方程，解方程即可得；（4）构造图形（见详解），其中，点是上一动点，设，则，利用勾股定理可得，则可将求代数式的最小值转化为求的最小值，延长至点，使得，过点作，交延长线于点，连接，，则可得即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】（1