函数的概念与基本性质 强基培训- 高中数学强基计划培训讲义

函数的概念与基本性质

【知识点】

1.函数的单调性

(1)增函数：一般地，设函数》=/(幻的定义域为如果定义域内某个区间上任意两

个自变量的值内,与，当不<七时，都有了3)</(吃)，那么就说/")在这个区

间上是增函数。

(2)减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为/,如果定义域内某个区间上任意两

个自变量的值内，工2,当王〈刍时，都有/(凡)>/(±)，那么就说在这个区

间上是减函数。

(3)单调性(单调区间)：如果y=/(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说

)，二f(x)在这个区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.

2.函数的奇偶性

(1)奇函数：如果对于函数丁=/(旧的定义域内的任意一个X,都有/(T)=-/a),

那么函数y=/(A)就叫做奇函数。奇函数的图像关于原点对称。

(2)偶函数：如果对于函数y=/Q)的定义域内的任意一个工，都有/(r)=/(x),

那么函数>'=fM就叫做偶函数。偶函数的图像关于y轴原点对称。

(3)如果函数y=/(A)是奇函数或偶函数，那么就说y=fM具有奇偶性。

3.函数的对称性

(1)如果/(〃+X)=/S-X),那么函数关于直线R=。对称。

(2)如果/(。+幻=-/(。一x),那么函数关于点①,0)成中心对称。

4.函数的周期性

对于函数)，=/*),如果存在一个不为零的常数7,使得当x取定义域中的每个数时，

总有/(x+T)=/(x)成立，那么称函数为周期函数，7称作这个函数的周期。如果函数的

所有周期中存在最小的正常数4,称”为函数的最小正周期。

例题1、设/(x)=min{4x+l,x+2,-2x+4},则/(x)的最大值为

例题2、对四位数必cd(l工。《9,/720,149),若a>b,b〈c,c>d,则称"cd为P类

数；若a<b,b>c,c>d,则称为。类数。用N(P),N(Q)分别表示P类数和。类数

的个数,则N(P)—N(Q)=

例题3、证明函数/*)=r3+1在R上是减函数。

x2-x+4八

--------------,x<0

x

例题4、已知函数/(工)=

x2+x+4八

------------,x>0

x

⑴求证：函数/(x)是偶函数；

⑵判断函数/。)分别在区间(0,2],[2,内)上的单调性，并加以证明；

(3)若1《|七区4,1。々区4,求证：|/(%)一/(%)区1。

例题5、已知定义在R上的函数/(x)对任意实数恒有/(x)+/(y)=/(x+y),且当

2

X>0时，/W<0,又f(l)=-Q。

(1)求证：/(X)为奇函数；

(2)求证：在R上是减函数；

(3)求f(x)在［—3,6］上的最大值和最小值。

例题6、已知函数/(幻既关于直线x=。对称，又关于直线工=人对称，求证：/(幻为周期

函数。

例题7、设集合M={x|OWxWll,X£Z},集合户={3加。,如4叶。,。£加},映射

/：F->Z,使得一jab-cd0已知(〃,)/#)—J66,(〃,匕x,y)—J39。

求的值。

例题8、设A={〃|4=7p,〃£N*},在A上定义函数/如下：若awA,贝表示。

的数字之和，例如/(7)=7,/(42)=6,设函数/的值域是集合

求证：M={A?|«€N*,,1>2}

例题9、已知c,"为非零实数，/(幻二竺二，且/(19)=19/97)=97。若当

cx+a

工¥一色时，对任意实数X都有f(/(X))=X,试求出值域外的唯一数。

C

例题10、函数/(X)的定义