2024-2025学年北京市101中学教育集团七年级（下）期中数学试卷及答案解析

第1页（共1页）2024-2025学年北京市101中学教育集团七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分，第1-10题均有四个选项，符合题意的只有一个）1．（3分）甲骨文是汉字的源头和中华优秀传统文化的根源，其字形简练，线条瘦劲，结构均衡对称，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（）A． B． C． D．2．（3分）如图，在所标识的角中，互为同位角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠1与∠53．（3分）在平面直角坐标系中，点（2025，2026）位于第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四4．（3分）下列各式中，运算结果正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）若是关于x和y的二元一次方程ax+y＝1的解，则a的值是（）A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．36．（3分）如图，已知直线AB∥CD，EF平分∠CEB，若∠2＝70°，则∠1的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°7．（3分）下列命题中，是假命题的是（）A．的整数部分为5 B．同旁内角互补 C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．如果A地在B地北偏东30°方向20m处，那么B地在A地的南偏西30°方向20m处8．（3分）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（）A．270° B．250° C．230° D．180°9．（3分）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三解，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒x斗，清酒y斗，则可列方程组为（）A． B． C． D．10．（3分）已知关于x，y的方程组，以下结论：①当时，x+y＝0；②当k＝0时，3x+5y＝1；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对（x，y），并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能是第三象限的点．其中正确的序号是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）已知|x+2|0，则x+y＝．12．（3分）若点P（m，m+2）在x轴上，则点P的坐标为．13．（3分）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝°时，木条a与b平行．14．（3分）小明利用一副直角三角板绕着直角顶点旋转实验，探究旋转过程中各角之间的关系．他旋转至如图所示时，即AE⊥BC，则此时∠BAD的度数为度．15．（3分）已知点B的坐标为（2，1），AB∥x轴，且AB＝3，则点A的坐标为．16．（3分）随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活．某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作．该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率．已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成5个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成4个单位的家务工作．该机器人充一次电需要2小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作3小时，“节能模式”可连续工作6小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完．现给你一台满电状态下的机器人，请完成下列任务：（1）该机器人在“节能模式”下完成48个单位的家务工作至少需要小时（含中途充电时间）．（2）24小时内，该机器人最多可以完成个单位的家务工作．三、解答题（共52分，其中17题-20题每题5分，21题6分，22题5分，23题6分，24题4分，25题6分，26题5分）17．（5分）计算：；18．（5分）求x的值：4x2﹣25＝0．19．（5分）解方程组：．20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，其中点B的坐标为（0，5）．（1）点A的坐标为，点C的坐标为；（2）过点A画线段BC的垂线段AD，垂足为点D；（3）将△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；（4）连接A1B，A1C，直接写出△A1BC的面积为．21．（6分）【问题】如果一个角的两边与另一个角的两边相互平行，那么这两个角有什么数量关系？【探究】（1）小琪同学首先想到如图1所示的图形，通过测量，她发现∠1＝∠2，你知道其中的原因是什么吗，请写出证明过程．（2）在接下来的探究中，小琪发现存在∠2≠∠1的情况，请在图2中画出此时∠2，并写出∠1和∠2的数量关系．