2023-2024学年北京市首都师大附中朝阳学校教育集团七年级（下）期中数学试卷及答案解析

第1页（共1页）2023-2024学年北京市首都师大附中朝阳学校教育集团七年级（下）期中数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）的相反数是（）A． B． C． D．2．（2分）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（）A． B． C． D．3．（2分）如图，点B，C，E三点共线，且BA∥CD，则下面说法正确的是（）A．∠2＝∠B B．∠1＝∠B C．∠3＝∠B D．∠3＝∠A4．（2分）明代数学家程大位的著作《算法统综》中有一个“绳索量竿”问题：“一只竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，问索长几尺？”译文为：“现有一根竹竿和一条绳索，用绳索去量竹竿，绳索比竹竿长5尺，如果将绳索对折后再去量竹竿，就比竹竿短5尺，问绳索长几尺？”（注：一托＝5尺）设绳索长x尺，竹竿长y尺，根据题意列方程组正确的是（）A． B． C． D．5．（2分）一把直尺和一个含30°，60°角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且∠CED＝50°，那么∠BAF的大小为（）A．10° B．20° C．30° D．40°6．（2分）已知是二元一次方程ax﹣3y＝0的解，则点（a，3﹣a）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则黄金比（参考数据：2.12＝4.41，2.22＝4.84，2.32＝5.29，2.42＝5.76）（）A．在0.1到0.3之间 B．在0.3到0.5之间 C．在0.5到0.7之间 D．在0.7到0.9之间8．（2分）如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积为4，则图中阴影部分的面积是（）A． B．2 C． D．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）实数4的算术平方根为．10．（2分）若点P（2x+6，3x﹣3）在y轴上，则点P的坐标为．11．（2分）若一个二元一次方程组的解是请写出一个符合此要求的二元一次方程组．12．（2分）如图，直线a∥b，∠BAC的顶点A在直线a上，且∠BAC＝100°．若∠1＝34°，则∠2＝°．13．（2分）用一个实数m的值说明命题“是假命题，这个m的值可以是．14．（2分）若和都是关于x、y的方程y＝kx+b的解，则2k+4b的值为．15．（2分）如图，∠C＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足的关系式为．16．（2分）在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，点中，x、y的值若满足2x﹣y＝4，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题：点A（3，4）（填“是”或“不是”）“直线点”，若点M（a，2a﹣1）是“直线点”，则点M在第象限．三、解答题（共68分，第17-18题，每题4分，第19题6分，第20-24题，每题5分，第25-27题，每题7分，第28题8分）17．（4分）计算：||2．18．（4分）计算：（1）+||．19．（6分）解下列方程组（1）（2）20．（5分）如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点恰好在小正方形的顶点上．（1）作图：作CD⊥AB交BA的延长线于点D；（2）将三角形ABC向先右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到三角形A′B′C′，请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；（3）三角形A'B'C'的面积是．21．（5分）如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥EF，OG平分∠BOF，∠AOE＝70°，求∠DOG的度数．22．（5分）一个数值转换器，如图所示：（1）当输入的x为81时，输出的y值是；（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值：．23．（5分）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？（请把证明过程补充完整）理由：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（）∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（等量减等量，差相等），即：（等量代换），∴．（）（2）显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC＝°时，仍可以使入射光线m与反射光线n平行但方向相反．（直接写出结果）24．（5分）如图，已知CF∥DE，∠ABC＝85°，∠CDE＝150°，∠BCD＝55°，求证：AB∥DE．25．（7分）小明是一个乐思好问的学生，在解答七年级下册教材中一道拓广探索题时遇到了困难．这道题是这样的：一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽各是多少？（1）如图，设长方形的长、宽各是xcm，ycm，小明绞尽脑汁列出了三个不同的方程组：①，②，③以上三个方程组中，能正确反映题意的有．（请直接填写序号）（2）小明列出的方程，根据目前知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解题过程．