2023-2024学年北京市西城区育才学校七年级（下）期中数学试卷及答案解析

第1页（共1页）2023-2024学年北京市西城区育才学校七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）4的平方根是（）A． B．± C．2 D．±22．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣4）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2分）皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图是孙悟空的皮影造型，在下面的四个图形中，能由该图经过平移得到的图形是（）A． B． C． D．4．（2分）下列命题中，真命题是（）A．两个锐角的和一定是钝角 B．互补的角是邻补角 C．带根号的数一定是无理数 D．对顶角相等5．（2分）在同一条数轴上分别用点表示实数﹣1.5，0，，|﹣4|，则其中最左边的点表示的实数是（）A． B．0 C．﹣1.5 D．|﹣4|6．（2分）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∠1＝45°，∠2＝122°时，∠3和∠4的度数分别是（）A．58°，122° B．45°，68° C．45°，58° D．45°，45°7．（2分）在实际生活中，我们经常采用“角度+距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以O点为基准点，射线OA的方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度（0°～180°），顺时针方向旋转为负角度（0°～﹣180°），特别地，OA的反向延长线所在的方向记为180°．由于OB方向为OA方向绕O点逆时针旋转90°，点B与点O的距离为1km，因此点B可以用有序数对记为（90°，1），类似地，点C可以记为（﹣15°，4）．以下点的位置标记正确的是（）A．点D（4，150°） B．点E（45°，3） C．点F（﹣120°，3） D．点G（60°，2）8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A从A1（﹣4，0）依次跳动到A2（﹣4，1），A3（﹣3，1），A4（﹣3，0），A5（﹣2，0），A6（﹣2，3），A7（﹣1，3），A8（﹣1，0），A9（﹣1，﹣3），A10（0，﹣3），A11（0，0），…，按此规律，则点A2024的坐标为（）A．（2024，0） B．（805，0） C．（805，1） D．（806，1）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如果x3＝27，那么x＝．10．（2分）把“正数的相反数是负数”改写成“如果…，那么…”的形式为．11．（2分）写出一个大于2小于3的无理数：．12．（2分）是方程mx+y﹣1＝0的一组解，则m的值是．13．（2分）将点P（m+2，2﹣m）向右平移2个单位长度得到点Q，且Q在y轴上，那么点P的坐标为．14．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，2）．若线段AB∥x轴，且AB的长为4，则点B的坐标为．15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A，B，C三点的坐标如图所示，那么点A到BC边的距离等于，△ABC的面积等于．16．（2分）小明自主创业，在网络平台上经营一家水果店，销售的盒装水果共有草莓、蜜瓜、香梨三种，价格依次为40元/盒、50元/盒、80元/盒，为增加销量，小明对这三种水果进行优惠促销，其促销海报如下：优惠促销•单笔订单总价超过100元时，超过100元的部分打5折．•每笔订单限购3盒水果，种类不限．根据平台规定，每笔订单支付成功后，小明会得到支付款的80%作为货款．（1）顾客一笔订单购买了草莓、蜜瓜、香梨各一盒，小明收到的货款是元；（2）若小明在两笔订单中共售出原价220元的水果，则他收到的货款最少是元．三、解答题（共68分）17．（10分）计算题（1）；（2）．18．（10分）解方程组：（1）；（2）．19．（6分）已知x+8的算术平方根是3，（4x+3y）3＝﹣8，求x+y的立方根．20．（5分）已知：如图，AB∥CD，CE∥BF．求证：∠C+∠B＝180°．21．（6分）在下面的正方形网格图中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表100m．在图中以正东和正北方向分别为x轴，y轴正方向，100m代表1个单位长度建立平面直角坐标系xOy．若学校的坐标为（﹣3，﹣1），体育馆的坐标为（6，1）．（1）坐标原点所在的位置为；（2）请在图中画出这个平面直角坐标系；（3）超市所在位置的坐标为．22．（10分）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交线段BC的延长线于点E，∠CFE＝∠1．求证：∠B+∠BCD＝180°．请将下面证明过程的推理依据补充完整：证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠1．