2026年浙江台州市高三二模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页台州市2026届高三第二次教学质量评估试题数学2026.04本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知为等比数列，，，则（

）A．8 B．12 C．16 D．172．已知为第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．3．设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则4．已知实数，，若，，则（

）A． B． C． D．15．已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（

）A．体积为 B．表面积为C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为26．已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（

）A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值7．设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．为纯虚数8．已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则（

）A．12 B．14 C．16 D．18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．C．的值域为 D．是图象的一个对称中心10．设，为常数，则（

）A． B．C． D．11．已知正四面体的棱长为4，顶点在平面的同侧，点，顶点到平面的距离分别为1，2，直线与平面交于点，则（

）A．直线与平面所成角为 B．平面与平面所成角为C． D．点到平面的距离为非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知平面向量，，，若，则的最小值为_______.13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______.14．已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.(1)求角A的大小；(2)若，，求的周长.16．如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值.17．2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下：年份（x）201620172018201920202021202220232024GDP/万亿元（y）74.6483.2091.9398.65101.36114.92120.47129.43134.91由以上数据，得到x与y的9对样本数据为，，…，，有关计算结果如下：，，.(1)证明：；(2)请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.）附：一元线性回归方程，其中.18．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N，（ⅰ）求切线，的方程：（ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.19．已知，函数.(1)当时，求函数的极小值；(2)证明：当时，对任意，，都有；(3)若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【详解】由等比中项的性质知，若该数列的公比为，则，显然，所以.2．B【详解】由为第二象限角，知，而，故.3．D【详解】对于A，任意事件的概率都满足，故成立；对于B，因是事件的对立事件，则，所以，故成立；对于C，因为，则事件包含事件所有的样本点，所以，故成立；对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，但并未说明事件和事件是否互斥，由概率的加法公式，因此，只有当，即时，才成立，故不一定成立.4．C【详解】，故，，，故，所以，因为，所以，，所以.5．D【分析】先算出母线长，结合体积公式、表面积公式计算后可判断AB的正误，求出轴截面的顶角值后可判断CD的正误.【详解】对于A，圆锥的体积为，故A错误；对于B，圆锥的母线长为，故圆锥的表面积为，故B错误；对于C，设圆锥轴截面顶角为，则，而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误；对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为而，故当，，故D正确.6．C【分析】设（），利用两点斜率公式求，再分别求即可判断.【详解】因为点是抛物线上异于的动点，故设（），则，，对于选项A，，不是定值，A错误；对于选项B，，不是定值，B错误；对于选项C，，为定值，C正确；对于选项D，，不是定值，D错误.7．B【详解】由题知，方程无实数根，则两个复数根，必为共轭复数，，故C错误；又，故为实数，故A,D错误，又，则方程的根为，即，，由得，，故，故B正确.8．C【分析】时，分数列仅有一个1、仅有两个1、仅有三个1讨论求出；同理求出即可．【详解】解：时，把数列的5项依次排列，数列只有一个1时，时，共3种，同理也有3种；时，共2种，同理也有2种；时，共1种；数列仅有两个1时，共4种；数列仅有三个1时，共1种，综上，；时，数列只有一个2时，时，共3种，同理也有3种；时，共4种，同理也有4种；时，一种；数列仅有两个2时，时，共2种，同理时也有2种；时，共8种；时，共1种；数列仅有三个2时，共4种，综上，．9．BC【分析】由最小正周期的公式计算判断选项A；计算函数值判断选项B；计算正弦型函数的值域判断选项C；代入检验函数的对称中心判断选项D.【详解】函数，最小正周期为，A选项错误；，，B选项正确；，，所以的值域为，C选项正确；时，，又，则是图象的一个对称中心，D选项错误.10．ABD【分析】由，利用两个二项式乘积及其展开式通项求对应项系数判断A、B，应用赋值法求奇偶数项的和判断C、D.【详解】由，对于，展开式通项为，，对于，展开式通项为，，所以，A对，，B对，令，则，令，则，所以，则，C错，，D对.11．ACD【分析】对于A，根据线面角的定义可求其正弦值，故可判断其正误，对于B，求出的面积，进而求出面面角的余弦值判断其正误，对于C，利用空间垂直关系的转化可判断其正误，对于D，利用向量法可求点到平面的距离，从而可判断其正误.【详解】设在平面内的射影为，在平面内的射影为，连接，则，对于A，因为，所以为直线与平面所成的角，而，而为锐角，故，故A正确；对于B，因为，故，故四边形为梯形，而，，故，故四边形为直角梯形，同理而，故.在中，，故，而，设平面与平面所成角为，则，故平面与平面所成角不为，故B错误；对于C，由题设平面，而，故平面平面，故三点共线，而，故为的中点，故，故，连接，则，而，，故，而平面，故平面，而平面，故，故C正确；对于D，由C的分析可得，故.由可得为的中点，故，连接，则，故.过作平面的垂线，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设，则，故，消元可得，故，故D正确.12．【分析】利用向量平行坐标表示可得之间的关系，将问题转化为二次函数最小值的求解即可.【详解】，，即，，，当时，取得最小值.13．【分析】先根据双曲线的定义求出，然后利用余弦定理分别表示出及，再根据两个角的关系列出方程求出，即可求出双曲线的离心率.【详解】因为，所以，所以，即.因为，，所以在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得.因为，所以，即，解得，所以.所以.14．##【详解】由题设可取，又，，，故.15．(1)(2).【详解】（1）已知，由正弦边角关系得，化简得，应用辅助角公式可得，而，所以.（2）由余弦定理，得，解得，所以，故的周长为.16．(1)证明见解析(2).【分析】（1）利用三角形中位线性质以及线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系求出相应的向量坐标，再求出两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出余弦值，进而求得正弦值.【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示：