26．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（x，y），若点Q的坐标为（x+ay，ax+y）（其中a为常数，且a≠0），则称Q是点P的“a系联动点”．例如：点P（1，2）的“3系联动点”Q的坐标为（7，5）．（1）点（3，0）的“2系联动点”的坐标为；若点P的“﹣2系联动点”的坐标是（﹣3，0），则点P的坐标为；（2）若点P（x，y）的“a系联动点”与“﹣a系联动点”均关于x轴对称，则点P分布在，请证明这个结论；（3）在（2）的条件下，点P不与原点重合，点P的“a系联动点”为点Q，且PQ的长度为OP长度的5倍，求a的值．27．（7分）已知：△ABC和同一平面内的点D．（1）如图1，点D在BC边上，过D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．①依题意，在图1中补全图形；②判断∠EDF与∠A的数量关系，并直接写出结论（不需证明）．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A．判断DE与BA的位置关系，并证明．（3）如图3，点D是△ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．28．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P（x，y）平移到P′（x+t，y﹣t）称为将点P进行“t型平移”，点P′称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点P进行“1型平移”，将点P（x，y）平移到P′（x﹣1，y+1）称为将点P进行“﹣1型平移”．已知点A（1，1）和点B（3，1）．（1）将点A（1，1）进行“1型平移”后的对应点A′的坐标为．（2）①将线段AB进行“﹣1型平移”后得到线段A′B′，点P1（2，3），P2（1.5，2），中，在线段A′B′上的点是．②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是．（3）已知点C（4，2），D（6，0），点M是线段CD上的一个动点，将点A进行“t型平移”后得到的对应点为A′，当t的取值范围是多少时，A′M的最小值保持不变，并直接写出此最小值．

2023-2024学年北京市首都师大附中朝阳学校教育集团七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析题号12345678答案BACAABCA一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）的相反数是（）A． B． C． D．【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，实数的性质求解即可．【解答】解：的相反数是−；故选：B．【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．2．（2分）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（）A． B． C． D．【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，找各点位置关系不变的图形．【解答】解：A、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，故符合题意；B、能通过其中一个四边形平移得到，故不符合题意；C、能通过其中一个四边形平移得到，故不符合题意；D、能通过其中一个四边形平移得到，故不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解答此题的关键．3．（2分）如图，点B，C，E三点共线，且BA∥CD，则下面说法正确的是（）A．∠2＝∠B B．∠1＝∠B C．∠3＝∠B D．∠3＝∠A【分析】由平行线的性质逐项判断即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠A，∠B＝∠3，∴A、B、D，都不正确，故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．4．（2分）明代数学家程大位的著作《算法统综》中有一个“绳索量竿”问题：“一只竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，问索长几尺？”译文为：“现有一根竹竿和一条绳索，用绳索去量竹竿，绳索比竹竿长5尺，如果将绳索对折后再去量竹竿，就比竹竿短5尺，问绳索长几尺？”（注：一托＝5尺）设绳索长x尺，竹竿长y尺，根据题意列方程组正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据题意可得等量关系：绳索长﹣竿长＝5尺，竿长﹣绳索长的一半＝5尺，根据等量关系可得方程组．【解答】解：设绳索长x尺，竹竿长y尺，由题意得：，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程组．5．（2分）一把直尺和一个含30°，60°角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且∠CED＝50°，那么∠BAF的大小为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】先根据∠CED＝50°，DE∥AF，即可得到∠CAF＝50°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．