（依据：）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE．（依据：）∴∠BAE＝∠1．∵∠CFE＝∠1，∴∠CFE＝∠．（依据：等量代换）∴AB∥CD．（依据：）∴∠B+∠BCD＝180°．（依据：）23．（7分）如图，点A、C在∠MON的一边OM上，AB⊥ON于点B，CD⊥OM交射线ON于点D．按要求画图并猜想证明：（1）过点C画ON的垂线段CE，垂足为点E；过点E画EF∥OC，交CD于点F．（2）求证：∠OAB＝∠CEF．24．（6分）随着民众健康意识逐步增强，全民健身逐渐成为“健康中国”新时尚．下表是甲、乙两人某月参与游泳和瑜伽项目的运动次数及时间的统计表，其中同一健身项目每人每次运动的时间相同，且甲、乙两人每次游泳的时间为2小时，人员动次数与时长游泳次数瑜伽次数两项运动的总时长甲181051乙41（1）结合表中数据，直接写出两人每次参与瑜伽运动的时间为小时；（2）若乙参与两项运动的总次数是24次，利用你所学的方程知识，求乙该月分别参与游泳和瑜伽项目的次数．25．（8分）如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．（1）猜想∠BED，∠B，∠D的数量关系，并证明；（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．①依题意补全图形；②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．四、附加题（共10分）26．（4分）上小学时，我们已学过三角形三个内角的和为180°．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝；（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．①如图，若AD是∠BAC的平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠ABC＝24°，则∠EAC＝．27．（6分）对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线m∥x轴，过点B作直线n∥y轴，直线m，n相交于点C．当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A的等距点，称三角形ABC的面积为点A的等距面积．例如：如图，点A（2，1），点B（5，4），因为AC＝BC＝3，所以B为点A的等距点，此时点A的等距面积为．（1）点A的坐标是（0，1），在点B1（﹣1，0），B2（2，3），B3（﹣1，﹣1）中，点A的等距点为．（2）点A的坐标是（﹣3，1），点A的等距点B在第三象限，①若点B的坐标是（），求此时点A的等距面积；②若点A的等距面积不小于，求此时点B的横坐标t的取值范围．

2023-2024学年北京市西城区育才学校七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析题号12345678答案DDBDACDB一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）4的平方根是（）A． B．± C．2 D．±2【分析】4的平方根是两个，正负2．【解答】解：22＝2，（﹣2）2＝4，∴4的平方根为：±2，故选：D．【点评】本题考查的是平方根，解题的关键是4的平方根有两个，不要漏解．2．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣4）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：点P（2，﹣4）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．3．（2分）皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图是孙悟空的皮影造型，在下面的四个图形中，能由该图经过平移得到的图形是（）A． B． C． D．【分析】根据平移的性质：图形形状大小和方向不发生改变，只是位置发生改变直接判断即可得到答案．【解答】解：由题意可得，A图形图象的方向发生改变不是平移，错误，B图形是平移后得到的图象，正确，C图形图象的方向发生改变不是平移，错误，D图形图象的方向发生改变不是平移，错误，故选：B．【点评】本题考查平移的性质，掌握平移的性质：图形形状大小和方向不发生改变，只是位置发生改变是解题的关键．4．（2分）下列命题中，真命题是（）A．两个锐角的和一定是钝角 B．互补的角是邻补角 C．带根号的数一定是无理数 D．对顶角相等【分析】根据钝角的概念、邻补角的概念、无理数的概念、对顶角相等判断即可．【解答】解：A、两个锐角的和不一定是钝角，例如：30°+30°＝60°，而60°是锐角，故本选项说法是假命题，不符合题意；B、互补的角不是邻补角，故本选项说法是假命题，不符合题意；C、带根号的数不一定是无理数，例如2，2是有理数，故本选项说法是假命题，不符合题意；D、对顶角相等，是真命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（2分）在同一条数轴上分别用点表示实数﹣1.5，0，，|﹣4|，则其中最左边的点表示的实数是（）A． B．