【归纳】通过上面的探究，你得到的结论是“如果一个角的两边与另一个角的两边相互平行，那么这两个角”．22．（5分）如图，BD平分∠ABC，点F在AB上，点E在AC上，连接EF、FC，FC与BD相交于点G，∠2+∠4＝180°，试说明∠1＝∠3．（请通过填空完善下列推理过程）解：∵∠2+∠4＝180°，∠FGD＝∠4（①），∴∠2+②＝180°，∴EF∥BD（③），∴∠1＝∠ABD（④）．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠3（⑤），∴∠1＝∠3．23．（6分）每年的3月14日是国际数学节．2025年3月，一零一数学“π”对再度开启，学生可以通过参加智慧类和思维类数学游戏，收集印章兑换奖品，游戏规则和兑奖规则如图：（1）小宁想兑换一枚冰箱贴和一个钥匙扣，她至少要参加次数学游戏．（2）小华兑换冰箱贴和钥匙扣共用了34个智慧印章和21个思维印章，请问她兑换了多少个冰箱贴和多少个钥匙扣？24．（4分）数组{a，b，c}中，a，b，c为三个互不相等的正整数，若一个数组中任意两个数的乘积的算术平方根都为整数，则称这个数组为“完美数组”．例如，数组{3，12，27}，经过计算可知，，，所以数组{3，12，27}为“完美数组”．（1）请你判断{2，8，18}“完美数组”，{3，9，27}“完美数组”（填“是”或“不是”）；（2）若{5，20，m}为“完美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求m的值．25．（6分）2025年2月22日，斯诺克世界公开赛在江西上饶隆重开幕．小颍在观看比赛的过程中对小球的运动轨迹产生了浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究．如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为PQ，SR，且PQ∥SR，小球从点A滚向挡板PQ，碰着PQ上的点B后进行第一次反弹滚向挡板SR（A，B为定点），碰着SR上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量，她进一步发现BN⊥PQ，MC⊥SR，且∠ABN＝∠CBN，∠BCM＝∠DCM．（1）请你借助图2帮小颍判断小球经过两次反弹后的路径CD是否平行于原来的路径AB？请填写（“是”或“不是”），并说明理由．（2）小颍制作了一个模型，固定挡板SR，将挡板PQ绕点B逆时针旋转α（0＜α＜30°）至直线GH（如图3），若∠BAC＝72°，当α＝时，CD∥GH．26．（5分）对于平面直角坐标系xOy中的两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义点A与点B的k系乘积点为C（kx1x2，ky1y2），其中k为非零实数．对于若干点组成的点集（可以是无限点集），若其中任意两个不同的点的k系乘积点都仍在这个点集中，则称这个点集满足性质P（k）．（1）①点（﹣2，0）与点的1系乘积点为；②若点A在第一象限，点B是点A关于y轴的对称点，若这两个点组成的点集满足性质，则点A的坐标是；（2）若所有满足横坐标的绝对值不大于1且纵坐标的绝对值大于3的点组成的点集满足性质P（k），直接写出k的取值范围：；（3）小D同学给定一个k值（k≠0），要求小Y同学写出一个由n个点A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，An（xn，yn）组成的有限点集满足性质P（k），且|x1|，|x2|，⋯，|xn|的最大值是101，则小Y能写出的点数n的最大值是：．

2024-2025学年北京市101中学教育集团七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BBADCABADC一、选择题（本题共30分，每小题3分，第1-10题均有四个选项，符合题意的只有一个）1．（3分）甲骨文是汉字的源头和中华优秀传统文化的根源，其字形简练，线条瘦劲，结构均衡对称，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（）A． B． C． D．【分析】根据图形平移的性质解答即可．【解答】解：由图可知，选项A，C，D都不能通过平移得到，不符合题意；只有选项B利用图形的平移得到，符合题意．故选：B．【点评】本题考查了生活中的平移现象，熟知平移的性质是解题的关键．2．（3分）如图，在所标识的角中，互为同位角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠1与∠5【分析】根据同位角的边呈“F”形进行分析即可得到答案．【解答】解：根据三线八角相关概念逐项分析判断如下：A、∠1与∠2是同旁内角，此选项不合题意；B、∠1与∠3是同位角，此选项符合题意；C、∠1与∠4不是同位角、内错角、同旁内角这类关系，此选项不合题意；D、∠1与∠5是内错角，此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义，熟练掌握以上知识点是关键．3．（3分）在平面直角坐标系中，点（2025，2026）位于第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【分析】根据坐标系中各象限内点的坐标特征判断即可．【解答】解：∵2025＞0，2026＞0，∴点（2025，2026）位于第一象限，故选：A．【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键．4．