【解答】解：∵DE∥AF，∠CED＝50°，∴∠CAF＝∠CED＝50°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝60°﹣50°＝10°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质的运用，解题解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．6．（2分）已知是二元一次方程ax﹣3y＝0的解，则点（a，3﹣a）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】把代入方程ax﹣3y＝0得出2a+9＝0，求出a＝﹣4.5，求出3﹣a＝7.5，再根据点的坐标找出选项即可．【解答】解：把代入方程ax﹣3y＝0，得2a+9＝0，解得：a＝﹣4.5，所以3﹣a＝3﹣（﹣4.5）＝3+4.5＝7.5，点为（﹣4.5，7.5）所以点（a，3﹣a）所在的象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的解和点的坐标，能求出a的值是解此题的关键．7．（2分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则黄金比（参考数据：2.12＝4.41，2.22＝4.84，2.32＝5.29，2.42＝5.76）（）A．在0.1到0.3之间 B．在0.3到0.5之间 C．在0.5到0.7之间 D．在0.7到0.9之间【分析】先估计，再求黄金比．【解答】解：∵2.22＝4.84，2.32＝5.29，2.22.3，∴1.21＜1.3，∴0.60.65，故选：C．【点评】本题考查黄金分割，无理数的估计，正确判断的范围是求解本题的关键．8．（2分）如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积为4，则图中阴影部分的面积是（）A． B．2 C． D．【分析】根据正方形A的面积为2，正方形B的面积为4，可得正方形A的边长为：，正方形B的边长为：2，因此阴影部分的面积＝22．【解答】解：∵正方形A的面积为2，正方形B的面积为4，∴正方形A的边长为：，正方形B的边长为：2，∴阴影部分的面积＝22，故选：A．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）实数4的算术平方根为2．【分析】依据算术平方根的定义求解即可．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故答案为：2．【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．10．（2分）若点P（2x+6，3x﹣3）在y轴上，则点P的坐标为（0，﹣12）．【分析】直接利用在y轴上点的坐标性质进而得出答案．【解答】解：∵点P（2x+6，3x﹣3）在y轴上，∴2x+6＝0，解得：x＝﹣3，则3x﹣3＝﹣3×3﹣3＝﹣12．故答案为：（0，﹣12）．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出x的值是解题关键．11．（2分）若一个二元一次方程组的解是请写出一个符合此要求的二元一次方程组．【分析】根据二元一次方程组的解找到x与y的数量关系，然后列出方程组即可．【解答】解：∵二元一次方程组的解为，∴这个方程组可以是，故答案为：，【点评】本题考查的是二元一次方程组解的定义，解答此题的关键是把方程的解代入各组方程中，看各方程是否成立．12．（2分）如图，直线a∥b，∠BAC的顶点A在直线a上，且∠BAC＝100°．若∠1＝34°，则∠2＝46°．【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠3＝∠1＝34°，∵∠BAC＝100°，∴∠2＝180°﹣34°﹣100°＝46°，故答案为：46．【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．13．（2分）用一个实数m的值说明命题“是假命题，这个m的值可以是﹣2（答案不唯一）．【分析】根据二次根式的性质解答即可．【解答】解：当m＝﹣2时，2，说明m是假命题，所以m的值可以是﹣2，故答案为：﹣2（答案不唯一）．【点评】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．14．（2分）若和都是关于x、y的方程y＝kx+b的解，则2k+4b的值为﹣2．【分析】把和代入方程y＝kx+b得出，求出k，b，最后代入求出答案即可．【解答】解：把和代入关于x、y的方程y＝kx+b，得，解得：k，b，所以2k+4b＝2×（）+42．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次一元方程的解和解二元一次方程组，能求出k、b的值是解此题的关键．15．（2分）如图，∠C＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足的关系式为∠β﹣∠α＝90°．【分析】过C点作CF∥AB，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：过C点作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠α＝∠1，∠β+∠2＝180°，∵∠1+∠2＝∠C＝90°，∴∠β﹣∠α＝90°，故答案为：∠β﹣∠α＝90°．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补解答．16．（2分）在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，点中，x、y的值若满足2x﹣y＝4，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题：点A（3，4）是（填“是”或“不是”）“直线点”，若点M（a，2a﹣1）是“直线点”，则点M在第一象限．