0 C．﹣1.5 D．|﹣4|【分析】求出|﹣4|＝4，在数轴上表示出各个数，再得出选项即可．【解答】解：|﹣4|＝4，∵34，∴﹣34，即﹣43，，在最左边的点表示的实数是，故选：A．【点评】本题考查了数轴，绝对值和实数的大小比较法则，能熟记在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大是解此题的关键．6．（2分）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∠1＝45°，∠2＝122°时，∠3和∠4的度数分别是（）A．58°，122° B．45°，68° C．45°，58° D．45°，45°【分析】先根据EG∥FH得出∠3的度数，再由AB∥CD得出∠ECD的度数，根据CE∥DF即可得出结论．【解答】解：∵EG∥FH，∠1＝45°，∴∠3＝∠1＝45°．∵AB∥CD，∠2＝122°，∴∠ECD＝180°﹣122°＝58°．∵CE∥DF，∴∠4＝∠ECD＝58°．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．7．（2分）在实际生活中，我们经常采用“角度+距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以O点为基准点，射线OA的方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度（0°～180°），顺时针方向旋转为负角度（0°～﹣180°），特别地，OA的反向延长线所在的方向记为180°．由于OB方向为OA方向绕O点逆时针旋转90°，点B与点O的距离为1km，因此点B可以用有序数对记为（90°，1），类似地，点C可以记为（﹣15°，4）．以下点的位置标记正确的是（）A．点D（4，150°） B．点E（45°，3） C．点F（﹣120°，3） D．点G（60°，2）【分析】根据题干中的例子，分别判断每个选项即可．【解答】解：由题意可得：A、点D可以记为（150°，4），故不合题意；B、点E（45°，3）表示从OA开始逆时针45°，与O相距3km，与图中位置不符，故不合题意；C、点F（﹣120°，3）表示从OA开始顺时针120°，与O相距3km，与图中位置不符，故不合题意；D、点G（60°，2）表示从OA开始逆时针60°，与O相距2km，与图中位置相符，故符合题意；故选：D．【点评】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解“角度+距离”的方法是解题的关键．8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A从A1（﹣4，0）依次跳动到A2（﹣4，1），A3（﹣3，1），A4（﹣3，0），A5（﹣2，0），A6（﹣2，3），A7（﹣1，3），A8（﹣1，0），A9（﹣1，﹣3），A10（0，﹣3），A11（0，0），…，按此规律，则点A2024的坐标为（）A．（2024，0） B．（805，0） C．（805，1） D．（806，1）【分析】根据点A的跳动方式，依次求出点Ai的坐标，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，点A1的坐标为（﹣4，0）；点A2的坐标为（﹣4，1）；点A3的坐标为（﹣3，1）；点A4的坐标为（﹣3，0）；点A5的坐标为（﹣2，0）；点A6的坐标为（﹣2，3）；点A7的坐标为（﹣1，3）；点A8的坐标为（﹣1，0）；点A9的坐标为（﹣1，﹣3）；点A10的坐标为（0，﹣3）；点A11的坐标为（0，0）；…，依次类推，每跳动十次点Ai的横坐标增加4，点Ai的纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，﹣3，﹣3循环出现，又因为2024÷10＝202余4，所以﹣3+202×4＝805，所以点A2024的坐标为（805，0）．故选：B．【点评】本题考查点的坐标变化规律，能根据点Ai的跳动方式发现每跳动十次点Ai的横坐标增加4，点Ai的纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，﹣3，﹣3循环出现是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如果x3＝27，那么x＝3．【分析】由x3＝a，根据立方根的定义可得x．由此即可解决问题．【解答】解：∵x3＝27，∴x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查立方根的知识点．解题的关键是掌握立方根的定义．10．（2分）把“正数的相反数是负数”改写成“如果…，那么…”的形式为如果一个数是正数，那么它的相反数是负数．【分析】找出命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．【解答】解：把“正数的相反数是负数”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果一个数是正数，那么它的相反数是负数，故答案为：如果一个数是正数，那么它的相反数是负数．【点评】本题考查的是命题与定理，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．