（3分）下列各式中，运算结果正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的性质与化简、立方根、平方根的定义计算判断即可．【解答】解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，平方根，立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．（3分）若是关于x和y的二元一次方程ax+y＝1的解，则a的值是（）A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入关于x和y的二元一次方程ax+y＝1中即可求出a的值．【解答】解：把代入关于x和y的二元一次方程ax+y＝1中，得a+3＝1，解得a＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．6．（3分）如图，已知直线AB∥CD，EF平分∠CEB，若∠2＝70°，则∠1的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】由平行线的性质推出∠BEF＝∠2＝70°，由角平分线定义得到∠CEF＝∠BEF＝70°，由三角形内角和定理即可求出∠1的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠2＝70°，∵EF平分∠CEB，∴∠CEF＝∠BEF＝70°，∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：A．【点评】本题考查平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出∠BEF＝∠2．7．（3分）下列命题中，是假命题的是（）A．的整数部分为5 B．同旁内角互补 C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．如果A地在B地北偏东30°方向20m处，那么B地在A地的南偏西30°方向20m处【分析】根据估算无理数的大小、平行线的性质、平行线的判定、方向角和距离表示位置判断．【解答】解：A、3的整数部分为5，是真命题，不符合题意；B、两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，符合题意；C、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，不符合题意；D、如果A地在B地北偏东30°方向20m处，那么B地在A地的南偏西30°方向20m处，是真命题，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．（3分）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（）A．270° B．250° C．230° D．180°【分析】过点B作BG∥AE，根据铅笔模型进行计算，即可解答．【解答】解：过点B作BG∥AE，∴∠BAE+∠ABG＝180°，∵CD∥AE，∴CD∥BG，∴∠DCB+∠CBG＝180°，∴∠BAE+∠ABG+∠DCB+∠CBG＝360°，即∠DCB+∠CBA+∠BAE＝360°，∵BA⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝270°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．（3分）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三解，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒x斗，清酒y斗，则可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】根据“一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，拿30斗谷子换清酒、醑酒共5斗”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵共换了5斗酒，∴x+y＝5；∵一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，拿30斗谷子换了5斗酒，∴3x+10y＝30．∴所列方程组为．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10．（3分）已知关于x，y的方程组，以下结论：①当时，x+y＝0；②当k＝0时，3x+5y＝1；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对（x，y），并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能是第三象限的点．其中正确的序号是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【分析】根据方程组，由②﹣①得x+y＝2k﹣1③，由①+②得3x+5y＝4k﹣1④，把k代入③即可判断选项①；把k＝0代入④即可判断选项②；由④﹣③×2得x+3y＝1，即可判断选项③；解方程组可得，再建立不等式组，可判断选项④．【解答】解：，②﹣①得x+y＝2k﹣1③，①+②得3x+5y＝4k﹣1④，当时，x+y＝0；故选项①符合题意；当k＝0时，3x+5y＝﹣1，故选项②不符合题意；④﹣③×2得x+3y＝1，故选项③符合题意；解方程组可得，当时，解3k﹣2＜0可得：k，解1﹣k＜0可得：k＞1，∴不等式组无解，∴将方程组的每一组解都写成有序数对（x，y），并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限；故选项④符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是含参数的二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，坐标系内点的坐标特点，掌握以上基础知识是解本题的关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）已知|x+2|0，则x+y＝4．【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性化简即可得出答案．【解答】解：∵|x+2|0，∴x+2＝0，y﹣6＝0，∴x＝﹣2，y＝6，∴x+y＝﹣2+6＝4．故答案为：4．【点评】此题考查了绝对值和算术平方根的非负性，正确求出x，y的值是解题的关键．12．（3分）若点P（m，m+2）在x轴上，则点P的坐标为（﹣2，0）．【分析】先根据在x轴上的点的纵坐标均为0求出m，然后求出点P坐标．【解答】解：∵P（m，m+2）在x轴上，∴m+2＝0，解得m＝﹣2，则点P的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上的点的特征是解题关键．13．（3分）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝70°时，木条a与b平行．【分析】由同位角相等，两直线平行，即可求解．【解答】解：当∠2＝70°时，a∥b，∵∠3＝∠2＝70°，∠1＝70°，∴∠3＝∠1，∴a∥b，故答案为：70．【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．14．（3分）小明利用一副直角三角板绕着直角顶点旋转实验，探究旋转过程中各角之间的关系．他旋转至如图所示时，即AE⊥BC，则此时∠BAD的度数为45度．【分析】推导出AD∥BC，进而得到∠BAD＝∠ABC＝45°．【解答】解：由题意知，∠DAE＝∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵AE⊥BC，∴AD∥BC，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，故答案为：45．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，旋转的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．15．（3分）已知点B的坐标为（2，1），AB∥x轴，且AB＝3，则点A的坐标为（﹣1，1）或（5，1）．【分析】根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．【解答】解：∵点B的坐标为（2，1），AB∥x轴，∴点A的纵坐标为1．又∵AB＝3，∴2﹣3＝﹣1，2+3＝5，∴点A的坐标为（﹣1，1）或（5，1）．故答案为：（﹣1，1）或（5，1）．【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．16．（3分）随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活．某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作．该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率．已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成5个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成4个单位的家务工作．该机器人充一次电需要2小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作3小时，“节能模式”可连续工作6小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完．现给你一台满电状态下的机器人，请完成下列任务：（1）该机器人在“节能模式”下完成48个单位的家务工作至少需要14小时（含中途充电时间）．（2）24小时内，该机器人最多可以完成78个单位的家务工作．【分析】（1）根据题意知：在“节能模式”下，机器人每小时完成4个单位的工作，满电状态下可连续工作6小时，可完成24个单位的家务工作，则要完成48个单位需要两次满电工作，可得答案；（2）要在24小时内最大化工作量，需结合“快速模式”和“节能模式”的效率与耗时：可得出“快速模式”每3小时完成15个单位的家务工作，每周期耗时5小时；“节能模式”每4小时完成24个单位的家务工作，每周期耗时8小时，然后分两种情况：通过混合策略：1．前两次“快速模式”；2．再两次“节能模式”；调整后：“快速模式”2次（10小时，30单位），剩余14小时；“节能模式”2次：首次6小时（24单位）至第16小时，充电2小时至第18小时，最后6小时（18至24小时）节能模式，再完成24单位，可得答案．