由是正方形得为的中点，因为为的中点，所以为的中位线，于是，又因为平面，平面，所以平面.（2）由已知，平面，，所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

因为，所以，因为点为棱的中点，所以，设平面的一个法向量为，又，则，即，令，则，则，设平面的一个法向量为，又，则，即，令，则，记平面与平面的夹角的大小为，则：，由图可知平面与平面的夹角为锐角，故.17．(1)证明见解析(2)；3.07（万亿元）【分析】（1）先将原式左侧展开，再根据平均数的计算公式变形即可得证；（2）由条件求出，即可得一元线性回归方程，将代入回归方程求出预测值，预测值与实际值差的绝对值即为误差.【详解】（1）左边=右边，故等式成立；（2）设一元线性回归方程为，则，将代入回归方程可得，解得，所以一元线性回归方程为.当时，求得，即2025年的GDP预测值为143.26万亿元，而2025年GDP的实际值为140.19万亿元，故误差为（万亿元）.18．(1)(2)（ⅰ），；（ⅱ）为定值，定值为90°.【分析】（1）根据离心率、焦点坐标确定椭圆的参数，即可得；（2）（i）设过点P的直线方程为，联立椭圆并结合相切关系得求直线的斜率，即可得；（ii）利用相切关系求得，结合（2）所得，求交点坐标，再应用向量数量积的坐标运算求得，即可得.【详解】（1）由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为.（2）（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，联立，消去y并整理得，由，即，解得，.所以切线方程分别为，.（ⅱ）设且，则且，联立，所以，则，由相切关系知，则，所以，则，由，则，所以，则，得，所以，即，由，联立直线得，则，由，联立直线得，，则，因为，，，所以，即，故为定值，且定值为90°.19．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用导数研究函数的极小值，即可得；（2）首先应用导数确定为增函数，再得到为增函数，利用单调性即可证明；（3）设，，从而得到能成立，利用导数及分析法求右侧的最小值，即可得.【详解】（1）由，得.令，解得，，当时，；当时，；当时，.所以在、上单调递增，在上单调递减，因此，