11．（2分）写出一个大于2小于3的无理数：（答案不唯一）．【分析】根据无理数的定义及范围确定即可．【解答】解：∵23，∴是大于2小于3的无理数．故答案为：（答案不唯一）．【点评】此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质是解题关键．12．（2分）是方程mx+y﹣1＝0的一组解，则m的值是．【分析】根据方程的解满足方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由题意，得3m+2﹣1＝0，解得m，故答案为：．【点评】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解满足方程得处关于m的方程是解题关键．13．（2分）将点P（m+2，2﹣m）向右平移2个单位长度得到点Q，且Q在y轴上，那么点P的坐标为（﹣2，6）．【分析】根据平移坐标的变化规律可得点Q（m+4，2﹣m），再根据坐标轴上点的坐标特征进行计算即可．【解答】解：将点P（m+2，2﹣m）向右平移2个单位长度得到点Q，则点Q（m+4，2﹣m），∵点Q在y轴上，∴m+4＝0，解得m＝﹣4，∴m+2＝﹣2，2﹣m＝6，∴点P的坐标为（﹣2，6）故答案为：（﹣2，6）．【点评】本题考查平移坐标的变化，掌握平移坐标的变化规律以及坐标轴上点的坐标特征进行解答即可．14．（2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，2）．若线段AB∥x轴，且AB的长为4，则点B的坐标为（﹣7，2）或（1，2）．【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况列式求出点B的横坐标，即可得解．【解答】解：∵点A的坐标为（﹣3，2），线段AB∥x轴，∴点B的纵坐标为2，若点B在点A的左边，则点A的横坐标为﹣3﹣4＝﹣7，若点B在点A的右边，则点A的横坐标为﹣3+4＝1，∴点B的坐标为（﹣7，2）或（1，2）．故答案为：（﹣7，2）或（1，2）．【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，难点在于要分情况讨论．15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A，B，C三点的坐标如图所示，那么点A到BC边的距离等于3，△ABC的面积等于6．【分析】由A（2，4），B（﹣1，1），C（3，1），得出BC∥x轴，BC＝4，得出点A到BC边的距离＝3，由三角形面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：由题意得：A（2，4），B（﹣1，1），C（3，1），∴BC∥x轴，BC＝1+3＝4，∴点A到BC边的距离＝4﹣1＝3，∴△ABC的面积4×3＝6；故答案为：3，6．【点评】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质；熟练掌握三角形面积的计算，由点的坐标得出BC∥x轴，BC＝4是解题的关键．16．（2分）小明自主创业，在网络平台上经营一家水果店，销售的盒装水果共有草莓、蜜瓜、香梨三种，价格依次为40元/盒、50元/盒、80元/盒，为增加销量，小明对这三种水果进行优惠促销，其促销海报如下：优惠促销•单笔订单总价超过100元时，超过100元的部分打5折．•每笔订单限购3盒水果，种类不限．根据平台规定，每笔订单支付成功后，小明会得到支付款的80%作为货款．（1）顾客一笔订单购买了草莓、蜜瓜、香梨各一盒，小明收到的货款是108元；（2）若小明在两笔订单中共售出原价220元的水果，则他收到的货款最少是144元．【分析】（1）根据小志收到的货款＝（100+超出100元的部分×0.5）×80%，即可得出结论；（2）设两次共售出x盒草莓，y盒蜜瓜，z盒香梨，根据总价＝单价×数量以及“每笔订单限购3盒水果”即可得出关于x，y，z的三元一次方程，结合x，y，z均为非负整数，即可得出x，y，z的可能值，再分各种出售方式求出小志收到的货款，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）[100+（40+50+80﹣100）×0.5]×80%＝108（元）．故答案为：108．（2）设两次共售出x盒草莓，y盒蜜瓜，z盒香梨，依题意，得：40x+50y+80z＝220，解得：∵x，y，z均为非负整数，0≤x，y，z≤3∴，，当x＝1，y＝2，z＝1时，两次共售出1盒草莓，2盒蜜瓜，1盒香梨，分以下几种情况考虑：①一笔订单售出1盒草莓，2盒蜜瓜，另一笔订单售出1盒香梨，此时小明收到的货款是[100+（40+2×50﹣100）×0.5+80]×80%＝160（元）；②一笔订单售出1盒草莓，1盒蜜瓜，另一笔订单售出1盒香梨，1盒蜜瓜，此时小明收到的货款是[40+50+100+（80+50﹣100）×0.5]×80%＝164（元）；③一笔订单售出1盒草莓，另一笔订单售出1盒香梨，2盒蜜瓜，此时小明收到的货款是[100+（80+2×50﹣100）×0.5+40]×80%＝144（元）；④一笔订单售出1盒草莓，1盒香梨，另一笔订单售出2盒蜜瓜，此时小明收到的货款是[100+（80+40﹣100）×0.5+2×50]×80%＝176