【分析】根据新定义可知x﹣2＝3，求出x的值，再根据2x﹣y＝4，求出y的值，即可确定纵坐标，然后再判断即可；根据M（a，2a﹣1）是“直线点”，可得x﹣2＝a，2a﹣1，表示出x和y，再根据2x﹣y＝4，可得2（a+2）﹣（4a﹣4）＝4，求出a的值，进一步即可确定点M坐标，从而可确定点M所在象限．【解答】解：点（3，4）是“直线点”，理由如下：当x﹣2＝3时，x＝5，∵2x﹣y＝4，解得y＝6，∴4，∴点（3，4）是“直线点”；∵M（a，2a﹣1）是“直线点”，∴x﹣2＝a，2a﹣1，∴x＝a+2，y＝4a﹣4，∵2x﹣y＝4，∴2（a+2）﹣（4a﹣4）＝4，解得a＝2，∴点M坐标为（2，3），∵2＞0，3＞0，∴点M在第一象限．故答案为：是，一．【点评】本题考查了点的坐标，新定义，理解新定义是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-18题，每题4分，第19题6分，第20-24题，每题5分，第25-27题，每题7分，第28题8分）17．（4分）计算：||2．【分析】首先计算乘方、开平方、开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：||2＝5﹣31＝1.5．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．18．（4分）计算：（1）+||．【分析】先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，然后合并即可．【解答】解：原式＝3＝3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．19．（6分）解下列方程组（1）（2）【分析】（1）利用代入消元法求解可得；（2）利用加减消元法求解可得．【解答】解：（1）把①代入②得3x+2（2x﹣1）＝5，解得：x＝1，把x＝1代入①，德：y＝1，∴；（2）②×2，得4x+2y＝﹣6③①+③，得5x＝﹣5，解得：x＝﹣1．把x＝﹣1代入①，得﹣1﹣2y＝1，解得：y＝﹣1，∴．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，解二元一次方程组常用加减消元法和代入法．20．（5分）如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点恰好在小正方形的顶点上．（1）作图：作CD⊥AB交BA的延长线于点D；（2）将三角形ABC向先右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到三角形A′B′C′，请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；（3）三角形A'B'C'的面积是6．【分析】（1）根据垂线段的定义画出图形即可．（2）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（3）利用分割法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图线段CD即为所求．（2）如图，△A′B′C′即为所求．（3）S△A′B′C′4×3＝6．故答案为6．【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（5分）如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥EF，OG平分∠BOF，∠AOE＝70°，求∠DOG的度数．【分析】根据对顶角相等可得∠BOF＝∠AOE＝70°，根据OG平分∠BOF，可得∠GOF∠BOF＝35°，根据CD⊥EF，可得∠DOF＝90°，再根据∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF求解即可．【解答】解：∵直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝70°∴∠BOF＝∠AOE＝70°，∵OG平分∠BOF，∴∠GOF∠BOF35°，∵CD⊥EF，∴∠DOF＝90°，∴∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF＝90°﹣35°＝55°．【点评】本题考查了余角，对顶角，角平分线，熟练掌握这些知识是解题的关键．22．（5分）一个数值转换器，如图所示：（1）当输入的x为81时，输出的y值是；（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值：2或4（答案不唯一）．【分析】（1）根据数值转换器的运算方法进行计算即可；（2）根据算术平方根是它本身的数进行判断即可；（3）根据运算的次数使输出的数是，分别进行计算即可．【解答】解：（1）∵9，3，∴当输入的x为81时，输出的y值是，故答案为：；（2）x＝1或x＝0，因为1的算术平方根是1，0的算术平方根是0，所以无论经过多少次运算其算术平方根还是有理数；（3）经过1次运算就输出y，则输入的x的值为2，经过2次运算输出y，则输入的x的值为22＝4，经过3次运算输出y，则输入的x的值为24＝16，……故答案为：2或4（答案不唯一）．【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的关键．23．（5分）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？（请把证明过程补充完整）理由：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（等量减等量，差相等），即：∠5＝∠6（等量代换），∴m∥n．（内错角相等，两直线平行）（2）显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC＝90°时，仍可以使入射光线m与反射光线n平行但方向相反．（直接写出结果）【分析】（1）求出∠5＝∠6，根据平行线的判定得出即可；（2）根据三角形内角和定理求出∠2+∠3＝90°，求出∠EAC+∠FCA＝180°，根据平行线的判定得出即可．【解答】（1）证明：如图2，∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（等量减等量，差相等），即：∠5＝∠6（等量代换），∴m∥n（内错角相等，两直线平行）．故答案为：两直线平行，内错角相等，∠5＝∠6，m∥n，内错角相等，两直线平行；（2）∠ABC＝90°，理由是：如图3，∵∠ABC＝90°，∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1+∠2+∠3+∠4＝80°，∴∠EAC+∠FCA＝180°+180°﹣180°＝180°，∴AE∥CF．故答案为：90．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．24．（5分）如图，已知CF∥DE，∠ABC＝85°，∠CDE＝150°，∠BCD＝55°，求证：AB∥DE．【分析】根据平行线的性质和判定证明即可．【解答】解：∵CF∥DE，∠CDE＝150°，∴∠DCF＝180°﹣∠CDE＝180°﹣150°＝30°．∵∠BCD＝55°，∴∠BCF＝∠BCD+∠DCF＝55°+30°＝85°，又∵∠ABC＝85°，∴∠ABC＝∠BCF，∴AB∥CF，又∵CF∥DE，∴AB∥DE．【点评】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键．25．（7分）小明是一个乐思好问的学生，在解答七年级下册教材中一道拓广探索题时遇到了困难．这道题是这样的：一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽各是多少？（1）如图，设长方形的长、宽各是xcm，ycm，小明绞尽脑汁列出了三个不同的方程组：①，②，③以上三个方程组中，能正确反映题意的有①②③．（请直接填写序号）（2）小明列出的方程，根据目前知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解题过程．【分析】根据长﹣5＝宽+2，就成为一个正方形，及两图形的面积相等，可得出方程组①②③．【解答】解：（1）解：由题意得：．故答案为：①②③（2）设长方形的长、宽各是xcm，ycm，由题意列方程组，得解这个方程组，得答：长方形的长、宽分别是cm、cm．【点评】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系．26．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（x，y），若点Q的坐标为（x+ay，ax+y）（其中a为常数，且a≠0），则称Q是点P的“a系联动点”．例如：点P（1，2）的“3系联动点”Q的坐标为（7，5）．（1）点（3，0）的“2系联动点”的坐标为（3，6）；若点P的“﹣2系联动点”的坐标是（﹣3，0），则点P的坐标为（1，2）；（2）若点P（x，y）的“a系联动点”与“﹣a系联动点”均关于x轴对称，则点P分布在x轴上，请证明这个结论；（3）在（2）的条件下，点P不与原点重合，点P的“a系联动点”为点Q，且PQ的长度为OP长度的5倍，求a的值．【分析】（1）根据Q是点P的“a系联动点”的定义，计算或构建方程组解决问题即可；（2）根据Q是点P的“a系联动点”的定义的定义，理由轴对称的性质构建方程组即可解决问题；（3）构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）点（3，0）的“2系联动点”的坐标为（3+2×0，2×3+0），即（3，6），点P（x，y）的“﹣2系联动点”的坐标是（﹣3，0），则，解得，即P（1，2），故答案为：（3，6），P（1，2）；（2）结论：点P分布在x轴上．理由如下：∵点P（x，y）的“a系联动点”的坐标为（x+ay，ax+y）（其中a为常数，且a≠0），∴点P（x，y）的“﹣a系联动点”为（x﹣ay，﹣ax+y）．∵点P的“a系联动点”与“﹣a系联动点”均关于x轴对称，∴，∵a≠0，∴y＝0，∴点P在x轴上．故答案为：在x轴上；（3）∵在（2）的条件下，点P不与原点重合，∴点P的坐标为（x，0），x≠0，∵点P的“a系联动点”为点Q，∴点Q的坐标为（x，ax），∵PQ的长度为OP长度的5倍，∴5|x|＝|ax|，∴|a|＝5，∴a＝±5．【点评】本题考查几何变换综合题、二元一次方程组、坐标与图形的性质、Q是点P的“a系联动点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程分思想思考问题，属于中考压轴题，27．（7分）已知：△ABC和同一平面内的点D．（1）如图1，点D在BC边上，过D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．①依题意，在图1中补全图形；②判断∠EDF与∠A的数量关系，并直接写出结论（不需证明）．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A．判断DE与BA的位置关系，并证明．（3）如图3，点D是△ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．【分析】（1）根据过D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F，进行作图；根据平行线的性质，即可得到∠A＝∠EDF；（2）延长BA交DF于G．根据平行线的性质以及判定进行推导即可；（3）分两种情况讨论，即可得到∠EDF与∠A的数量关系：∠EDF＝∠A，∠EDF+∠A＝180°．【解答】解：（1）①补全图形如图1；②∠EDF＝∠A．理由：∵DE∥BA，DF∥CA，∴