【解答】解：（1）在“节能模式”下，机器人每小时完成4个单位的工作，满电状态下可连续工作6小时，∴可完成家务工作为：4×6＝24（单位），要完成48个单位需要两次满电工作：第一次工作6小时，完成24单位；然后充电2小时；第二次工作6小时，完成剩余24单位，∴总时间为6+2+6＝14（小时），故答案为：14；（2）要在24小时内最大化工作量，需结合“快速模式”和“节能模式”的效率与耗时：“快速模式”每3小时完成：5×3＝15（单位），每周期（工作3小时+充电2小时）耗时5小时；“节能模式”每4小时完成：4×6＝24（单位），每周期（工作6小时+充电2小时）耗时8小时，通过混合策略：1．前两次“快速模式”：2×5＝10（小时），完成：15×2＝30（单位）；2．再两次“节能模式”：2×8＝16（小时），完成：24×2＝48（单位），总时间为：10+16＝26（小时），超出限制，不符合题意，调整如下：“快速模式”2次（10小时，30单位），剩余14小时；“节能模式”2次：首次6小时（24单位）至第16小时，充电2小时至第18小时，最后6小时（18至24小时）节能模式，再完成24单位，总工作量为：30+24+24＝78（单位），总时间24小时．故答案为：78．【点评】本题考查有理数混合运算的应用，注意正确计算．三、解答题（共52分，其中17题-20题每题5分，21题6分，22题5分，23题6分，24题4分，25题6分，26题5分）17．（5分）计算：；【分析】根据求一个数的立方根，算术平方根，化简绝对值，进行计算，即可求解．【解答】解：．【点评】本题考查了求一个数的立方根，算术平方根，化简绝对值，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．18．（5分）求x的值：4x2﹣25＝0．【分析】利用平方根的意义解答即可．【解答】解：∵4x2﹣25＝0，∴x2，∴x＝±．【点评】本题主要考查了平方根的意义，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．19．（5分）解方程组：．【分析】用加减法，两式相加消元，从而求出x的值，然后把x的值代入一方程求y的值．【解答】解：，①+②，得3x＝9，（3分）解得x＝3．（4分）把x＝3代入②，得y＝1．（7分）∴原方程组的解是．（9分）【点评】解二元一次方程组的基本思想是消元．消元的方法有代入法和加减法．20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，其中点B的坐标为（0，5）．（1）点A的坐标为（2，7），点C的坐标为（6，5）；（2）过点A画线段BC的垂线段AD，垂足为点D；（3）将△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；（4）连接A1B，A1C，直接写出△A1BC的面积为9．【分析】（1）由图可得答案．（2）根据垂线的定义画图即可．（3）根据平移的性质作图即可．（4）利用三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）由图可得，A（2，7），C（6，5）．故答案为：（2，7）；（6，5）．（2）如图，AD即为所求．（3）如图，△A1B1C1即为所求．（4）△A1BC的面积为9．故答案为：9．【点评】本题考查作图﹣平移变换、垂线，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．21．（6分）【问题】如果一个角的两边与另一个角的两边相互平行，那么这两个角有什么数量关系？【探究】（1）小琪同学首先想到如图1所示的图形，通过测量，她发现∠1＝∠2，你知道其中的原因是什么吗，请写出证明过程．（2）在接下来的探究中，小琪发现存在∠2≠∠1的情况，请在图2中画出此时∠2，并写出∠1和∠2的数量关系∠1+∠2＝180°．【归纳】通过上面的探究，你得到的结论是“如果一个角的两边与另一个角的两边相互平行，那么这两个角相等或互补”．【分析】探究：（1）利用平行线的性质证明即可；（2）画出图形，利用平行线的性质证明即可；归纳：利用探究的结论解决问题．【解答】解：探究：（1）∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，∵BC∥EF，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2；（2）如图2中，结论：∠1+∠2＝180°．理由：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，∵BC∥EF，∴∠3+∠2＝180°∴∠1+∠2＝180°；归纳：通过上面的探究，你得到的结论是“如果一个角的两边与另一个角的两边相互平行，那么这两个角相等或互补”．故答案为：相等或互补．【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．（5分）如图，BD平分∠ABC，点F在AB上，点E在AC上，连接EF、FC，FC与BD相交于点G，∠2+∠4＝180°，试说明∠1＝∠3．（请通过填空完善下列推理过程）解：∵∠2+∠4＝180°，∠FGD＝∠4（①对顶角相等），∴∠2+②∠FGD＝180°，∴EF∥BD（③同旁内角互补，两直线平行），∴∠1＝∠ABD（④两直线平行，同位角相等）．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠3（⑤角平分线的定义），∴∠1＝∠3．【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．【解答】解：∵∠2+∠4＝180°，∠FGD＝∠4（对顶角相等），∴∠2+∠FGD＝180°，∴EF∥BD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠3（角平分线的定义），∴∠1＝∠3．故答案为：①对顶角相等；②∠FGD；③同旁内角互补，两直线平行；④⑤两直线平行，同位角相等；角平分线的定义．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．23．（6分）每年的3月14日是国际数学节．2025年3月，一零一数学“π”对再度开启，学生可以通过参加智慧类和思维类数学游戏，收集印章兑换奖品，游戏规则和兑奖规则如图：（1）小宁想兑换一枚冰箱贴和一个钥匙扣，她至少要参加4次数学游戏．（2）小华兑换冰箱贴和钥匙扣共用了34个智慧印章和21个思维印章，请问她兑换了多少个冰箱贴和多少个钥匙扣？【分析】（1）分别求出智慧印章和思维印章的个数，进而得出答案；（2）设她兑换了x个冰箱贴和y个钥匙扣，根据题意列出方程组即可．【解答】解：（1）（2+4）÷3＝6÷3＝2（次），（3+1）÷2＝4÷2＝2（次），2+2＝4（次）．故答案为：4．（2）设她兑换了x个冰箱贴和y个钥匙扣，，解得：，答：她兑换了5个冰箱贴和6个钥匙扣．【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找出等量关系是解题的关键．24．（4分）数组{a，b，c}中，a，b，c为三个互不相等的正整数，若一个数组中任意两个数的乘积的算术平方根都为整数，则称这个数组为“完美数组”．例如，数组{3，12，27}，经过计算可知，，，所以数组{3，12，27}为“完美数组”．（1）请你判断{2，8，18}是“完美数组”，{3，9，27}不是“完美数组”（填“是”或“不是”）；（2）若{5，20，m}为“完美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求m的值．【分析】（1）利用“完美数组”的意义判断即可；（2）利用分类讨论的思想方法，结合“完美数组”的意义解答即可．【解答】解：（1）∵，6，12，∴数组{2，8，18}为“完美数组”．∵，不是整数，∴数组{3，9，27}不是“完美数组”．故答案为：是；不是；（2）∵{5，20，m}为“完美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，∴20或20，∴m＝80或m＝20（不合题意，舍去）．∴m＝80．【点评】本题主要考查了算术平方根，本题是新定义型，熟练掌握新定义的意义并熟练运用是解题的关键．25．（6分）2025年2月22日，斯诺克世界公开赛在江西上饶隆重开幕．小颍在观看比赛的过程中对小球的运动轨迹产生了浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究．如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为PQ，SR，且PQ∥SR，小球从点A滚向挡板PQ，碰着PQ上的点B后进行第一次反弹滚向挡板SR（A，B为定点），碰着SR上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量，她进一步发现BN⊥PQ，MC⊥SR，且∠ABN＝∠CBN，∠BCM＝∠DCM．（1）请你借助图2帮小颍判断小球经过两次反弹后的路径CD是否平行于原来的路径AB？请填写是（“是”或“不是”），并说明理由．（2）小颍制作了一个模型，固定挡板SR，将挡板PQ绕点B逆时针旋转α（0＜α＜30°）至直线GH（如图3），若∠BAC＝72°，当α＝24°时，CD∥GH．【分析】（1）延长CM交PQ于点E，证明BN∥EC，继而推出∠ABC＝∠BCD，即可得出结论；（2）根据题意得∠HBQ＝∠PBG＝α，根据平行线的性质得∠PBA＝∠BAC＝72°，得∠CBH＝∠ABG＝72°﹣α，∠QBC＝∠CBH﹣α＝72°﹣2α，由PQ∥SR得∠2＝∠1＝∠QBC＝72°﹣2α，则∠3＝180°﹣2（72°﹣2α），当CD∥GH时，∠3+∠CBH＝180°，得180°﹣2（72°﹣2α）+72°﹣α＝180°，求解即可．【解答】解：（1）是．理由如下：延长CM交PQ于点E，∵BN⊥PQ，MC⊥SR，∠ABN＝∠CBN，∠BCM＝∠DCM，∴∠PBN＝90°＝∠ECR，∵PQ∥SR，∴∠PEC＝∠ECR，∴∠PBN＝∠PEC，∴BN∥EC，∴∠CBN＝∠BCM，即2∠CBN＝2∠BCM，∵∠ABC＝∠ABN+∠CBN＝2∠CBN，∠BCD＝∠BCM+∠DCM＝2∠BCM，∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD，故答案为：是；（2）如图，∵将挡板PQ绕点B逆时针旋转α（0＜α＜30°）至直线GH，∠HBQ＝∠PBG＝α，∵PQ∥SR，∠ABG＝∠CBH，∠1＝∠2，∠BAC＝72°，∴∠PBA＝∠BAC＝72°，∴∠CBH＝∠ABG＝72°﹣α，∴∠QBC＝∠CBH﹣α＝72°﹣2α，∵PQ∥SR，∴∠2＝∠1＝∠QBC＝72°﹣2α，∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣2（72°﹣2α），当CD∥GH时，∠3+∠CBH＝180°，∴180°﹣2（72°﹣2α）+72°﹣α＝180°，解得：α＝24°，∴当α＝24°时，CD∥GH．故答案为：24°．【点评】本题考查平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，掌握以上性质是解题的关键．26．（5分）对于平面直角坐标系xOy中的两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义点A与点B的k系乘积点为C（kx1x2，ky1y2），其中k为非零实数．对于若干点组成的点集（可以是无限点集），若其中任意两个不同的点的k系乘积点都仍在这个点集中，则