（元）；⑤一笔订单售出1盒草莓，1盒香梨，1盒蜜瓜，另一笔订单售出1盒蜜瓜，此时小明收到的货款是[100+（80+40+50﹣100）×0.5+50]×80%＝148（元）；当x＝3，y＝2，z＝0时，两次共售出3盒草莓，2盒蜜瓜，分以下几种情况考虑：①一笔订单售出3盒草莓，另一笔订单售出2盒蜜瓜，此时小明收到的货款是[100+（40×3﹣100）×0.5+2×50]×80%＝168（元）；②一笔订单售出2盒草莓，另一笔订单售出2盒蜜瓜，1盒草莓，此时小明收到的货款是[100+（50×2+40﹣100）×0.5+2×40]×80%＝160（元）；③一笔订单售出2盒草莓，1盒蜜瓜，另一笔订单售出1盒蜜瓜，1盒草莓，此时小明收到的货款是[100+（40×2+50﹣100）×0.5+50+40]×80%＝164（元）；综上所述，小明收到的货款最少是144元．故答案为：144．【点评】本题考查了应用类问题以及三元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据促销方案，求出小志收到的货款；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程．三、解答题（共68分）17．（10分）计算题（1）；（2）．【分析】（1）首先计算乘方、开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；（2）首先计算绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：（1）＝5﹣3﹣3＝﹣1．（2）＝2﹣21＝1．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．18．（10分）解方程组：（1）；（2）．【分析】（1）把②×2得③，再把③+②，消去y，求出x，最后把x的值代入①求出y即可；（2）先把方程组化简为一般形式，然后利用加减和代入消元法求出x，y的值即可．【解答】解：（1），①×2得：4x+2y＝8③，③+②得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝2，∴原方程组的解为；（2），方程组化简为：，②﹣①得：y＝4，把y＝4代入①得：x＝3，∴原方程组的解为．【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减或代入消元法解二元一次方程组．19．（6分）已知x+8的算术平方根是3，（4x+3y）3＝﹣8，求x+y的立方根．【分析】先根据算术平方根及立方根的定义求出x，y的值，进而可得出结论．【解答】解：∵，（4x+3y）3＝﹣8，∴x+8＝9，4x+3y＝﹣2，∴x＝1，y＝﹣2，∴．【点评】本题考查的是据算术平方根及立方根，根据题意得出x，y的值是解题的关键．20．（5分）已知：如图，AB∥CD，CE∥BF．求证：∠C+∠B＝180°．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠C＝∠COB，再根据两直线平行，同旁内角互补证明．【解答】证明：设CD交BF于点O．∵AB∥CD，CE∥BF，∴∠COB+∠B＝180°，∠C＝∠COB，∴∠C+∠B＝180°．【点评】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．21．（6分）在下面的正方形网格图中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表100m．在图中以正东和正北方向分别为x轴，y轴正方向，100m代表1个单位长度建立平面直角坐标系xOy．若学校的坐标为（﹣3，﹣1），体育馆的坐标为（6，1）．（1）坐标原点所在的位置为医院；（2）请在图中画出这个平面直角坐标系；（3）超市所在位置的坐标为（﹣2，6）．【分析】（1）根据学校的坐标为（﹣3，﹣1），体育馆的坐标为（6，1）即可确定坐标原点的位置；（2）根据坐标原点，建立即可；（3）根据坐标系即可得出超市所在位置的坐标．【解答】解：（1）坐标原点所在的位置为医院，故答案为：医院；（2）如图所示：（3）由坐标系可得出：超市所在位置的坐标为（﹣2，6），故答案为：（﹣2，6）．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，本题解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．22．（10分）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交线段BC的延长线于点E，∠CFE＝∠1．求证：∠B+∠BCD＝180°．请将下面证明过程的推理依据补充完整：证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠1．（依据：两直线平行，内错角相等）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE．（依据：角平分线的定义）∴∠BAE＝∠1．∵∠CFE＝∠1，∴∠CFE＝∠BAE．（依据：等量代换）∴AB∥CD．（依据：同位角相等，两直线平行）∴∠B+∠BCD＝180°．（依据：两直线平行，同旁内角互补）【分析】由平行线的性质得到∠DAE＝∠E，由角平分线的定义得到∠DAE＝∠BAE，再根据题意得出∠CFE＝∠BAE，即可判定AB∥CD，由平行线的性质即可得解．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠1，（依据：两直线平行，内错角相等）∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，（依据：角平分线的定义）∴∠BAE＝∠E．∵∠CFE＝∠E，∴∠CFE＝∠BAE，（依据：等量代换）∴AB∥CD，（依据：同位角相等，两直线平行）∴∠B+∠BCD＝180°．（依据：两直线平行，同旁内角互补）故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；BAE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【点评】本题题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．23．（7分）如图，点A、C在∠MON的一边OM上，AB⊥ON于点B，CD⊥OM交射线ON于点D．按要求画图并猜想证明：（1）过点C画ON的垂线段CE，垂足为点E；过点E画EF∥OC，交CD于点F．（2）求证：∠OAB＝∠CEF．【分析】（1）按照题目要求正确的画图即可；（2）根据平行线的性质与判定即可得到答案．【解答】（1）解：CE、EF如图所示：（2）证明：∵AB⊥ON，CE⊥ON（已知），∴∠OBA＝∠OEC＝90°（垂直定义）．∴AB∥CE（同位角相等，两条直线平行）．∴∠OAB＝∠OCE（两直线平行，同位角相等）．∵EF∥OC，∴∠OCE＝∠CEF（两直线平行，内错角相等）．∴∠OAB＝∠CEF（等量代换）．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判断，解题的关键在于能够熟练运用相关知识．24．（6分）随着民众健康意识逐步增强，全民健身逐渐成为“健康中国”新时尚．下表是甲、乙两人某月参与游泳和瑜伽项目的运动次数及时间的统计表，其中同一健身项目每人每次运动的时间相同，且甲、乙两人每次游泳的时间为2小时，人员动次数与时长游泳次数瑜伽次数两项运动的总时长甲181051乙41（1）结合表中数据，直接写出两人每次参与瑜伽运动的时间为1.5小时；（2）若乙参与两项运动的总次数是24次，利用你所学的方程知识，求乙该月分别参与游泳和瑜伽项目的次数．【分析】（1）根据甲的数据求出参加瑜伽运动的时间即可；（2）设乙参与游泳项目x次，则参与瑜伽项目（24﹣x）次，根据乙参加游泳和瑜伽的时间和＝41列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）根据表格中甲的数据得两人每次参与瑜伽活动的时间为：（小时），故答案为：1.5；（2）设乙参与游泳项目x次，则参与瑜伽项目（24﹣x）次，2x+1.5×（24﹣x）＝41，解得：x＝10，∴24﹣10＝14（次）．答：乙参与游泳项目10次，则参与瑜伽项目14次．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，关键是根据等量关系列出方程．25．（8分）如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．（1）猜想∠BED，∠B，∠D的数量关系，并证明；（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．①依题意补全图形；②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．【分析】（1）过E作EG∥AB，根据平行线的性质得到∠B+∠BEG＝180°，∠DEG+∠D＝180°，然后根据已知条件即可得到结论；（2）①依题意根据角平分线的作法补全图形；②根据（1）的结论结合四边形内角和定理即可求解．【解答】（1）∠B+∠BED+∠D＝360°．证明：过点E作EG∥AB．∴∠B+∠BEG＝180°．∵AB∥CD，EG∥AB，∴EG∥CD，∴∠DEG+∠D＝180°，∴∠B+∠BEG+∠DEG+∠D＝180°+180°．即∠B+∠BED+∠D＝360°；（2）解：①如图所示：②由（1）得∠ABC+∠BED+∠CDE＝360°，∵∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F，∴∠ABC＝2∠FBE，∠CDE＝2∠FDE，∴2∠FBE+∠BED+2∠CDE＝360°，即∠FBE∠BED+∠CDE＝180°，∵∠BFD+∠FBE+∠BED+∠CDE＝360°，∴．【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是正确添加辅助线．四、附加题（共10分）26．（4分）上小学时，我们已学过三角形三个内角的和为180°．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝15°；（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．①如图，若AD是∠BAC的平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠ABC＝24